РИС. 12
РИС. 13
Эти колебания называются стоячими волнами: в каждой их точке колебания происходят с той же частотой, что и у встречных волн. Волны свободно распространяются вдоль струны влево или вправо, затем они сталкиваются с закрепленными концами и возвращаются обратно. Две волны встречаются и расходятся в разные стороны, при этом их наложение друг на друга образует стоячую волну. Струна оказывается разделенной на равные сегменты точками соприкосновения — узлами стоячей волны, при этом оставшаяся часть струны колеблется. Узлы первой, или фундаментальной частоты (ее также называют гармоникой) находятся на концах струны, для второй гармоники добавляется один узел, в середине струны, для третьей — два, делящие струну на трети, и так далее (см. рисунок).
Изображение струны
Чтобы лучше понять волновое уравнение, можно проиллюстрировать колебания струны с помощью серии фотографий. На каждой из них время останавливается, позволяя уловить профиль волны, наподобие изображенного на рисунке 1.
РИС. 1
Расположение струны в момент tr
Затем мы засекаем промежуток времени (ось абсцисс) и вновь отпускаем струну, концентрируя внимание на ее точке и наблюдая изменение ее положения. Изобразим это изменение, учитывая, что струна колеблется сверху вниз. Если мы расположим эти фотографии рядом, то заметим, что последовательность точек образует вторую волну (рисунок 2). Также изменение расположения точки в зависимости от времени может быть представлено таким образом, как на рисунке 3.
РИС. 2
Последовательность рисунков отображает изменение высоты точки струны (зафиксированное положение в момент времени x1).
РИС. 3
Изменение положения струны, колеблющейся снизу вверх, в точке х1
Уравнение
говорит нам, что скорость, с которой изменяется касательная к струне, изображенная на графике ее пространственного изменения
пропорциональна скорости, с которой меняется касательная на графике временного изменения
Если, например, коэффициент Т/р больше 1, волна будет более сжатой на временной оси, чем на пространственной (рисунок 4).
РИС. 4
Если Т/р меньше 1, отношение обратное; если Т = р, касательная изменяется одинаково в пространстве и во времени.
Иными словами, мы видим перед собой классическое описание работы струнного музыкального инструмента, сделанное с помощью постоянной функции, но со своими переменными, частотой, квантами. Между квантованием энергии уравнения Бора (1) для атомов и уравнением частоты гармоник нет существенного различия. Подчеркнем, что эта мощная аналогия до сих пор не привлекала внимания физиков, однако Шрёдингер не прошел мимо. Его уравнение предполагает бесконечность чисто математических решений, но если ввести дополнительные условия, то один из его параметров — энергия — становится квантованным.
фундаментальная или первая гармоника
вторая гармоника
третья гармоника
Первая статья Шрёдингера, посвященная структуре атома, называлась «Квантование как задача о собственных значениях» (1926). Под термином «собственное значение» имеется в виду параметр, который является квантованным после наложения на дифференциальное уравнение определенных условий. В этой статье Шрёдингер определенно ссылается на колебания струны. Целые числа, возникающие при рассмотрении атома водорода, получаются «естественным образом, сами по себе, подобно тому как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования».
Пришло время вернуться к выражению:
где m — масса электрона и Е — энергия системы. Функция ψ связана с информацией относительно расположения электрона таким способом, который пока еще нельзя объяснить. Функция V(x) представляет любое воздействие Вселенной на электрон. Когда она равна нулю, предполагают, что электрон является свободным, но как только электрон приближается к ядру и оказывается связанным с атомом, функция V(x) перестает быть равной нулю и подчиняется электрическому присутствию протонов:
где Z — число протонов, идентифицирующее атом. Мы располагаем ядро в начале координат (х = 0) таким образом, что переменная х также означает расстояние, отделяющее нас от ядра. Введем это выражение в уравнение Шрёдингера:
Мы можем рассматривать V(x) как произведение постоянной (соединяющей Кc, Z и е²) и функции расположения 1/х:
где функция 1/х принимает вид как на рисунке 14 (стр. 89), на котором мы видим, что функция 1/х стремится к бесконечности при х = 0 и убывает до исчезновения, когда х становится очень большим числом.
Свободный электрон
Когда функция У исчезает, электрон становится свободным, и уравнение Шрёдингера сокращается до своей самой простой формы:
Это очень похоже на уже рассмотренное первое дифференциальное уравнение:
Из этого мы делаем вывод, что касательная у пропорциональна значению функции в каждой точке. Именно сейчас проявляется динамика изменения касательной функции ψ. Отметим, что при повышенном значении для Е (электрон с высокой энергией) вторая производная будет больше постоянной ψ. Мы окажемся в ситуации сжатой волны с малой длиной (см. рисунок 11, стр. 80). Если мы возьмем выражение де Бройля λ = h/p, то малая λ соответствует большой р (то есть повышенной скорости р = mv). И наоборот, малая Е приводит нас к случаю вытянутой волны, с большой длиной и, таким образом, низкой скоростью: электрон с низкой энергией. В уравнении (1) электрон, не испытывая никакого влияния окружающей среды, находится в состоянии, похожем на состояние свободной струны, и его частота постоянна. К тому же форма ψ очень похожа на волну, распространяющуюся в свободном пространстве. Энергия частицы также не является квантованной и предполагает бесконечный спектр значений.
График кривой показывает, что V оказывается принципиальным в уравнении, когда значение х мало (когда электрон блуждает около ядра). Если мы разделим число на другое, намного меньшее, чем единица, то получим в качестве результата большое число. Чем сильнее уменьшается знаменатель, тем больше становится коэффициент. Например:
И наоборот, если х увеличивается, коэффициент
уменьшается, пока не станет незначительным. Эти две тенденции показывают, что электрон подвержен воздействию притяжения, когда он находится поблизости от ядра (где V сильно увеличивается). И его присутствие едва заметно, когда он очень далеко (V уменьшается, пока не исчезнет). В последнем случае, когда V стремится к нулю, уравнение сокращается до того вида, который соответствует свободному электрону (рисунок 15).
Мы предполагаем, что в любой момент ядро находится в состоянии покоя (или что можно не обращать внимания на его скорость, как и на скорость электронов).
РИС. 14
РИС. 15
Действие V, связывающее электроны с ядром, равносильно тому, чтобы зафиксировать струну на подставке скрипки.
Так как функция а(х,t) должна быть равна нулю на концах или соответствовать форме струны до касания, существуют дополнительные условия к ψ. Она должна быть постоянной и ее значение должно стремиться к нулю при нахождении далеко от ядра. Настоящее значение этих условий будет раскрыто в следующей главе. В тот момент, когда условия будут выполнены, энергия системы будет квантована согласно формуле Бора. Функции решения ψ ведут себя так же, как стоячие волны, создавая в атоме стабильную ситуацию.
Главная загадка уравнения Шрёдингера (которая будет решена в следующей главе) — какая физическая величина представляет знаменитую функцию ψ? Этот вопрос вызвал бурные споры с того самого момента, когда он был поставлен.
Наглядность функции Ψ
Чтобы описать реальный атом водорода, необходимо ввести три координаты:
