Последовательно рассмотрим главные направления развития теории симметрии в трудах А. В. Шубникова и его последователей и тем самым оценим не только личный вклад А. В. Шубникова, но и перспективы развития каждой конкретной области его деятельности.
Знаменательным событием был выход в свет монографии А. В. Шубникова «Симметрия» [132], носившей подзаголовок: «Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве». В этой монографии, как в фокусе, собраны все известные в то время достижения теории симметрии. Вначале (во введении) автор анализирует понятие равенства как основу геометрической закономерности и учения о симметрии, и вводит понятие симметрии: «Мы будем называть симметричным такой предмет, который состоит из геометрически и физически равных частей, должным образом расположенных относительно друг друга» [132, с. 8]. Здесь же анализируются отклонения от симметрии и высказывается предположение о том, что «изучение несовершества симметрии оказывает большую услугу разработке вопросов симметрии...». В небольшом параграфе «Симметрия как особый род геометрической закономерности» можно найти истоки по меньшей мере трех направлений, возникших намного позднее: принципа симметризации-диссимметризации, черно-белой симметрии и принципа построения «составных групп», в конечном итоге вылившихся в W-симметрию Копцика.
Автор последовательно рассматривает основные типы симметричных конфигураций начиная с односторонних розеток. По определению А. В. Шубникова: «Односторонней розеткой мы называем фигуру, в которой имеется хотя бы одна особенная полярная плоскость и хотя бы одна особенная точка» [132, с. 32]. По классификации Холзера—Шубникова—Бома, односторонние розетки имеют обобщенный символ G20. Здесь имеет смысл остановиться на вопросах классификации типов групп симметрии, поскольку приведенное определение односторонней розетки уже содержит указание на классификационные признаки, основанные на особых элементах пространства. В неявной форме это учтено и А. В. Шубниковым в его «Симметрии», поскольку известное тогда множество фигур с ортогональной симметрией разделено на односторонние розетки, фигуры с особенной точкой (в том числе с особенной плоскостью и без нее), бордюры, ленты, стержни, сетчатые орнаменты, слои и федоровские группы. Процесс разработок классификационных принципов был начат А. Ниггли и расширен Н. В. Беловым и Н. Н. Нероновой. Однако, как отмечено Шубниковым [263—265], Холзером и Бомом, их схема оказалась неполной. Тогда ими было предложено классифицировать группы по размерности соподчиненных особенных элементов, инвариантных относительно преобразований групп симметрии. В конечном итоге подробная систематика групп ортогональной и черно-белой симметрии была построена Н. Н. Нероновой.
В следующем разделе А. В. Шубников изучает фигуры с особенной точкой, или, иными словами, точечные группы, символ которых G30. При этом на примере куба автор вводит представление о симметричных разновидностях простых форм, что послужило толчком для Г. Б. Бокия к выводу 146 (193) физически различных простых форм кристаллов, а впоследствии к появлению 1403 структурногранных разновидностей простых форм, предложенных И. И. Шафрановским.
В границах точечных групп фактически выделены группы односторонних розеток G20, двусторонних розеток G320, точечные группы G30 и отдельно — предельные точечные группы, причем предельные группы симметрии использованы для классификации направленных величин. Здесь содержатся наметки для развития в дальнейшем теории симметрии векторов и тензоров, что оказало существенное влияние на многие вопросы физической кристаллографии и будет рассмотрено позже.
Следующий раздел монографии посвящен фигурам без особенной точки, в первую очередь бордюрам «как группам без особенных точек, но с особенной полярной плоскостью и единственной осью переноса» [132, с. 72]. Всего выведено 7 групп G2I. Определив ленты G321 как «фигуры с особенной (полярной или неполярной) плоскостью, параллельно которой проходит ось переносов» [132, с. 76, 77], автор далее выводит 31 группу G321 и при этом отмечает, что существенно различных лент, рассматриваемых как стержневые группы, только 22, поскольку стержень — это «фигура без особенных точек и плоскостей, но с единственным особенным направлением» [132, с. 81]. Попутно в этом параграфе рассмотрена типология винтовых осей симметрии, включая винтовые оси с бесконечным элементарным переносом. На основе комбинирования дискретных и непрерывных элементов симметрии автором разработана типология предельных групп симметрии стержней, в том числе 7 групп, порожденных 5 предельными точечными и дискретной трансляцией; бесконечное разнообразие стержневых групп с непрерывной трансляцией и дискретной точечной и с обоими непрерывными порождающими элементами. Здесь же доказывается, что любое симметричное преобразование пространства может быть реализовано отражениями максимум в четырех плоскостях, которые сами по себе не обязаны быть реальными плоскостями симметрии. Это выводится из утверждения Г. В. Вульфа о главенствующей роли плоскости симметрии среди прочих симметричных преобразований или теоремы Болдырева. На основе этого фундаментального положения предлагается еще одно определение симметрии: «Симметричной называется всякая фигура, которая может совмещаться сама с собой в результате одного или нескольких последовательно произведенных отражений в плоскостях» [32, с. 97].
Далее автор переходит к выводу сначала 17 двумерных групп G2, а затем приводит список всех 8G групп симметрии слоев G32, проиллюстрированных рисунками, кочующими из работы в работу с того момента, когда они впервые были нарисованы Вебером.
А. В. Шубников иллюстрирует группы симметрии либо различными орнаментальными мотивами, либо интерференционными картинами. В этом же параграфе дана фактически сводка параллелогонов, заполняющих плоскость параллельными переносами и смежных по целым ребрам, планигонов, заполняющих плоскость в любом положении, полных и неполных плоских изотонов :— многоугольников, в каждой вершине которых сходится одно и то же число ребер, причем многоугольники заполняют плоскость без промежутков. Эта тема в творчестве А. В. Шубникова имеет свою предысторию и заслуживает отдельного рассмотрения [132, с. 58]. Далее автор получает 7 групп симметрии плоских односторонних семиконтинуумов, а затем переходит к слоевым группам и соответствующим им континуумам и семиконтинуумам (31 группа). При весьма схематичном рассмотрении федоровских групп, что обусловлено объемом книги и ее ориентацией на непрофессионалов, уделено внимание плотнейшим упаковкам (по Н. В. Белову), теории параллелоэдров и стереоэдров, определению групп симметрии континуумов и семиконтинуумов.
Анализируя монографии по теории симметрии, можно сказать, что «Симметрия» А. В. Шубникова — явление уникальное, поскольку, если не считать работ по орнаментам или по проявлению упорядоченных форм в природе, собственно симметрии и ее проявлениям в природе в самом широком смысле этого слова посвящены, пожалуй, лишь работы его учителя Г. В. Вульфа. Только в 50—60-х годах нашего столетия появились многочисленные публикации по этому вопросу, из которых сопоставимой можно считать только вышедшую в 1968 г. работу Г. Вейля «Симметрия», а также расширенное и дополненное новое издание книги А. В. Шубникова, вышедшее в соавторстве с В. А. Копциком [344].
В 1940 г. увидела свет написанная совместно с Г. Б. Бокием и Е. Е. Флинтом книга А. В. Шубникова «Основы кристаллографии» [134], завершившая представительный ряд фундаментальных трудов наших соотечественников: Е. С. Федорова, В. И. Вернадского, Б. Н. Делоне, А. Д. Александрова, безвременно скончавшегося В. В. Доливо-Добровольского, А. К. Болдырева и др.
Начиная с монографии [132], А. В. Шубников систематически дополняет и совершенствует разработанную им систему обозначений групп симметрии., отличавшуюся от интернациональной символики, введенной впервые К. Германном в 1929 г. и Ш. Могеном в 1931 г.
Рассмотрим последовательно развитие ортогональной симметрии в трудах А. В. Шубникова и его коллег, генезис антисимметрии и ее расширений, развитие теории симметрии подобия.
В Атласе кристаллографических групп симметрии [150] впервые в отечественной литературе приведен полный иллюстрированный каталог всех в то время известных дискретных групп ортогональной симметрии, причем даже в самих названиях отражены физические приложения рассматриваемых групп.
В «Атласе» даны изображения: 10 групп симметрии форм граней (G20); 31 группа симметрии форм двумерных кристаллов (таблетки G320); 32 группы симметрии форм кристаллов (G30); 7 групп симметрии ребер (бордюров G21); 29 полярных стержневых групп, входящих в состав 75 групп симметрии рядов (G31); 17 групп симметрии граней (G2); 80 групп симметрии слоев (G32); 230 пространственных групп G3.
