Эллиптические кривые того типа, который нас здесь интересует (см. рисунок), — это просто уравнения вида: у2 = х3 + ax2 + bх + с; где а, b и с — целые числа. На самом деле они не эллипсы; своим названием кривые обязаны тому, что в прошлом их использовали для изучения траекторий планет. А модулярные функции, наоборот, несколько более странные "существа". Они обитают в том, что называется гиперболическим пространством, в котором у нас есть две оси, но они обе образованы комплексными числами. Вследствие этого, поскольку любое комплексное число имеет действительную и мнимую части, гиперболическое пространство на самом деле имеет четыре координаты. Поскольку наше несовершенное зрение ограничивается тремя пространственными координатами, мы не можем представить наглядно модулярную функцию. Итак, скажем, что модулярная функция является математическим объектом, существующим в гиперболическом пространстве и имеющим некоторые свойства. Одно из них — то, что их мнимая часть положительна, поэтому наши объекты находятся в верхней части пространства. Другие свойства не так просто описать, и мы опустим их в нашем изложении.
Итак, у каждой модулярной функции есть, по образному выражению Симона Сингха, ДНК — ряд чисел, которые полностью ее описывают и которые мы назовем М1, М2 ... Мn. Аналогично, у каждой эллиптической кривой есть, в свою очередь, другое ДНК, которое мы назовем E1, Е2, ... En.
Еще в первой половине XX века обе области (изучение эллиптических кривых и модулярных функций) были подобны изолированным отсекам, не имеющим между собой ни малейшей связи. Следуя традиции специализации в математике, которая начиная с XIX века стала еще более ярко выраженной, те, кто занимался одной ее областью, не имели ни малейшего понятия о другой.
Но японские математики Ютака Танияма (1927-1958) и его друг Горо Симура вывели удивительный результат: каждой эллиптической кривой соответствует модулярная функция, и наоборот. ДНК полностью взаимозаменяемые. Последовательность М модулярной функции равна последовательности Е эллиптической кривой, и наоборот.
Они не могли доказать эту гипотезу, когда сформулировали ее в послевоенной Японии, но были убеждены в ее истинности. На вопрос своего коллеги, утверждает ли он, что некоторые эллиптические кривые имеют соответствующую модулярную функцию, Симура ответил: "Нет, я утверждаю, что она есть у них у всех".
Гипотеза была красивой, поскольку она, словно мост между двумя мирами, соединяла две внешне чуждые области. Если гипотеза верна, это означало, что любая теорема, истинная для модулярных функций, верна и для эллиптических кривых, и наоборот. Красота гипотезы состоит не только в том, что экономится половина усилий, но и в том, что иногда доказательство намного более достижимо в одном из миров, чем в другом. Гипотеза завораживала математиков в течение десятилетий... Но, как это произошло и с Великой теоремой Ферма, она сопротивлялась всем попыткам доказать ее.
Верно, что исследователи рассмотрели огромное число частных случаев и во всех из них гипотеза выполнялась; но этого было не достаточно для доказательства. Однако исследователи начали изучать следствия из нее, как если бы она была верной, и получили огромное количество фантастических результатов. Гипотеза была очень плодотворной. Если бы она только была истинной... Все эти результаты можно сравнить с ветками, отделенными от дерева математики, так как они основывались на недоказанной гипотезе. Однако мир, частица которого была видна из-за представшей перед учеными стены, представлялся фантастическим.
Через несколько лет, в середине 1980-х годов, немецкий математик Герхард Фрай заявил, что Великая теорема Ферма может быть записана в виде эллиптической кривой. Но это была бы очень особенная эллиптическая кривая. Если бы она существовала на самом деле, ее последовательность Е была бы такой странной, чтобы было бы невозможно существование модулярной функции с такой же последовательностью А/. Действительно, если бы существовала эллиптическая кривая Фрая, то для гипотезы Таниямы — Симуры нашелся бы контрпример и, следовательно, она являлась бы ложной. Ложность Великой теоремы предполагает ложность гипотезы Таниямы — Симуры, следовательно, истинность гипотезы Таниямы — Симуры предполагает истинность теоремы Ферма. Фраю не удалось доказать свою гипотезу, однако позднее это сделал американский математик Кен Рибет.
Результат Фрая и Рибета делал возможной совершенно новую стратегию атаки Великой теоремы, попытки покорить которую зашли в тупик и пребывали в таком состоянии десятилетиями. И вдруг открылся новый, абсолютно инновационный фронт: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет и теорему Ферма.
ПОСЛЕДНИЙ ШАГ
Именно здесь на сцену выходит математик Эндрю Уайлс.
По невероятной случайности он был увлечен теоремой Ферма с десяти лет. Но когда Уайлс начал изучать математику, она завела его, казалось бы, очень далеко от детской увлеченности: он стал специализироваться на эллиптических кривых. Должно быть, он был очень удивлен, когда узнал о результате Фрая и Рибета в обычной беседе в 1986 году. Премия была перед ним!
Однажды я ходил по местной публичной библиотеке и нашел книгу по математике, в которой немного говорилось об истории этой задачи, и я, в возрасте десяти лет, смог понять ее. С тех пор я пытался решить ее сам [...]. Этой задачей была Последняя теорема Ферма.
Эндрю Уайлс о своей первой встрече с теоремой Ферма
Не сомневаясь в своем успехе, Уайлс закрылся у себя в комнате и, не посвящая никого в свои проекты, решил доказать гипотезу Таниямы — Симуры, которая доказала бы автоматически и Последнюю теорему Ферма. Между этим моментом и циклом лекций в Кембридже прошло семь лет, во время которых Уайлс не публиковал почти ничего и занимался, казалось, исключительно преподавательской деятельностью.
Такая ситуация несколько необычна, поскольку карьера исследователя, который не публикуется, подвергается серьезному риску. В академическом сообществе существует присказка: публиковаться или погибнуть. Успех измеряется числом цитат, взятых из публикуемых статей в престижных журналах.
ЭВАРИСТ ГАЛУА И НИЛЬС АБЕЛЬ
Эварист Галуа (1811-1832) и Нильс Хенрик Абель (1802-1829) развили, независимо друг от друга, теорию групп для решения вопроса, имеет ли уравнение пятой степени обобщенное решение, как это было у всех уравнений меньшей степени. Теория француза Галуа была гораздо более развита, чем теория норвежца Абеля, поскольку он первым использовал термин "группа". Обоих математиков ждала трагическая судьба, они оба умерли молодыми. Абель скончался от болезни и лишений. Галуа же был не только гениальным математиком, но и ярым республиканцем: он прожил короткую жизнь, которая закончилась абсурдной дуэлью из-за женщины. В ней многие увидели политическую ловушку полиции Луи Филиппа Орлеанского. Ни один из этих ученых не был признан при жизни. Известно, что Галуа лихорадочно записывал свои идеи накануне дуэли, явно убежденный в том, что умрет на следующий день. Иногда он писал: "У меня нет времени". На следующий день, действительно, Галуа был смертельно ранен и покинут своим противником. Ученый прожил еще несколько дней. Когда он увидел, как плачет его брат, то сказал ему: "Не плачь, мне нужна вся моя смелость, чтобы умереть в 21 год".
Теория групп
Группа — это просто множество А с операцией Θ, которая имеет некоторые свойства: она закрытая (результат операции находится в А), ассоциативная, имеет нейтральный и обратный элементы. Например, множество (a, b, c) и операция, которая состоит в расположении всех трех элементов в различном порядке (abc), (acb), (bca) и так далее, образуют группу. Сегодня группы вездесущи в математике. Мало что было таким плодотворным, как теория групп. Но, кроме того, изучение теории групп ведет к исследованию других алгебраических структур, таких как кольца, поля и идеалы. Значительная часть современной алгебры — это изучение множества и некоторых операций с элементами этого множества.
Эварист Галуа.
Нильс Хенрик Абель.
Но Уайлс держался практически в полном молчании, периодически все-таки публикуясь по вопросам, очень отдаленным от его реального исследования. Ученый быстро продвигался в своей работе, и некоторые его результаты по теории групп были достойны того, чтобы принести ему известность; однако он боялся, что кто-нибудь узнает, чем он на самом деле занимается, и вынудил себя молчать. Вскоре коллеги начали думать, что карьера Уайлса закончена и его математический гений исчерпан. Ничего удивительного в их выводах не было, поскольку большинство математиков вносят свой вклад в науку еще в молодости.
