У физиков и математиков — а в XVII веке разница между ними совсем не была колоссальной — подобные задачи на минимизацию нашли выражение в попытках найти новые интересные способы приложения только что открытых законов Ньютона. Одна из самых известных задач того времени — поиск кривой под названием «брахистохрона»[53].
Представьте себе, что вы хотите построить самые-самые распрекрасные американские горки — ну чтобы уж точно все ахнули. Вы можете предельно минимизировать силу трения, но при попытках построить идеальную форму непременно наткнетесь на маленькую математическую тайну. Проектировать американские горки надо так, чтобы вагонетка, стартующая из состояния покоя в точке А, как можно быстрее очутилась внизу, в точке В.
Загадка брахистохроны не теряла актуальности некоторое время, а потом, в 1696 году, Иоганн Бернулли — представитель очень знаменитой семьи, где было много выдающихся математиков — заявил, что решил задачу, и не без самодовольства поставил ее перед другими математиками: потягайтесь, мол, со мной.
Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Для умного человека нет ничего привлекательнее честной и трудной задачи, возможное решение которой стяжает им славу и останется в веках… Если кто-то сообщит мне решение представленной задачи, я публично объявлю, что он достоин похвалы[54].
Сам Бернулли придумал очень хитроумное решение задачи, так что похвалялся он, наверное, не зря. Вагонетка американских горок едет чем ближе к земле, тем быстрее — а Бернулли представил себе очень сложную линзу, материал которой чем выше, тем плотнее, так что свет, проходя сквозь нее сверху вниз, будет бежать чем ближе к земле, тем быстрее. Потом Бернулли применил принцип Ферма — и потребовал, чтобы луч прошел заданное расстояние за минимальное время.
Полученная кривая получила название перевернутой циклоиды и очень похожа на обычную миску, только очень точную, математически выведенную.
Все это стало возможным в основном благодаря тому, что лет за десять до этого Исаак Ньютон опубликовал свой трактат «Principia Mathematica». К тому времени, как Бернулли опубликовал свой вызов, Ньютон уже работал управляющим Королевского монетного двора, однако же нашел время подумать над задачей о брахистохроне. Решил он ее за один вечер перед сном — совсем иначе, чем Бернулли, геометрическим методом. Был он таким математическим врединой, что даже не стал подписываться. Но Бернулли все равно понял, кто это, отметив: «По когтю опознаю льва».
Находить форму кривых в XVII веке было очень модно. Другая знаменитая задача касалась поиска кривой с названием «таутохрона»[55]. Если сделать американские горки такой формы, то откуда бы вы ни пустили вагонетку, она доберется до низу за одно и то же время. Эту задачу решил в 1659 году Христиан Гюйгенс — тот самый, что описал свет как волну. Почему это такое большое достижение, становится понятно, если учесть, что до публикации «Principia Mathematica» оставалось еще почти 30 лет.
Циклоида
Я заговорил о таутохроне, поскольку выясняется, что она представляет собой точно такую же кривую, что и брахистохрона — циклоиду. Помимо того, что таутохрона — ответ на математическую задачу, она приносит много пользы, поскольку на тех же принципах можно построить и точные часы. На протяжении почти всей мировой истории единственными точными часами на свете было Солнце, а поскольку XVII век был периодом географических открытий и мореплавания, солнечные часы, конечно, уже не годились.
Обратите внимание, что в самом низу таутохрона очень похожа на кривую, которую описывает маятник. И не случайно. Маятники потому и позволяют часам так точно отмерять время, что при условии, что отклонение будет относительно малым, колебания занимают в точности одно и то же время — вот почему дуга маятника так хорошо вписывается в донышко циклоиды. Галилей еще в юности отметил этот факт экспериментально. Ему было скучно, он наблюдал за колебаниями люстры в соборе в Пизе и отметил, что размах колебаний уменьшается, однако время (в ударах сердца) остается постоянным.
Итак, перед нами интересный вопрос: судя по всему, движение частиц, волн и света определяется решениями одних и тех же задач на минимизацию. Найди путь, по которому луч света попадет из точки А в точку В за минимальное время — и надо же, найдешь ту линию, которую он опишет в реальной жизни!
Задачи о брахистохроне и таутохроне показывают, что точно так же можно рассуждать и о движении частиц, обладающих массой. Похоже, минимизация времени в пути — это нечто глубинное и важное.
Ньютон и Бернулли потому-то (отчасти) и были гениями, что сумели решить эти задачи, не располагая никаким общим руководством к решению. В сущности, им пришлось угадывать и перебирать возможные решения, пока они не пришли к идее самого короткого времени.
Все изменилось в XVIII веке, когда Леонард Эйлер и его ученик Жозеф Луи Лагранж обнаружили общее правило, которое позволило им минимизировать по траектории любую величину — хоть время, хоть расстояние.
Не хотелось бы погрязнуть в математике, поэтому давайте вспомним знакомый пример: полет из Филадельфии в Пекин. Возможных путей из одной точки в другую буквально бесконечное множество, хотя большинство из них предполагает извивы и зигзаги. А мы хотим найти простое соотношение, связывающее путь, который нам нужен — то есть тот, который окажется короче всего — с реальностью, в которой нам надо двигаться по выгнутой поверхности Земли.
Эйлер и Лагранж описали способ вычислить кратчайший путь, и неудивительно, что их метод в значительной степени опирался на недавно разработанные Ньютоном методы математического анализа.
Все эти разговоры о минимизации времени хороши, когда мы обсуждаем лучи света, полеты самолетов и американские горки, однако, как выяснилось, все законы Ньютона можно вывести, исходя из тех же предпосылок.
В 1747 году Пьер-Луи Моро де Мопертюи открыл принцип, которому дал название «Принцип наименьшего действия»[56]:
Это принцип наименьшего Действия, принцип столь мудрый и достойный высшего Существа и изначально свойственный всем природным явлениям: воплощение его мы наблюдаем не только при любых переменах, но и при всяком постоянстве, демонстрируемом Природою. При столкновении тел движение распределяется таким образом, чтобы количество Действия было по возможности наименьшим — при условии, что столкновение имеет место. При равновесии тела расположены таким образом, что если им предстоит претерпеть небольшое перемещение, количество Действия будет наименьшим.
Слово «Действие» — это очередной странный научный термин: вроде бы слово знакомое, но потом понимаешь, что его почему-то пишут все время с большой буквы (или, скажем, курсивом) и никогда не заменяют синонимом. Значит оно не то, что вы думаете. При ближайшем рассмотрении оказывается, что оно значит даже не то, что думал Мопертюи.
Чтобы понять, что такое действие, мне придется сначала сказать несколько слов об энергии. Речь об энергии заходила у нас уже неоднократно, и такое ощущение, что мы все время говорим о разном. И в самом деле, энергия бывает самых разных сортов, которые подпадают под несколько широких категорий.
Энергия покоя. Ядерный бензобак. Готова высвободиться в соотношении E = mc 2.
Кинетическая энергия. Именно то, о чем вы думаете, когда (и если) думаете об энергии, в том числе энергия выпущенной пули, локомотива и летающих криптонцев.
Потенциальная энергия. Энергия взаимодействия; когда вы взбираетесь по лестнице и пыхтите, то не потому, что находитесь в плохой форме, а потому, что увеличиваете свою потенциальную энергию.
Создавать и уничтожать энергию невозможно, зато ее можно конвертировать из одной формы в другую. Крошечная разница в энергии покоя между четырьмя атомами водорода и одним атомом гелия производит колоссальное количество излучения. Выпрыгните из самолета — и ваша гравитационная потенциальная энергия превратится в поистине огромную кинетическую.
Энергия — это средоточие всей физики, и в 1834 году Уильям Р. Гамильтон сумел найти достойное применение трудам Эйлера и Лагранжа. Подобно тому как Ферма показал, что свет хочет минимизировать время в пути, принцип Гамильтона — такое название он получил — требует, чтобы частицы двигались так, чтобы минимизировать Действие Мопертюи, а для этого нужно немного подправить определения.
В сущности, действие — это среднее по времени от величины под названием лагранжиан. Да, я понимаю, я опять подсунул вам научный термин[57] — зато очень полезный. Возьмите совокупную энергию движения, отнимите совокупную энергию взаимодействия — и получите именно его:
