Новые числа пришли в Европу в двенадцатом веке вместе с переводами на латынь из арабских текстов. В 1202 году увидела свет «Книга аббака» (Liber abbaci) Леонардо Пизанского (ок. 1170 — ок. 1250), известного также как Фибоначчи. Теперь эту книгу считают поворотной вехой в истории математики, но в то время она была намного менее популярной, чем достаточно простая книга «Алгоритм» математика и астронома Джона Холивуда (Халифакса) (ок. 1195 — ок. 1256), более известного как Сакробоско. Название Liber abbaci, к сожалению, скорее вводит в заблуждение. Термин abbacus, с двумя b, относится к методам вычисления, в которых используются новые цифры, и не имеет никакого отношения к вычислительному устройству, известному как «абака». Действительно, существовала конкуренция между сторонниками двух форм вычисления, и лучше использовать термин «алгоритмист» для того, кто использовал технику abbacus, и «мастер абаки» для обозначения человека, который все еще предпочитал абаку или счетную доску. Математика, опытного в использовании техники abbacus, называли maestro d’abbaco — «мастером аббака».
В «Книге аббака» Фибоначчи отвел значительное место коммерческой математике. В международной торговле коммерсантам приходилось иметь дело со множеством различных систем мер и весов, осуществлять сделки в различных валютах, и им нужны были эффективные методы вычислений, чтобы избежать серьезных ошибок. В 1494 году Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», ныне известный как первая работа о методах бухгалтерии, например о двойной бухгалтерии[9], но это также был свод полезных математических методов того периода, включая приемы из области арифметики, алгебры и геометрии. За шестнадцать лет до этого, в 1478 году, в Тревизо был анонимно напечатан самый ранний учебник по арифметике. В то время нотация была все еще неустойчивой, дроби по-прежнему записывались в шестидесятеричной нотации или в виде дробных единиц. В шестнадцатом веке стали популярны десятичные дроби, хотя шестидесятеричная запись сохранилась в астрономических вычислениях, а Джон Непер[10] сделал популярной десятичную точку.
Возникла тенденция писать учебники по математике на местном языке, а не на латыни, что делало их более доступными для обычных людей, хотя одновременно препятствовало их распространению вследствие языковых барьеров. Германский математик, выдающийся учитель арифметики Адам Ризе (1492–1559) повлиял на распространение индо-арабских цифр на территориях, где говорили на немецком языке. Уэльский врач и математик Роберт Рекорд (ок. 1510–1558) был, по-видимому, первым популяризатором математики. Он написал самые ранние учебники по математике на английском языке, и его работа «Основа искусств» (ок. 1540), посвященная арифметике, переиздавалась больше ста пятидесяти лет. Большинство книг Рекорда были написаны в форме диалога, в них входили схемы и примеры, помогавшие ему в педагогической деятельности, — в каком-то смысле он был первым ведущим первого в истории курса «дистанционного обучения». Наиболее известная его работа — книга «Точильный камень мудрости» (1557). Это учебник по элементарной алгебре, в котором мы находим первое использование = — знака равенства.
Как торговцы садятся на корабли, чтобы обрести огромные богатства,
Так и я мог бы с полным правом на встать на их место. Корабли в море, те, что с парусами и драгоценной рудой,
Были впервые созданы и с тех пор делаются
благодаря познаниям в практической геометрии. Их компас, их карты, их блоки, их якоря Были созданы с помощью практических навыков мудрых геометров.
Плотники, резчики по камню, столяры и каменщики, Живописцы, иллюстраторы рукописей, если уж они этим занимаются,
Вышивальщицы, золотых дел мастера, если они хотят быть искусны в своих ремеслах,
Должны применять геометрию при обучении мастерству.
Хорошие и точные карты, а также межи между полями Можно сделать только с использованием геометрии.
И она также нужна Портным и обувщикам, что бы они ни делали,
Их работу не похвалят, если не соблюдены правильные пропорции.
Ткачи используют геометрию при создании тканей, Их ткацкий станок — устройство, созданное удивительным воображением.
Гончарный круг, который вращается, жернов, который вращается,
Мельница, что мелет зерно, приводимая в действие ветром или водой, —
Их работа стала возможной благодаря геометрическим расчетам.
Немногие смогли бы сделать такие же устройства, если бы эти еще не были изобретены.
И все, что требует для изготовления измерений веса или размеров,
Не может быть надежно сделано без знания геометрии.
Часы, измеряющие время, — это самое хитроумное устройство Из всех, что когда-либо выведал человек.
Теперь, когда они стали обычными, их не ценят, на мастерство часовщика смотрят свысока, его работа не вознаграждается.
Но поскольку они были созданы с помощью геометрии, то люди должны знать:
Нет искусства более изумительного и мудрого, а также более нужного людям, чем добрая геометрия.
В этом стихотворении мы можем обнаружить два противоположных взгляда на математику, сохранившиеся и в более позднее время: математика как прикладная наука и как исследование, осуществляемое органами чувств. Рекорд всегда оставался верен поиску истины, несмотря ни на какие авторитеты. Он считал математику благородным искусством, призванным искать и открывать подлинные знания. По-видимому, такое отношение к науке разделяли не все, потому что, хотя он занимал пост управляющего Королевского монетного двора и был к тому же Генеральным контролером шахт и денежного обращения в Ирландии, Рекорд провел последние дни своей жизни в тюрьме, скорее всего, в результате политического доноса.
У современника и коллеги Рекорда, Джона Ди (1527–1609), была похожая успешная карьера, закончившаяся не менее головокружительным падением. Они оба были консультантами в Московской компании, где занимались вопросами навигации и картографии. В 1577 году Ди опубликовал книгу «Искусство навигации». Но больше всего его занимали оккультные науки, на которые в Елизаветинскую эпоху был направлен основной научный интерес ввиду распространения неоплатонических традиций Ренессанса. Ди изучал каббалу и алхимию. Он занимал пост Королевского астролога при королеве Елизавете I, составлял гороскопы и давал советы относительно календарных реформ. Но, вследствие его репутации при дворе, он одновременно вызывал восторженное восхищение и страх, и, хотя он был советником Елизаветы с тех времен, когда она еще не была королевой, Ди понимал, что его враги не дремлют. Он часто чувствовал необходимость публичной защиты, старательно доказывая всем, что его исследования направлены на пользу государства. Действительно, по возвращении из путешествий по Европе ему обещали пенсию, но он так никогда и не получил ее и умер в бедности в 1608 году. В предисловии к «Началам» Евклида в переводе Генри Биллингсли, который позже стал лорд-мэром Лондона, Ди провозгласил неоценимое значение математики. Эта книга была первым академическим выпуском «Начал» на английском языке, и, вероятно, ее отредактировал сам Ди.
Джон Непер был не профессиональным математиком, а богатым помещиком, шотландским бароном (восьмым лэрдом Мерчистона), и большую часть жизни занимался управлением своим поместьем. Однако он находил время и для того, чтобы писать труды на самые разные темы, и даже был втянут в антипапские богословские дебаты. Хотя к тому времени уже активно использовались индо-арабские цифры, тем не менее вычисления выполнялись с помощью ручки и бумаги, и люди искали способы ускорить порой очень длинные процедуры вычислений. Неперу приписывают два изобретения, которые очень облегчили вычисления, — кости Непера и логарифмы. Кости Непера, также известные как палочки Непера, — это прутки, на которых были вырезаны таблицы умножения. Они могли быть разложены в виде решетки так, чтобы можно было быстро произвести любое громоздкое умножение. Палочки, по существу, превращали длинное умножение в простые сложения. Изобретение логарифмов также было навеяно жгучим желанием ускорить вычисления. Сам термин был придуман Непером и представляет собой слияние слов logos («слово, пропорция») и arithmos («число»). Многих математиков поражали взаимоотношения между арифметическими и геометрическими рядами и то, что вычисление произведения двух степеней может быть сокращено до вычисления суммы степеней. Открытие Непера заключалось в том, что оно могло относиться к любым степеням, и он составил таблицу логарифмов Непера, которая была опубликована в 1614 году в его книге «Описание удивительной таблицы логарифмов» (на латинском языке).
