Вот как «началал цветной симметрии» описывают А. М. Заморзаев с соавторами в, своей фундаментальной работе (табл. 5): «Но антисимметрию можно трактовать и как „двухфазную" симметрию„ оттеняя в ней не противоположность взаимозаменяющихся качеств, а лишь различие и чередование в рамках общности природы, подобно двум фазам одного явления. Тогда естественен переход к „Р-фазной" симметрии, состоящей в приписывании точкам уже не двух, а любого числа однородных качеств, обозначаемых индексами 1„ 2, ... р и переходящих друг в друга по какому-то закону (например, чередуясь циклически) при изометрических преобразованиях' фигуры. Тцкие соображения приведи Н. В. Белова в 1954—1955 годах от двухцветного толкования антисимметрии к идее многоцветной симметрии».[* Заморзаев А. М., Галярский Э. И., Палистрант А. Ф. Цветная симметрия, ее обобщения и приложения. Кишинев: Штиинца, 1978, с. 20.]
Таблица 5*
* Ссылки на первоисточники содержатся в монографии А. М. Заморзаева, Э. И. Галярского и А. Ф. Палистранта (см. с. 79).
В своей работе 1956 г. по цветной симметрии Н. В. Белов и Т. Н. Тархова группы Gp2 (цветные мозаики) выводят методом «обобщенных проекций» пространственных групп G3.
Дальнейшее развитие теории цветной симметрии связано скорее с теорией групп, чем с «классической» кристаллографией. В 1959 г. в двух появившихся независимо друг от друга работах А. Ниггли и В. Л. Инденбома отмечена связь групп антисимметрии и цветной симметрии с одномерными представлениями обычных групп симметрии. В своей статье В. Л. Инденбом пишет: «В качестве примера, используя цветные таблицы неприводимых представлений точечных групп, можно выписать все магнитные кристаллографические классы...
Можно рассмотреть группы, индуцируемые не только одномерными действительными, но и другими представлениями. Одномерные комплексные представления, в частности, индуцируют «цветные» группы симметрии..., отвечающие таким структурам, в которых объекты разного сорта (разного «цвета») занимает аналогичные места».[* Инденбом В. Л. Связь групп антисимметрии и цветной симметрии с одномерными представлениями обычных групп симметрии. Изоморфизм шубниковских и федоровских групп. — Кристаллография, 1959, т. 4, вып. 4, с. 620.]
В 1960 г. в совместной работе В. Л. Инденбома, Н. В. Белова и Н. Н. Нероновой о точечных группах цветной симметрии эта идея использована для получения 18 точечных цветных классов (практически одновременно эти же 18 групп были найдены и А. Ниггли). Авторы пишут: «Если данная точечная группа обладает одномерным представлением, это значит, что можно найти такую функцию кристаллографического направления, которая под воздействием операции симметрии gi лишь умножается на некоторые множители χCg, называемые характерами представления. Для действительных одномерных представлений χ = ± 1, для комплексных одномерных представлений характеры даются различными степенями комплексных чисел i, ω = ехр (2πi/3) и ε = ехр (2πi/6) = — ω2 В комплексной плоскости умножение на i, ω и ε отвечает, соответственно, повороту на 90, 120 и 60°, что может быть интерпретировано как результат воздействия „цветной" оси 4-го, 3-го и 6-го порядков».[* Инденбом В. Л., Белов Н. В., Неронова Я. Я. Точечные группы цветной симметрии (цветные классы). — Кристаллография, 1960, т. 5, вып. 4, с. 497.] Таким образом, цветные группы и группы антисимметрии появляются в единой схеме расширения групп ортогональной симметрии на основе теории представлений групп и групп перестановок.
Годом раньше Виттке и Гарридо опубликовали свой вывод 211 видов раскраски цветных полиэдров, среди которых, по образному выражению предыдущих авторов, затерялись точечные группы цветной симметрии. Кратко прослеживая дальнейшее развитие «беловской цветной симметрии», укажем, что в середине 60-х годов в основном в многочисленных трудах А. Ф. Палистранта систематически развивался прямой способ вывода цветных групп (шубниковским методом замены образующих). Тем же методом, но используя для контроля одномерные комплексные представления, А. М. Заморзаев осуществил полный вывод пространственных групп р-симметрии.
Наиболее естественным обобщением цветной симметрии является цветная антисимметрия. У ее истоков стоят Г. С. Поли, Н. Н. Неронова и Н. В. Белов. У Г. С. Поли цветная антисимметрия возникла как расширение принципа обобщенных проекций Белова—Тарховой на группы с «переворачивающими» элементами симметрии, а у Н. В. Белова и Н. Н. Нероновой — как система с независимым применением знаков и цвета.
В течение 1960—1980 гг. теория обобщенной симметрии и классификация ее типов интенсивно развивалась исследователями Кишиневской школы (А. М. Заморзаевым, А. Ф. Палистрантом, И. А. Балтагом, В. П. Макаровым, Э. И. Галярским, П. А. Заболотным, А. П. Лунгу, В. П. Баритом, И. С. Гуцулом), В. А. Копциком и его учениками (Ж. Н. М. Кужукеевым, И. Н. Коцевым) и многими другими.
В последнее время П. Л. Дубовым сформулировано понятие языка симметрии, основанное на принципах построения формальных алгоритмических языков программирования. Язык симметрии, в котором роль слов играют отдельные виды групп ортогональной симметрии или любого их расширения, а предложениями являются скопления групп, охватывает любые типы симметрии и перебрасывает «мостки» между теорией симметрии и кибернетикой.
Симметрия подобия
Наборы геометрических преобразований, положенные в основу ортогональной симметрии, не исчерпывают всего множества возможных типов симметрии. История математики показывает, что уже в трудах Архимеда и Аполлония появились геометрические преобразования сжатия «к прямой» (растяжение «от прямой»). Современное «родство» и сжатие или растяжение от точки (гомотетия) лежат в основе аффинной геометрии. Отметим попутно, что, помимо преобразования гомотетии, Аполлоний вводит и преобразование инверсии относительно окружности (одно из конформных преобразований, по современной терминологии). Александрийский математик Папп (III в. н. э.) в «Математическом собрании» описывает гомотетию и инверсию и их комбинации с движениями плоскости, в том числе переносом и поворотом. Симметрия подобия, наряду с гомологией, является частным случаем аффинных преобразований. Проследим генезис этих преобразований вплоть до их окончательного оформления в трудах по геометрии, с одной стороны, и формулировки самого понятия «симметрия подобия» в работе А. В. Шубникова [247].
Эквиаффинные преобразования, сохраняющие площади (объемы) фигур, впервые ввел в науку Сабита Ибн Корра в «Книге о сечениях цилиндра в его поверхности», что, видимо, является начальной точкой отсчета для гомологии, намного позднее развитой в ее «симметрийной» интерпретации в трудах В. И. Михеева и П. А. Заболотного, хота некоторые соображения по этому поводу содержатся в «Курсе кристаллографии» Е. С. Федорова (видимая симметрия), итальянского ученого Виолы (гармония) и А. В. Шубникова [158].
Наибольший вклад в современную тематику внес., разумеется, Л. Эйлер, хотя аффинные преобразования общего вида у европейских математиков впервые появляются у А. К. Кле,ро. Во втором томе «Введения в анализ бесконечных» Л. Эйлер фактически дает набор движений на плоскости, вводит понятие оси симметрии, описывает перенос, поворот, отражение от прямой и скользящее отражение. В другой работе Эйлером введено понятие косого отражения, косого растяжения. Им же доказана важнейшая теорема симметрии подобия — преобразование подобия всегда обладает неподвижной точкой.
К началу XX в. аффинная геометрия [* Термин «аффинная симметрия» впервые использован в статье: Заморзаев А. М. Развитие новых идей в федоровском учении о симметрии за последние десятилетия. — В кн.: Идеи Е. С. Федорова в современной кристаллографии и минералогии. Л.: Наука, 1974, с. 42—64.] полностью сформировалась, однако термин «симметрия подобия» появился только в работе А. В. Шубникова [247]. С другой стороны, в неявной форме симметрией подобия, распространенной в растительном и животном мире, давно и детально занимались ботаники. Как отмечает А. В. Шубников [343], со времен Ш. Бонне (XVIII в.) понятие филлотаксиса вошло в употребление в естествознании, хотя под несколько иным углом зрения этим занимались еще Леонардо да Винчи и Лука Паччоли, исследуя золотое сечение. Одна из наиболее интересных работ в этой области принадлежит братьям Браве, один из которых был ботаником, а второй — кристаллографом. Поскольку законы «геометрического мышления» едины, в этой работе соавторы, видимо, благодаря О. Браве, наиболее близко подошли к тому, что можно было бы определить как симметрию подобия, но не назвали ее. Довольно большое число работ конца XIX—начала XX в. посвящено близкой тематике: аддитивным рядам, биологической «симметрии», декоративному искусству и т. п., однако ни в одной из них явственно не прозвучал единственно правильный акцент в определениях преобразований, позволяющий говорить о «симметрии подобия».
