Я очень рано стал приверженцем Лейбница, а позже — врагом Канта. Я защищал Лейбница от Канта. Позже, после войны, в конце сорок седьмого—начале сорок восьмого года я познакомился с трудами Норберта Винера. Он считается отцом информационной теории, которая стала очень популярной.
Норберт Винер основывает свою теорию информации и интеллекта на теории газов — статистической теории газов, основателем которой является Людвиг Больцман. С тех пор, как вы наверно знаете, очень много тумана напущено по поводу информационной теории, но мне показалось, что это самая ужасающая вещь, которая мне когда-либо встречалась.
Я пришел к выводу, что все, сказанное Винером, было лишь выродившимся вариантом утверждения, уже высказанного Кантом. Будучи очень самонадеянным молодым человеком, я заявил: «Я смогу их победить. Я смогу подмести пол профессором Винером». И действительно смог, в словесном смысле.
Объясняя суть совершаемых человеком научных открытий, я, естественно, рассматривал и роль технологий, в которые обычно воплощаются идеи человека. Так вот, ключевым и простейшим доказательством ложности идей не только Винера, но и ученого дурака (умелого математика, но тем не менее, ученого дурака) Джона Фон Неймана является роль языка в распространении идей о технологиях или научных открытиях. Фон Нейман умел заполнять большое количество учебных досок различными формулами, не выдвигая при этом никаких идей. Он был самым главным из основателей того, что сегодня называется системным анализом, который также исключает всякие возможности для новых идей.
Как же теперь, после решения этой проблемы, мы должны бросить вызов математикам?
Я начал с работ Георга Кантора. Изучив, в частности, его последнюю работу «К обоснованию учения о трансфинитных множествах», я вновь вернулся к фундаментальному открытию Бернхарда Римана. Тогда я понял, почему идеи нельзя выражать математическим способом. Но можно представлять функции, которые при помощи идей объясняют, что происходит в математике.
Мне сказали, что некоторые из вас изучали формальную логику. Давайте обсудим это с точки зрения формальной логики. Возьмем модель формальной логики. Не будем для этого использовать логику в том смысле, который придается ей сейчас; обойдемся без силлогизмов Аристотеля и без метафизики. Используем в качестве этой модели геометрию. Мы не будем использовать знак равенства в логике, мы используем положения «больше чем» или «меньше чем» в различных значениях, а вместо знака равенства — знак конгруэнтности. Потому что два явления могут казаться равными, но они могут быть не конгруэнтными. Многие современные математики не понимают этой разницы.
В любой системе, которая является типичным отражением евклидовой геометрии, вы можете доказать предположения и показать, что они совместимы и не противоречат друг другу. Такие предположения можно тогда назвать теоремами. Для любой системы теорем, которая может иногда называться структурой теорем, можно доказать, что она основывается на множестве аксиом и постулатов. Поэтому вместо того, чтобы думать о теоремах вы можете оперировать этим множеством аксиом и постулатов, потому, что множество аксиом и постулатов подразумевает все возможные теоремы данной структуры теорем.
Что же все таки открыл Риман? В марте 1853 г. молодой гений, которого звали Бернхард Риман, который учился в Геттингене, в Берлине и потом снова в Геттингене и был под покровительством Карла Гаусса и Лежена Дирихле, сделал открытие. Он получил специальное разрешение подготовить свою квалификационную диссертацию на основе поиска чего-либо подобного его открытию в других областях науки при помощи библиографических и иных источников. Спустя немного больше года, в июне 1854 года, он целый день докладывал группе профессоров по поводу своего открытия и защитил его.
Открытие Римана можно справедливо и точно описать следующим образом. Доклад «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» — одна из самых блестящих работ во всей научной литературе. В ней все четко и ясно, в ней нет ничего непонятного, но почти никто, кто выражал свое мнение по этой работе, никогда не выражал ее искренне. Потому что эта работа огорчает всех математиков.
Чему же он бросил вызов? Он утверждал, что до той поры в геометрии существовали сомнительные положения, фундаментальные пороки, на которые его предшественники уже обращали внимание, хотя и не смогли по существу определить их эффект. Единственный важный прецедент, который ему удалось обнаружить, появился в двух работах Гаусса. В первой из этих важных работ, которая была опубликована в конце восемнадцатого века под латинским заглавием «Disquisitiones Arithmeticae», Гаусс занимается вопросом биквадратных вычетов, что связано с последовательностямипростых чисел и т.п. Позже Гаусс написал другую работу — об общей теории кривых поверхностей. Именно эти две работы Риман считал уникальными содержащими упоминания о том, чем занимался он сам.
Со своей стороны, я хотел бы описать суть проблемы с точки зрения структуры теорем. В том, что мы называем евклидовой геометрией, люди делают иногда ошибку, предполагая, что евклидова геометрия или ньютонианская физика, или картезианская физика имеют что-то общее с реально существующей Вселенной. На самом деле, они ничего не имеют общего с реально существующей Вселенной.
То, что мы называем «простой геометрией», не является продуктом нашего чувственного восприятия, а плодом нашего воображения. Мы делаем какие-то очень простые допущения. Мы вводим аксиоматические допущения на основе нашего воображения о характере времени и пространства. Мы допускаем, что пространство просто существует в трех измерениях: взад-вперед, вверх-вниз и со стороны в сторону. Мы допускаем, что время движется в одном измерении: назад и вперед. Мы допускаем, что в пространстве и во времени все может измеряться как «больше чем» или «меньше чем».
Затем мы еще хотим ввести физику в пространство-время. Мы считаем, что физические тела основаны на таких объектах, которые, как мы считаем, воспринимаемы нашими органами чувств. Здесь мы делаем два допущения. Мы представляем себе, что помещаем объект в пространство-время. Подобно землемеру мы проводим нечто вроде картографирования, отображая этот объект в пространстве-времени. Потом все становится еще более сложным. Мы позволяем этому объекту двигаться в пространстве-времени и допускаем, что соотношения измерения двигающихся объектов в простом пространстве-времени каким-то образом соответствуют понятиям причины и следствия в реальном мире.
Далее вводим еще одно допущение, которое является самым неправильным и самым опасным в современной математической физике. Эту ошибку защищал один из самых известных математиков восемнадцатого века, который принадлежал также к фанатичным защитникам Исаака Ньютона. Это был швейцарский учитель математики, который с помощью Лейбница и Иоганна Бернулли был приглашен в Россию в Петербургскую академию. В 1741 году один из самых больших негодяев Европы — король Пруссии Фридрих II пригласил его переехать из Санкт-Петербурга в Берлин. Академия в Берлине являлась центром ненависти к Лейбницу в Германии. В ней работали такие дегенераты как Пьер Луи Мопертюи, которого выгнали из Академии в 1753 за содеянный им математический обман. В то время там работал Вольтер, а также Франческо Альгоротти — привлекательный юноша из Италии (возможно он оказался одним из источников теории эстетики Иммануила Канта), который также был одним из тех, кто контролировал науку в Берлинской академии.
Человек, о котором я веду речь, работал в Берлине начиная с 1741 года в течение 25 лет, после чего он вернулся в Петербургскую академию. Он внес большой положительный вклад в математику, но он также стал соучастником двух обманных схем, осуществленных в математике. Его имя — Леонард Эйлер.
Речь идет о двух вещах. Во-первых, Эйлер принимал участие в совершении того обмана, за который выгнали Мопертюи из Берлинской академии. Мопертюи утверждал, что он раскрыл принцип наименьшего действия. Его уволили, потому что слишком очевидным был этот обман. Эйлер его защищал, хотя сам Эйлер достаточно много работал с трудами Лейбница, чтобы понять суть этого обмана.
Вторым преступлением Эйлера стала опубликованная им в 1761 г. работа под заглавием «Письма к немецкой принцессе», в которой содержались нападки на «Монадологию» Лейбница. В этой работе он настаивал на том, что пространственно-временной континуум делим неограниченно, без остатка. К этому постулату Эйлера, который получил широкое применение в истории математики и физики, важно привлечь внимание потому, что из-за него совершенно невозможно понять отношение между математикой и физикой, как и невозможно уразуметь, как научные идеи влияют, например, на изменение в продуктивности функционирования общества.
