Итак, прежде всего мы должны согласиться с тем, что даже в математике можно отправляться от разных исходных положений. Поскольку все теоремы связаны друг с другом логикой, нельзя сказать, что такие-то утверждения мы считаем основными аксиомами, ибо если вместо них вам предложат другие аксиомы, то и по ним вы сможете построить всю геометрию. Это подобно мосту, составленному из одинаковых секций. Если он развалится, вы можете восстановить его, соединив секции в другом порядке. Сегодняшняя математическая традиция состоит в том, что берут определенные идеи, которые условились считать аксиомами, и исходя из них строят все здание. Если же следовать вавилонской традиции, то мы скажем: "Я знаю то, я знаю это и как будто бы знаю вот это; отсюда я вывожу все остальное. Может быть, завтра я что-то забуду, но что-то я буду помнить и по этим остаткам смогут восстановить все заново. Я не очень хорошо знаю, с чего я должен начать и чем кончить. Но в голове у меня всегда достаточно сведений, так что если я забуду часть из них, то все равно смогу это восстановить".
Доказывая теоремы, невыгодно каждый раз начинать с аксиом. Вы не сильно преуспеете в геометрии, если станете оказывать всякое положение, каждый раз отправляясь от аксиом. Конечно, если вы располагаете определенными сведениями в геометрии, то всегда сможете вывести из них кое-что еще; но гораздо выгоднее поступать иначе. Дорога, которая начинается с выбора наилучших аксиом, не всегда кратчайшая дорога к цели. В физике нам нужен вавилонский метод, а не греческий. Постараюсь объяснить, почему.
При евклидовом подходе наша задача - подобрать как можно более интересные и важные аксиомы. Но относительно тяготения, например, мы могли бы спросить себя: какая аксиома лучше - о том, что сила направлена к центру, или о том, что за равные промежутки времени описываются равные площади?
Если я буду исходить из того, каковы силы, то смогу рассматривать систему, состоящую из многих тел, орбиты которых уже не являются эллипсами, потому что силовая формулировка говорит мне о взаимном притяжении этих тел. В этом случае теорема о равенстве площадей несправедлива. Поэтому мне кажется, что аксиомой должен быть именно закон сил.
С другой стороны, принцип равенства площадей можно сформулировать в виде более общей теоремы для многих тел. Она довольно сложна и совсем не так красива, как первоначальное утверждение о равенстве площадей, но, несомненно, является его порождением. Рассмотрим систему многих тел, взаимодействующих друг с другом, например Юпитер, Сатурн, Солнце, множество звезд, и, глядя на них издали, спроектируем свою систему на плоскость (рис. 16).
Тела движутся в разных направлениях. Возьмем в качестве центра произвольную точку и подсчитаем, какую площадь описывают радиусы, проведенные из центра к каждому телу. При этом будем учитывать массу - если у одного тела масса вдвое больше, чем у другого, то соответствующую площадь будем умножать на два. Так мы подсчитаем все площади, описываемые радиусами, а затем сложим их пропорционально соответствующим массам, Такая сумма площадей не будет изменяться со временем. Она называется моментом количества движения системы, а закон - законом сохранения момента количества движения. "Сохранение" означает всего-навсего, что величина не изменяется.
Вот одно из следствий этого закона. Вообразим множество звезд, которые сближаются друг с другом, чтобы образовать туманность или галактику. Сначала они разбросаны очень далеко от центра. Звезды медленно движутся вокруг него, и радиусы описывают определенные площади. По мере их сближения расстояния до центра сокращаются, радиусы уменьшаются, и, чтобы описать прежнюю площадь, звезды вынуждены двигаться гораздо быстрее. Таким образом, сближаясь, звезды вращаются все быстрее и быстрее. Этим (приблизительно) и объясняется форма спиральных туманностей. То же самое происходит, когда фигурист крутится на льду. Он начинает, отставив ногу, и вращается медленно, а опуская ногу, крутится быстрее. Когда нога вытянута, она описывает за секунду определенную площадь. Опустив ее, фигурист должен вращаться гораздо быстрее, чтобы описать ту же самую площадь. Правда, я доказывал это не для людей - они пользуются мускульной силой, а не силой тяготения. Но закон справедлив и для спортсменов.
Тут мы приходим к интересной проблеме. Зачастую из частного закона физики, такого, как закон тяготения, можно вывести принцип гораздо более общий, чем само содержание частного закона. В математике этого не бывает; теоремы не появляются там, где их не ожидают. Поясним примером. Если в качестве постулата физики мы взяли бы закон равенства площадей для сил тяготения, то мы могли бы вывести закон сохранения момента импульса, но только для сил тяготения. А на опыте мы обнаруживаем, что закон сохранения момента распространяется на более широкий круг явлений. Ньютон принял другие постулаты, и ему удалось получить при их помощи более общий закон сохранения момента импульса.
Пусть постулаты Ньютона неверны. Нет никаких сил - все это чепуха, частицы не имеют орбит и т, д. Тем не менее видоизмененный принцип равенства площадей и закон сохранения момента справедливы. Они распространяются на движение атомов в квантовой механике и, насколько нам известно сегодня, вполне точны.
Мы знаем эти общие принципы, которыми пронизаны самые разные законы. Но если мы будем слишком серьезно относиться к математическим доказательствам и считать, что одно справедливо только потому, что справедливо другое, то не сможем понять связи между различными отраслями физики. В тот день, когда физика станет полной и мы будем знать все ее законы, мы, вероятно, сможем начинать с аксиом, и, несомненно, кто-нибудь придумает, как их выбирать, чтобы из них получить все остальное. Но пока мы не знаем всех законов, по некоторым из них можно угадывать теоремы, которые еще не имеют доказательств.
Чтобы понимать физику, необходимо строгое равновесие в мыслях. Мы должны держать в голове все разнообразные утверждения и помнить об их связях, потому что законы часто простираются дальше своих доказательств. Надобность в этом отпадет только тогда, когда будут известны все законы.
Во взаимоотношениях физики и математики имеется еще одна интересная черта: математика позволяет доказать, что в физике, исходя из разных точек зрения, можно прийти к одним и тем же выводам. Это и понятно: если у вас есть аксиомы, то вместо них вы можете воспользоваться некоторыми теоремами; физические же законы построены так деликатно, что их различные, хотя и эквивалентные формулировки качественно отличаются. Этим они и любопытны. Для примера я сформулирую закон тяготения тремя разными способами. Все они совершенно эквивалентны, но звучат очень несхоже.
Первая формулировка - это когда силы между телами описываются уравнением, которое я приводил выше:
F = G(mm' / r2)
Каждое тело, "узнав", что на него действует сила, ускоряется, т.е. изменяет свое движение на определенную величину за секунду. Это обычная формулировка закона, я назову ее ньютоновой. Эта формулировка говорит, что сила зависит от чего-то находящегося на конечном расстоянии. Она обладает так называемым свойством нелокальности. Сила, действующая на предмет, зависит от того, насколько удален от него другой предмет.
Вам, возможно, не понравится мысль о действии на расстоянии, Откуда может узнать предмет, что происходит вдалеке? Ну что ж, имеется другой способ сформулировать закон - очень странный. Он основан на понятии поля. Объяснить его трудно, но я попытаюсь дать вам хотя бы приблизительное представление. Звучит он совсем по-другому.
В каждой точке пространства имеется число (именно число, а не механизм: в том-то и вся беда с физикой, что она должна быть математической), и, когда вы переходите с места на место, это число меняется. Если в какой-то точке пространства поместить предмет, то на него будет действовать сила в том направлении, в котором быстрее всего изменяется это число (я дам ему обычное название - потенциал; сила действует в направлении быстрейшего изменения потенциала).
Далее, сила пропорциональна тому, насколько быстро изменяется потенциал при перемещении из одной точки в другую. Это только одна часть формулировки, и ее недостаточно, потому что я еще не сказал вам, как именно изменяется потенциал. Я мог бы сказать, что потенциал изменяется обратно пропорционально расстоянию от каждого тела, но тогда мы снова вернулись бы к понятию о действии на расстоянии. Можно сформулировать закон по-другому, сказав: нам не надо знать, что происходит за пределами маленького шарика. Если вы хотите знать, чему равен потенциал в центре, скажите мне просто, каков он на поверхности сколь угодно малого шарика. Вам не надо смотреть вокруг шарика, скажите лишь, каков потенциал по соседству с интересующей вас точкой и какова масса шарика. Правило таково. Потенциал в центре равен среднему потенциалу на поверхности шарика минус постоянная С, которая была в предыдущем уравнении, поделенная на удвоенный радиус шарика (обозначим его через а) и умноженная на массу шарика, если шарик достаточно мал:
