Доказанное относительно кривых линий и ограниченных ими площадей легко прилагается к кривым поверхностям и объемам.
Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать утомительности длинных доказательств, основываясь по образцу древних на приведении к нелепости.
Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых, но так как самое представление неделимых грубовато (durior), то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений, поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и способом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем им пользоваться с еще большею уверенностью. Поэтому, если во всем последующем изложении я рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то следует разуметь, что это — не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это — не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам.
Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельной» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т. е. именно ту скорость, обладая которою тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем как они исчезают и не после того, но при котором исчезают. Точно так же и предельное отношение зарождающихся количеств есть именно то, с которыми они зарождаются. Предельная сумма зарождающихся или исчезающих количеств есть та составленная из них сумма, когда они, увеличиваясь или уменьшаясь, только начинают или прекращают быть.
Исаак Ньютон Математические начала натуральной философии. О движении тел. Книга первая. Отдел I. О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается (1726)[18]Все ранние цивилизации занимались составлением карт. Цели ставились разные — строительство, сбор налогов или подготовка к войне, однако землемер — одна из самых древних профессий, для которой были необходимы математические знания. Одна из статуй, датируемая приблизительно XXIII веком до нашей эры, изображает царя шумерского города-государства Лагаш с планом храма Нингирсу, а также с линейкой и орудием для письма. Это — самый ранний известный пример того, когда для строительства чего бы то ни было используется масштаб. Были найдены карты известного тогда мира, изображенные на вавилонских глиняных табличках, египетском папирусе и китайском шелке. Римляне продолжили греческие традиции картографирования — их трактат о землемерном деле — Corpus agrimensorum — основывается на правилах измерений и рисовании карт в масштабе.
Делая карту небольшого участка, мы можем допустить, что поверхность земли плоская, но, когда мы стремимся изобразить большие территории, искривление поверхности земли становится значимым фактором. Когда люди поняли, что Земля имеет сферическую форму, точно не известно. Согласно некоторым легендам, населено было только одно полушарие. Эратосфен, с 240 года до нашей эры ставший главным библиотекарем Александрии, составил первую известную карту, основанную на научных принципах, с неравномерной сеткой параллелей и меридианов. На его современников карта не произвела особого впечатления, и лишь «География» Клавдия Птолемея, появившаяся приблизительно в 150 году, стала общепринятым стандартом в картографии. В этой работе утверждается, что Земля имеет сферическую форму, но населена она лишь частично, и ее окружность равна 180 000 стадиям. Более точное значение высчитал Эратосфен, считавший, что окружность Земли равна 250 000 стадиям (считается, что один стадий приблизительно равен 160 метрам). Самым значительным вкладом «Географии» можно считать создание основ для преобразования сферы в плоскую поверхность. Карта Птолемея была обновлена ал-Хорезми (см. Главу 7), который полагался на знание Птолемеем стран Средиземноморья, но существенно уточнил ее в области Средней Азии.
Преобразование сферической Земли в плоскую карту всегда будет приводить к некоторым искажениям, и главная задача картографа — определение, какие факторы приводят к наибольшим искажениям, а какие — к наименьшим. Конформная проекция минимизирует искажение углов и форм объектов, в равновеликой проекции очень точны значения площадей, а в равнопромежуточной — расстояния. Как мы увидим в дальнейшем, к картам континентальных массивов и изображениям морей выдвигаются совершенно разные требования.
После того как в Европе с начала XIV века стали развиваться мореплавание и торговля, начали появляться портуланы (от итальянского слова «portolano», первоначально обозначавшего лоцию — письменные указания для мореплавателей). Они представляли собой сетку из прямых линий, или румбов, призванных помогать мореплавателям в планировании маршрутов вокруг Европы и по Средиземноморью. Главным образом портуланы делались в Венеции, Генуе и на Майорке. Эти «дедушки» нынешних лоций были удивительно точными, даже при том, что неясно, учитывалась ли в них какая-либо проекция. До сих пор ведутся споры о том, насколько активно использовались компасы (китайское изобретение), а также об объемах астрономических знаний, необходимых для навигации. Но после открытия Америки и выхода первого печатного издания «Географии» Птолемея все было готово для появления более точной карты мира. «География» Птолемея повторно появилась в Европе уже в XV веке: она впервые была напечатана в Болонье в 1477 году. В период Ренессанса использовались различные виды проекций, порой просто по эстетическим причинам. В качестве примера можно привести популярную овальную карту мира, впервые использованную Франческо Росселли (1445–1513) в 1508 году. Эти проекции были основаны скорее на графических построениях, нежели на использовании тригонометрических формул.
Герхард Меркатор (1512–1594), которого называли «Птолемем нашего времени» создал первую проекцию специально для того, чтобы помочь мореплавателям. Меркатор учился в Лёвенском университете, где получил степень по философии, а затем продолжил образование, изучая математику, астрономию и картографию. Он также стал мастером-гравером и специалистом по изготовлению оптических инструментов. С середины 1500-х годов он составил множество карт, включая карты Фландрии и Палестины. В 1544 году Меркатор был арестован за ересь, но вскоре, благодаря активной защите университета, его освободили, после чего он переехал в Дуйсбург (ныне Германия), и в 1564 году стал придворным космографом герцога Вильгельма. Именно в Дуйсбурге в 1569 году он создал известную Меркаторову проекцию для карты мира. Ее новизна заключалась в том, что линии румбов изображены на карте в виде прямых, что значительно облегчало навигацию для мореплавателей. На сфере, если корабль отправился в путь под определенным румбом к меридиану (если это не точное движение на север, юг, восток или запад), его путь будет представлять собой кривую на сфере; фактически, если бы корабль мог плыть непрерывно, то его путь представлял бы собой спираль к одному из полюсов. Преобразование румбов в прямые линии значительно облегчало задачу мореплавателей. Другое преимущество этой системы заключается в том, что проекция Меркатора сохраняет углы, так что при смене курса, скажем, на 30°, новая линия румба будет располагаться под углом 30° к предыдущему курсу. С тех пор эта проекция стала самой популярной в картографии, хотя сильно искажала контуры на высоких широтах и некоторые хотели бы заменить ее равновеликой проекцией, вроде той, что не так давно была названа в честь Арно Петерса.
Математический анализ проекции Меркатора впервые провел английский математик и картограф Эдвард Райт (1561–1615) в книге «Некоторые ошибки в навигации» (1599). В том же году в «Книге путешествий» Ричарда Хаклута была опубликована карта мира Райта, основанная на проекции Меркатора. Когда ученые узнали больше о земной и небесной сферах, приобрели популярность двойные глобусы, — они чаще всего использовались для обучения, но были также символами нового знания: земной шар в таких моделях был заключен в шарнирно устроенную небесную сферу. В связи с увеличением точности астрономических наблюдений и с началом великих геодезических проектов во Франции, Великобритании и других европейских странах, возникла необходимость постоянного и регулярного обновления карт.
