Энергия последнего заполненного электронами уровня (или уровня Ферми, nF) описывается следующим выражением:
εF = h2n2F/8mL2 = h2/8m·(N/2L)2,
где N — количество электронов, m — масса электрона, h — постоянная Планка, N/L — электронная плотность газа, которая зависит от L, глубины потенциальной ямы, считающейся в данном случае одномерной (краевая задача). Определим волновой вектор Ферми:
kF = 2πnF/L.
В идеальном случае со сферой с радиусом kF поверхность Ферми будет определена как поверхность, отделяющая населенные уровни от пустых в пространстве импульсов (см. рисунок). Энергию Ферми можно записать в зависимости от kF в данном случае
εF = h2k2F/8πm.
Определение скорости Ферми (vF) следующее: это скорость, с которой фермион двигается на поверхности Ферми:
vF = √(2εF/m) = hkF/2πm.
Эти параметры характеризуют электроны, населяющие последний энергетический уровень в металлах (уровень Ферми). Зная их, можно подсчитать, когда они перейдут в зону проводимости. Это позволило развиваться полупроводникам и современной электронике.
Распределение энергии фермионов в Ферми-газе устанавливается посредством плотности, температуры и совокупности свободных энергетических уровней, следуя статистике Ферми — Дирака, как мы видели в предыдущей статье.
В 1927 году Паули успешно использовал статистику Ферми для объяснения парамагнетизма щелочных металлов, таких как литий. В том же году Зоммерфельд применил ее к свободным электронам в металле, хотя уже в 1900 году немецкий физик Пауль Друде изучал проводимость на примере классического газа. Свободные электроны металлов являются причиной электрической проводимости, и их надо отличать от электронов, которые остаются связанными с атомными ядрами и не входят в так называемую зону проводимости.
При температуре ниже, чем температура Ферми, газ может считаться вырожденным, и следовательно, давление Ферми имеет место только благодаря принципу исключения. Температура Ферми зависит от массы задействованных фермионов и от плотности энергетических уровней. Для металлов она равна тысячам градусов Кельвина. Максимальная энергия фермионов при абсолютном нуле равна энергии Ферми, которая определяет границу перехода электронов, связанных с ядром, к электрической проводимости.
Итак, в металле одна часть электронов остается при атомах, которые формируют его структуру, а другая, находящаяся на внешних уровнях и орбиталях, становится газом свободных электронов (см. рисунок на следующей странице). Их можно легко сдвигать с помощью внешних электромагнитных полей. Таким образом, батарейка может легко вызвать движение электронов в металле и, следовательно, электрический ток.
Понимание явления проводимости металлов в середине XX века позволило создать полупроводниковые материалы, имеющие фундаментальное значение для современной электроники. Они стали основой технологической революции в нашу кремниевую эпоху.
Схема свободных электронов лития. Только некоторые из них перешли от последнего уровня, или уровня Ферми, к зоне проводимости — своего рода бульону, в котором электроны двигаются с большой легкостью и который обеспечивает хорошую проводимость металлов.
СЕМЕЙНАЯ ЖИЗНЬ ФЕРМИ
Во время субботних вечеринок у профессора Кастельнуово сложилась тесная компания студентов и молодых профессоров. Среди «ребят с улицы Панисперна» были такие студенты, как Амальди и Сегре, и близость к ним по возрасту Ферми, Персико и Разетти способствовала зарождению тесной дружбы. Лаура и Энрико тоже сближались все сильнее и в конце концов встали рядом перед алтарем. Они поженились жарким днем 19 июля 1928 года. Лаура была умной девушкой, очень непосредственной и эмоциональной. Она влюбилась не только в гений Ферми, в ученого, поражавшего (и даже иногда пугавшего) ее своими знаниями и открывавшего ей чудеса физики, но и в сердечного, простого человека, способного наслаждаться малым, получать удовольствие от жизни и мечтать.
Лаура редко сопровождала мужа в поездках и впервые оказалась вместе с ним в США в 1930 году, когда Энрико должен был прочитать лекцию на конференции в Энн-Арборе, в Мичиганском университете. Так она увидела страну, которая позже стала ее второй родиной, и так началась, как писала сама Лаура, ее «американизация». Вернувшись в Рим после медового месяца, чета переселилась в квартиру, где через несколько лет родилась их старшая дочь Нелла (1931), а потом сын Джулио (1936), названный в честь погибшего брата Энрико. Этот период был очень плодотворным для Ферми-ученого. Казалось, ничто не могло поколебать их счастье, но внешние обстоятельства оказались сильнее человека. Ужесточение фашистского режима вынудило семью Ферми эмигрировать.
Ферми с Лаурой Капой в 1954 году. Они поженились в 1928-м.
Корбино, создатель группы «ребята с улицы Панислерна».
Под наблюдением Корбино Ферми руководил «ребятами с улицы Панисперна». Слева направо: Оскар Д’Агостино, Эмилио Сегре, Эдоардо Амальди, Франко Разетти и Энрико Ферми. Около 1930 года.
СПЕКТР УЛИЦЫ ПАНИСПЕРНА
Спектроскопия позволяет проанализировать химический состав вещества на основе, например, его спектра излучения или поглощения (см. рисунок). Если газ подвергается действию высокочастотной радиации, то поглощает часть спектра и в результате получается спектр поглощения, в котором нет полос, соответствующих длине волн поглощенного излучения. С другой стороны, возбужденный газ может испускать излучение с длиной волн, обусловленной его химическим составом, поэтому каждый газ имеет собственный спектр излучения. В первые годы работы на улице Панисперна Ферми изучал молекулярную спектроскопию в тесном сотрудничестве с Разетти, так как понял, что это прямой способ получить сведения о структуре материи. Его догадку подтверждали и исследования спектра водорода, сделанные Иоганном Якобом Бальмером в 1885 году, и последующие дополнения Йоханнеса Ридберга. В 1908 году Ридберг опытным путем получил формулу частоты спектральных линий для перехода атома водорода между уровнями n и n':
Схема устройства для измерения атомных спектров.
Фотографическая пластина идет в комплекте с камерами переменного тока, подключенными к компьютеру. Наблюдаемые спектральные линии говорят составе вещества, его атомной и молекулярной структуре.
v = RH(1/n2 - 1/n'2),
где RH — постоянная Ридберга для водорода, на сегодняшний день равная RH = 10967 758,341 ± 0,001 м-1 (в то время это значение было гораздо менее точным). Американский физик Теодор Лайман (1874-1954) открыл новые линии в ультрафиолетовой зоне, а позднее Пашен, Браккет и Пфунд выявили новые линии в инфракрасной. Даже Бор, создавая в 1913 году свою атомную модель, предусмотрел, чтобы она соответствовала спектроскопическим прогнозам, так как частота излучения фотонов должна совпадать с переходами электронов на другие энергетические уровни. Этому условию должна соответствовать модель атома (см. рисунок на следующей странице).
Формула боровской модели
E = 13,6eV/n2
точно предсказывала переходы атомов водорода. Ферми очень интересовался атомной физикой. В 1928 году он опубликовал «Введение в атомную физику», в котором, помимо прочего, продемонстрировал свои незаурядные педагогические способности. Ферми был убежден: если кто-то действительно что-то понял, он должен быть в состоянии это объяснить. В последующие годы он много занимался популяризаторской работой. В 1928 году вышел учебник Ферми по физике для учеников старших классов, в 1929-м — серия статей для широкого круга читателей, например «Экспериментальное обоснование новых физических теорий» или «Современные задачи физики», а в 1930-м — «Современная физика», «Атомы и звезды» и «О квантовой электродинамике». Ферми считал, что ученые обязаны рассказывать обществу о своих открытиях, хотя в то время Италии только предстояло пройти долгий путь к всеобщей грамотности, а физика еще не до конца восприняла теории квантов и относительности. Разетти же, со своей стороны, был прекрасным экспериментатором и брал на себя большую часть работы по постановке опытов, оставляя на долю Ферми их продумывание и теоретическую интерпретацию результатов.
Энергетические уровни водорода с квантовым числом л на каждом уровне и приблизительное изображение некоторых переходов, которые появляются в спектре (серия Лаймана в ультрафиолетовом, Балмера в видимом и Пашена в инфракрасном). Шкала длины волны и частоты не линеарна. Энергия измеряется в электрон вольтах (эВ), длина волны — в ангстремах
