7. Поскольку мы можем, в принципе, предсказать, где приземлится каждая страница, вы можете озаботиться, что имеется дополнительный элемент, который определяет расположение страниц: как вы соберете страницы вместе в аккуратную пачку. Это не имеет отношения к обсуждаемой физике, но в случае, если вас это беспокоит, представьте, что вы согласились, что вы будете подбирать страницы одну за одной, начиная с той, которая к вам ближе всего, затем подберете ближайшую за этой страницу и так далее. (И, например, вы можете согласиться измерять расстояния от ближайшего угла страницы, о которой идет речь).
8. Надежда преуспеть в расчете движения даже нескольких страниц с точностью, требуемой для предсказания их (страниц) упорядочения (после применения некоторого алгоритма складывания их в кучу, такого как в предыдущем комментарии), на самом деле экстремально оптимистична. В зависимости от гибкости и веса бумаги такой сравнительно "простой" расчет может еще быть за пределами сегодняшних вычислительных возможностей.
9. Вы можете обеспокоиться, что имеется фундаментальное отличие между определением понятия энтропия для расположений страниц и определения его для коллективов молекул. Так расположения страниц дискретны – вы можете пересчитать их одно за одним, так что, хотя полное число возможностей может быть большим, оно конечно. В противоположность этому, движение и положение даже отдельной молекулы непрерывно – вы не можете пересчитать их одно за одним, так что тут (по крайней мере, в соответствии с классической физикой) имеется бесконечное число возможностей. Так как можно точно провести оценку молекулярных перестановок? Ну, короткий ответ состоит в том, что это хороший вопрос, но один из тех, на которые найдены полные ответы, – так что, если этого достаточно, чтобы успокоить вашу тревогу, свободно пропускайте следующий текст. Более длинный ответ требует немного математики, так что без знания основ это может быть тяжело проследить полностью. Физики описывают классическую многочастичную систему, привлекая фазовое пространство, 6N-мерное пространство (где N есть число частиц), в котором каждая точка обозначает все положения и скорости частиц (каждое такое положение требует три числа, что относится и к каждой скорости, в итоге получаем 6N-мерность фазового пространства). Существенный момент тот, что фазовое пространство может быть разбито на такие области, что все точки данной области соответствуют перестановкам скоростей и координат молекул, которые имеют одинаковые в общем и целом макроскопические свойства и вид. Если конфигурация молекул изменилась от одной точки в данной области фазового пространства к другой точке той же области, макроскопические оценки найдут эти две конфигурации неразличимыми. Теперь, вместо того, чтобы пересчитывать число точек в данном регионе – самая прямая аналогия подсчета числа различных перестановок страниц, но которая, несомненно, приведет к бесконечному ответу, – физики определяют энтропию в терминах объема каждой области в фазовом пространстве. Больший объем означает больше точек, а потому больше энтропия. А объем области, даже области в многомерном пространстве, есть нечто, чему можно дать строгое математическое определение. (Математически необходимо выбрать нечто, именуемое мерой, и, для склонного к математике читателя, я замечу, что мы обычно выбираем меру, которая однородна по всем микросостояниям, совместимым с данным макросостоянием, – что означает, каждая микроскопическая конфигурация, связанная с данным выбором макроскопических свойств, предполагается равновероятной).
10. Особенно, мы знаем один путь, на котором это должно произойти: если несколькими днями ранее молекулы СО2 первоначально были в бутылке, тогда мы знаем из нашего обсуждения выше, что если прямо сейчас вы одновременно замените на противоположные скорости всех и каждой молекулы СО2, также каждой молекулы или атома, которые любым образом взаимодействовали с молекулами СО2, и подождете те же несколько дней, молекулы соберутся все назад вместе в бутылку. Но это обращение скорости не та вещь, которую можно исполнить на практике, не считая того, что это, возможно, произойдет по их собственному согласию. Я должен заметить, что было доказано математически, что если вы ждете достаточно долго, молекулы СО2 по своей собственной воле все найдут свой путь назад в бутылку. Результат, доказанный в 1800е французским математиком Жозе Лиувиллем, можно использовать для установления того, что известно как реккурентная теорема Пуанкаре. Эта теорема показывает, что если вы достаточно долго ждете, система с конечной энергией и ограниченная конечным пространственным объемом (вроде молекул СО2 в закрытом помещении) будет возвращаться в состояние, произвольно близкое к ее начальному состоянию (в нашем случае все молекулы СО2 расположились в бутылке колы). Загвоздка в том, как долго вам придется ждать, чтобы это случилось. Для систем с любым, даже малым числом составляющих теорема показывает, что вы, как правило, будете ждать намного дольше возраста вселенной, пока составляющие по своему собственному согласию перегруппируются в их начальную конфигурацию. Тем не менее, с принципиальной точки зрения, соблазнительно отметить, что любая пространственно ограниченная физическая система при бесконечном терпении и долговечности будет возвращаться к своей начальной конфигурации.
11. Вы можете удивиться тогда, почему вода всегда превращается в лед, поскольку это приводит к тому, что молекулы Н2О становятся более упорядоченными, что означает, достигшими меньшей, а не высокой энтропии. Ну, грубый ответ в том, что когда жидкая вода превращается в твердый лед, она отдает энергию в окружающую среду (в противоположность тому, что происходит когда лед тает, когда он берет энергию из окружения), а это повышает энтропию окружающей среды. При достаточно низких температурах окружения, это значит, ниже 0 градусов Цельсия, возрастание в окружающей энтропии превосходит уменьшение энтропии воды, так что замерзание становится интересным с точки зрения энтропии. Поэтому холодной зимой формируется лед. Аналогично, когда кубики льда формируются в морозильнике вашего холодильника, их энтропия уменьшается, но сам холодильник накачивает тепло в окружающую среду, и если это принять во внимание, получим полное нетто-возрастание энтропии. Более точный ответ для склонного к математике читателя заключается в том, что спонтанные явления того сорта, который мы обсуждаем, управляются тем, что известно как свободная энергия. Интуитивно свободная энергия есть та часть энергии системы, которая может быть использована для совершения работы. Математически свободная энергия F определяется соотношением F = U – TS, где U обозначает полную энергию, T обозначает температуру, а S обозначает энтропию. Система будет подвержена спонтанному изменению, если это приведет к уменьшению ее свободной энергии. При низких температурах падение в U, связанное с жидкой водой, переведенной в твердый лед, перевешивает уменьшение в S (перевешивает возрастание в –TS), поэтому переход будет происходить.
12. По поводу более ранней дискуссии о том, как прямое применение энтропийных рассуждений приведет нас к заключению, что память и исторические записи не являются заслуживающими доверия оценками прошлого, см. C. F von Weizsäсker in The Unity of Nature (New York: Farrar, Straus, and Giroux, 1980), 138-46, (первоначально опубликовано в Annalen der Physik 36 (1939)). По поводу превосходной недавней дискуссии см. David Albert in Time and Chance (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 2000).
13. Фактически, поскольку законы физики не видят отличий между направлениями вперед и назад во времени, объяснение полностью сформированных кубиков льда получасом раньше, в 10:00 вечера, будет точно столь же абсурдным, – говоря на языке энтропии, – как и предсказание, что на полчаса позже, в 11 вечера маленькие кусочки льда вырастут в полностью сформированные кубики льда. Напротив, объяснение наличия жидкой воды в 10:00 вечера, которая медленно формирует маленькие кусочки льда к 10:30 вечера является точно столь же осмысленным, как и предсказание, что в 11:00 вечера маленькие кусочки льда растают в жидкую воду, что является привычным и полностью ожидаемым. Это последнее объяснение с точки зрения наблюдения в 10:30 вечера является совершенно симметричным во времени и, более того, согласуется с последующими наблюдениями.
14. Особенно внимательный читатель может подумать, что я был предубежден в дискуссии с фразой "специфическое прошлое", поскольку это вводит темпоральную асимметрию. Что я имел в виду на более точном языке, так это то, что нам нужны специальные условия, чтобы преобладал (по меньшей мере) один из концов темпорального измерения. Как станет ясно, специальные условия означают граничное условие низкой энтропии и я буду называть "прошлым" направление, в котором это условие удовлетворяется.
