С какой скоростью бежит стая волн
В опытах наблюдаются, конечно, не бесконечные синусоидальные волны, а группы или, как сказал бы Рассел, стайки волн. Первые систематические наблюдения групп волн и были сделаны Pacceлом. Он заметил, что скорость перемещения стайки в целом меньше, чем скорость отдельных волн. При наблюдении кажется, что волны продвигаются сквозь группу, как бы исчезая на передней ее границе. Это явление объяснил в 1876 г. Стокс, который и ввел понятие групповой скорости *). Год спустя к этой проблеме вернулся Рэлей. Он нашел, как групповая скорость зависит от дисперсии, и получил формулу, которую мы сейчас выведем.
*) Впервые это понятие для волн в дискретной решетке ввел Гамильтон, рассказавший о своей работе на заседании Ирландской академии в 1839 г. и опубликовавший два кратких сообщения. В его бумагах, найденных и опубликованных 100 лет спустя, содержалась очень подробно разработанная теория групповой скорости таких волн.
Мы воспроизведем в упрощенном виде рассуждения Рэлея, приведенные в его книге «Теория звука», первой и одной из лучших книг по общей теории колебаний и волн **). Сначала предельно упростим задачу и рассмотрим две волны одинаковой амплитуды, но слегка различной длины, распространяющиеся в одном и том же направлении. Рэлей, естественно, рассматривает синусоидальные волны, а мы для наглядности заменим синусоиды пилообразными волнами. Сумма двух таких волн легко определяется графически, как это сделано на рис. 5.9. Мы видим довольно четко выраженную стайку волн с вершиной А. Если обе волны, из которых образована эта стайка, распространяются с одной и той же скоростью, то вершина, разумеется, бежит с той же скоростью. Предположим теперь, что волны разной длины бегут с разной скоростью, т. е. имеется дисперсия. Пусть, например, v1 = v(λ1) v2 = v(λ2). Что мы увидим в этом случае? Нарисуем графики движения первой и второй волн (рис. 5.10). Нетрудно понять, что в момент t0 мы снова увидим стайку волн первоначальной формы, но с вершиной в точке x0. Как видно на рисунке, АВ = λ1, ВC = v1t0, откуда v1t0 - x0 = λ1. Назовем u = x0/t0 групповой скоростью и заметим, что (λ2 - λ1)/t0 = v2 - v1 (это тоже ясно видно, из рисунка).
**) Современники Рэлея не сумели вполне оценить, что с появлением этой книги зародилось общее учение о колебаниях и волнах. Даже Гельмгольц, которому книга очень понравилась, считал, что это просто очень хорошая книга по акустике.
Учитывая, что разности длин волн, Δλ = λ2 - λ1, и разности скоростей, Δv = v2 - v1, малы, легко понять, что
где мы заменили v1 и λ1 на среднюю скорость v = ½(v1 + v2) и среднюю длину волны λ = ½(λ1 + λ2). Это и есть соотношение Рэлея, связывающее групповую скорость со скоростью гармонической волны (последнюю обычно называют фазовой скоростью). Смысл этой простой формулы состоит в том, что скорость группы, в которой средняя длина волн входящих в нее гармоник близка к λ, определяется производной фазовой скорости v(λ) по λ при значении λ, равном средней длине волны группы.
Групповую скорость легко определять по графику функции v(λ) (рис. 5.8). Пусть средняя длина волны группы равна λ2. Проведем из точки O2 касательную до пересечения с осью у. Точка пересечения и дает групповую скорость, которая в этом случае меньше фазовой. Упражнение: докажите, что при λ λмин из формул (5.22) и (5.23) следует, что u v/2. Попробуйте проверить это соотношение наблюдениями. Точно такое построение можно выполнить и для длин волн, меньших λмин. При λ = λмин фазовая и групповая скорости, как видно из рисунка, совпадают.
Нетрудно убедиться, что для изученных нами волн на воде групповая скорость u всегда положительна, т. е. группы бегут в ту же сторону, что и волны. Однако если наклон графика v(λ) достаточно большой, то групповая скорость могла бы стать отрицательной. В этом нет ничего сверхъестественного или парадоксального. Просто основная волна длины λ (в радиотехнике ее называют несущей) бежит направо, а вершина огибающей ее кривой, обозначенной на рис. 5.9 штриховой линией (в радиотехнике ее называют модулирующей), бежит налево. Это произойдет, если при λ = λ2 будет выполнено условие tg α v(λ2)/λ2 (см. ΔO2O'2u(λ2) на рис. 5.8). Так как tg α = v'(λ2), то заключаем, что групповая скорость отрицательна, если группа образована волнами со средней длиной, удовлетворяющей условию v'(λ) v (λ)/λ.
Для длинных гравитационных волн на воде все это мог бы понять еще Ньютон, но реально понадобилось двести лет, чтобы выяснить, как много содержит в себе простое утверждение «скорость волн пропорциональна корню квадратному из их длин». Ньютон, считавший свет потоком частиц, не мог связать изученную им дисперсию света с зависимостью скорости волн на воде от их длины. Лишь через полтораста лет эта связь была замечена, и только к концу прошлого века стало окончательно ясно, что дисперсия, как и другие волновые явления (интерференция, дифракция), проявляется в любых волновых процессах. Понятие о дисперсии и групповой скорости получило после этого многочисленные применения в других областях физики — в оптике, радиофизике, квантовой теории и т. д. Тем не менее реальное использование понятия о групповой скорости и сегодня может вызвать трудности.
Очень ясно и как всегда образно сказал о тонкости понятия групповой скорости Л. И. Мандельштам в курсе лекций 1944 г., который он уже не смог закончить. «Скорость — понятие, возникшее при описании движения частицы. Оно является совершенно ясным и имеет смысл при том условии, что существует возможность отождествления частицы, т. е. в любой точке пространства мы можем утверждать, что это та же самая частица. При распространении волны мы имеем дело с перемещением не частицы, а состояния. Чтобы говорить о скорости, нужно иметь возможность и средства для отождествления состояния. В среде без дисперсии... всякое возмущение распространяется без изменения формы, поэтому возможность отождествления здесь очевидна. Но в среде с дисперсией возмущение по мере распространения деформируется, и здесь уже нельзя без дальнейшего обсуждения сказать, чему равна скорость. Нужно сначала определить, что мы в каждом таком случае будем называть скоростью распространения. Например, для движения облака нет однозначного понятия скорости. Это может быть и скорость края облака. Примерно так же обстоит дело и со скоростью возмущения.
То, что было найдено нами, относится к скорости распространения «переменной амплитуды», и эта скорость (групповая) имеет смысл только при условии неизменности группы при ее перемещении. В диспергирующей среде такой неизменности нет *), но при выполнении условий, о которых мы говорили (достаточно медленное изменение амплитуды, т. е. малое ее изменение на длине волны, и достаточно пологий ход дисперсии), деформация группы также происходит медленно, и тогда для не слишком больших расстояний понятие групповой скорости приближенно описывает распространение группы. Во всяком случае всегда, когда есть дисперсия, понятие скорости теряет однозначность. Можно по-разному определить скорость, и одно из определений... это — групповая скорость».
*) Здесь Мандельштам подразумевает, что группа изолирована от других, вроде солитона. Последовательности групп, рассмотренные нами (по Рэлею), сохраняют свою форму.
При определении скорости отдельного свободно бегущего солитона никакой неоднозначности нет. Солитон — не облако! Солитон, в отличие от группы волн в диспергирующей среде, сохраняет форму, и его скорость можно определить точно так же, как скорость обычной частицы (пока он не сталкивается с другими солитонами или с препятствиями). Что же происходит с гармониками, на которые можно разложить солитон? О таком разложении можно говорить лишь приближенно, пока нелинейность, приводящая к взаимодействию между гармониками, достаточно мала. Если при этом мала и дисперсия, то может случиться, что энергия «перекачивается» от гармоник, бегущих с большей скоростью, к более медленным гармоникам. Если такая перекачка уравновешивает деформацию, вызванную дисперсией, то может возникнуть солитон. Примерно так можно представлять себе солитон Рассела и некоторые другие солитоны.
