Нежелание Гаусса признать работы Лобачевского и Бойаи выглядит грубостью. Да, Гаусс, конечно, думал об этих проблемах, но нет никаких свидетельств, что он изучал различные результаты неевклидовой геометрии. Рука помощи, протянутая признанным мастером, могла бы спасти карьеру Бойаи и здоровье Лобачевского. Гаусс подошел к вопросу с другой стороны. Рассматривая линии на плоскости, он вывел теорему о том, что «кривизна поверхности связана с используемым методом измерения» (то есть с математическим выражением, используемым для вычисления расстояния между двумя точками). Гаусс показал, что искривление не зависит от места нахождения поверхности. Кривизна была внутренней особенностью, связанной с суммой углов треугольника, расположенного на такой поверхности. В этом контексте близость к неевклидовой геометрии очевидна.
Когда пал пятый постулат, этот столп евклидовой геометрии, просуществовавший более двух тысяч лет, то рухнула и сама конструкция.
Как ни парадоксально, открытие геометрии, в которой постулат Евклида о параллельности прямых не верен, тем не менее реабилитировало геометрию Евклида, хотя и весьма изощренным способом: раз для разрушения этого столпа потребовались такие усилия, значит, он все-таки необходим! Евклидова геометрия оставалась логически последовательной, но теперь это была просто одна из многих возможных геометрий, и, следовательно, уже никто не был уверен, что это геометрия окружающего нас пространства. Развивающееся понимание внутренних свойств пространства приобрело значение как метод исследования реальной геометрии пространства, поскольку не существовало способа его познания извне! Существовала опасность, что геометрия может стать занятным экспонатом экзотического собрания редкостей, но был один математик, который дал совершенно новое определение геометрии.
Бернхард Риман (1826–1866), сын пастора, был воспитан в скромности, но получил хорошее образование в Берлине и Геттингене, где в 1854 году стал приват-доцентом, а затем и доцентом. Чтобы занять этот пост, Риман должен был по уставу выступить перед профессорским составом с лекцией. Это был самый увлекательный доклад в истории математики. Лекция, носившая название «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», самым подробным образом описывала геометрию как предмет. Это было описание долгого пути от линейки и циркуля Евклида. Риман определил геометрию как исследование множеств — ограниченных или неограниченных пространств любого порядка (возможно бесконечное число порядков), вместе с системой координат и способом измерения кратчайшего расстояния между двумя точками. В евклидовой трехмерной геометрии способ измерения определяется как ds2 = dx2 + dy2 + dz2 — дифференциал, эквивалентный теореме Пифагора. Эти множества — само пространство без внешней системы координат. Искривление пространства было, таким образом, полностью определено в терминах внутренних свойств множеств в любом пространстве. Для Римана геометрия была, по существу, наукой о наборах упорядоченных n-кортежей, объединенных согласно определенным правилам; его идеи о пространствах были настолько общими, что казались практически нереальными. Любые отношения между переменными можно было счесть «пространством». Если для системы не существует метода определения расстояния между двумя точками пространства или двумя элементами множества, тогда применяется ветвь математики, известная как топология. Она описывает, как различные области пространства связаны между собой.
Риман изобрел инструменты, которые теперь активно используются всеми математиками. Нет ничего удивительного в том, что в этом случае обычно скупой на похвалу Гаусс выразил энтузиазм по отношению к работе другого ученого. В рамках расширенного представления о геометрии Римана мы видим, что евклидова геометрия — это пространство, определенное постоянной кривизны, равной нулю. Геометрия Лобачевского имеет кривизну -1, а сферическая геометрия — кривизну +1. Хотя Римана можно было бы считать новым Евклидом, его имя связано с очень своеобразной геометрией, которая преобразует сферу в плоскость.
Позднее Риман внес свой вклад в теоретическую физику, и его общее исследование измерения расстояний между точками в искривленных пространствах в конечном счете проложило путь к общей теории относительности. Пространство, в котором мы живем, больше не было евклидовым, теперь у нас появились математические инструменты, позволявшие исследовать истинную геометрию Вселенной.
В геометрии я нашел некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука, поскольку она не переходит в анализ, до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, к восполнению которого все усилия математиков до настоящего времени были тщетными.
Николай Иванович Лобачевский. Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840)[20]В главе 11 мы видели, как алгебра освобождалась от кандалов геометрической размерности и как, начиная с Декарта, символы алгебры — те самые х и у — могли обозначать любое число и сочетаться любым способом, предусмотренным правилами арифметики. В этой главе мы познакомимся с развитием алгебры в англоязычных странах, а затем понаблюдаем за развитием этой дисциплине в других государствах Европы. Быстрое увеличение количества диалектов алгебры привело к фундаментальной переоценке понимания самой математики.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ X, Y И Z
х + у=у + х сложение коммутативно — сумма двух чисел не зависит от порядка расположения слагаемых
X х у=у х х умножение коммутативно
х + 0 = х сложение имеет нейтральный элемент, ноль, который оставляет любое число неизменным
х х 1 = х умножение имеет нейтральный элемент, единицу, которая оставляет любое число неизменным
X х(у + z) = х х у+х х z умножение ассоциативно по отношению к сложению.
Британский математический анализ отставал от европейского. Здесь во многом виновата ньютоновская нотация флюксий и ее неполноценность по сравнению с символикой, предложенной Лейбницем, — dy/dx. После того как британцы, пусть поначалу и неохотно, приняли европейскую систему обозначений, они добились нескольких довольно заметных достижений. В 1817 году, когда английский математик Джордж Пикок (1791–1858) был назначен экзаменатором по математике в Кембриджском университете, символическая нотация Лейбница наконец заменила флюксии Ньютона. По словам Чарльза Бэббиджа (1791–1871), целью Аналитического общества, основанного в 1813 году, была разработка «принципов чистого „де-изма“ в противовес „староточкизму“ университета»[21]. Другая цель общества заключалась в том, чтобы «сделать мир более мудрым, чем он был, когда мы в него пришли». Пикок в своем «Трактате об алгебре» (1830) назвал эту дисциплину «иллюстративной наукой». Первым делом арифметическая алгебра была отделена от символической. Элементами арифметической алгебры были числа и арифметические операции, тогда как символическая алгебра — это «наука, расценивающая комбинации знаков и символов согласно определенным законам, которые в целом независимы от определенных значений этих символов». Это откровенно неопределенное утверждение открыло дверь к общим исследованиям в области алгебры.
Никому не известный преподаватель начальной школы из Линкольна Джордж Буль (1815–1864) написал, как теперь считают, первую работу по математической логике. Буль подружился с шотландским математиком Огастесом де Морганом (1806–1871), которого поддерживал в споре о логике с шотландским философом сэром Уильямом Гамильтоном (1788–1856). Последний, кстати, не был родственником ирландского математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона. Об этом споре теперь все забыли, но именно он вдохновил Буля, математика-самоучку и лингвиста, издать в 1847 году краткую работу, озаглавленную «Математический анализ логики». В том же году вышла публикация де Моргана «Формальная логика». Два года спустя, скорее всего при поддержке де Моргана, Буль был назначен профессором математики в недавно открывшемся Королевском Колледже в Корке. Буль был твердо уверен, что логика должна считаться частью математики, а не метафизики и что правила логики должны выводиться не путем рассуждений, а посредством построения из простых формальных элементов. Только после создания логической структуры можно давать лингвистическую интерпретацию. Он отвергал представление, согласно которому математика считалась наукой о числах и размерах (представление, восходящее к древним грекам), и считал, что любая последовательная символическая логическая система — часть математики. Впервые мы видим ясно сформулированное представление, согласно которому математика — это наука, где главное не столько содержание, сколько структура. В работе Буля «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» (1854) эти идеи подробно разъяснялись, устанавливалась формальная логика и новая алгебра, которую теперь называют алгебраической логикой. Булева алгебра — по существу, алгебра классов объектов, и переменные вроде х теперь обозначали не числа, а скорее ментальный акт выбора класса из заданного пространства. Например, х может быть классом «мужчины» из пространства «люди». Символы подчиняются тем же правилам, что и в арифметической алгебре, за исключением дополнительной аксиомы, что x2 = х. В арифметике это уравнение верно только в случае, когда х равен 1 или 0, но в булевой алгебре это верно всегда — выбор класса «мужчин» дважды даст то же самое, что и однократный выбор. Кроме того, Буль придал символам 1 и 0 конкретные значения: 1 — это «всё», а 0 — «ничто». Эти идеи лежат в основе всемирной компьютерной революции, и мы снова вернемся к ним и подробно их рассмотрим в Главе 23.
