Теория возмущений позволила получить более точные результаты при вычислении орбит планет, но также привела к тревожному заключению, что планеты вовсе не должны оставаться на тех орбитах, по которым они движутся в настоящий момент. Небольшие колебания легко могут увеличиться, и планета сойдет со своей орбиты — казалось, придется допустить существование ангелов, не позволяющих планетам сойти со своих орбит. (В XX веке выяснилось, что динамику Солнечной системы можно объяснить с помощью теорий хаоса, — см. Главу 24.) Увеличилось число и сложность уравнений, необходимых для описания движения планет. Во Франции аналитические методы предпочли геометрическим, и это привело к огромному числу громоздких уравнений. Аналитический подход наиболее ярко использовал Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), создавший систему уравнений, известную как «лагранжиан». В его «Аналитической механике» (1788) на всех 500 страницах не было ни одной схемы. В 1799 году Лаплас издал первый том энциклопедического труда «Небесная механика», в котором особое внимание уделялось теории потенциалов и теории возмущений.
В то время во Франции произошло множество значительных событий, и лишь немногие математики смогли избежать политических беспорядков французской революции. Молодой Огюстен Луи Коши (1789–1857) избежал самых серьезных неприятностей, связанных с революцией, лишь потому, что его семья решила на время покинуть Париж. После окончания Политехнической школы он занимался постройкой портовых сооружений для запланированного Наполеоном вторжения в Англию. Но в основном он хотел посвятить себя математике, и после многочисленных разочарований ему наконец удалось занять пост доцента математического анализа в Политехнической школе.
Производительность Коши была просто потрясающей: основными его трудами были «Курс математического анализа» (1821), и «Лекции по дифференциальному анализу» (1829). Его собрание сочинений составляет приблизительно 27 толстых томов. Но в политическом климате Франции начала девятнадцатого столетия многие плохо воспринимали его верность католицизму, и его отношения с коллегами нередко были довольно напряженными. За то, что Коши поддерживал иезуитов в их борьбе против Академии наук и отказался поклясться в преданности новому режиму, в 1830 году он был лишен всех своих постов и отправился вместе с Карлом X в изгнание. По возвращении в Париж он дважды не прошел конкурс на право занять должность руководителя кафедры математики в Коллеж де Франс, хотя, безусловно, был самым лучшим кандидатом. Лишь в 1848 году, после низвержения Луи Филиппа он вернул свое положение в университете. Между 1840 и 1847 годом Коши издал свой четырехтомный труд «Упражнения по математическому анализу и математической физике». Коши помог заложить фундамент действительного и комплексного анализа, которые составляют основу математической физики.
Французский подход к приблизительному вычислению функций посредством усеченных степенных рядов и надежда на получение более точных приближений за счет большего количества членов ряда критиковались многими из тех, кто искал более надежные методы вычислений. Например, уже в 1860-х годах Шарль Делоне опубликовал уравнение поистине чудовищных размеров, занимающее целую главу, за которым следовали почти шестьдесят методов оценки его элементов. В 1834 году Уильям Роуэн Гамильтон послал Королевскому обществу статью, где представил функцию, которую ныне называют гамильтонианом. В одном уравнении он смог описать движение любого числа частиц, перемещающихся в границах одного потенциала. Как объяснял сам Гамильтон, это выражение не только позволяло описать движение частиц, но и давало метод решения, в отличие от функции Лагранжа, попытки решения которой приводили к неудачам. С середины девятнадцатого века работа Римана в области геометрии преобразовала методы и язык теории потенциалов (Глава 16). Новая область, которая стала известна как дифференциальная геометрия, расширила представления об исчислении в трехмерном пространстве. Геометрические объекты, такие, как точки, кривые и поверхности, были описаны в терминах векторов, а динамические понятия, вроде скорости, ускорения и энергии, могли быть описаны функциями и операторами, действующими на эти векторы. В трех измерениях есть три различно описанных векторных оператора: оператор градиента, в котором векторная функция выражается через скалярную функцию f (х, у, z); оператор вращения, который выражает один вектор через другой вектор, и скалярный оператор, который выражает скалярную функцию через вектор. Действительно, поскольку каждую переменную динамической системы можно было бы рассматривать как «размерность» системы, работа Римана с многомерными пространствами сделала дифференциальную геометрию прекрасным средством для моделирования физических систем в рамках одной системы. Максвелл сформулировал свою теорию электромагнетизма именно в нотации дифференциальной геометрии.
К середине девятнадцатого века набралось уже очень много экспериментальных и теоретических результатов в области электричества и магнетизма. В 1780-х годах Шарль Кулон обнаружил в процессе эксперимента, что электростатическая сила, возникающая между двумя заряженными частицами, подчиняется закону обратного квадрата. Теперь ученые могли применить к электростатическим явлениям некоторые из математических моделей и методов, которые были развиты при работе с силами гравитации. В 1812 году Симон-Дени Пуассон рассматривал электростатику практически так же, как несколько десятилетий назад Лаплас решал задачи небесной механики. Он предполагал, что электричество состоит из двух жидкостей с противоположным зарядом, которые присутствуют во всех телах, где одинаково заряженные частицы отталкиваются, а разнозаряженные — притягиваются. Год спустя он получил частичное дифференциальное уравнение, которое связывает потенциал с плотностью заряда, теперь известное как «уравнение Пуассона». В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил электромагнетизм, показав, что провод, несущий ток, может заставить колебаться намагниченную иглу. Это вдохновило Андре Мари Ампера начать изучать взаимодействие между электричеством и магнетизмом, для которого он выдумал термин «электродинамика». Он показал математически, что электромагнитная сила подчиняется закону обратного квадрата, так же как и электростатическая. Открытие электромагнитной индукции Майкла Фарадея показало, что электричество и магнетизм неразрывно связаны. Но физические теории того времени не были готовы адекватно объяснить эти явления. Например, идея Ампера о наличии в эфире крошечных электрических вихрей, которые передают магнетизм, столкнулась с проблемами, подобными тем, с которыми сталкивалась вихревая модель Декарта, призванная объяснить движение планет.
В результате анализа гравитационного взаимодействия между Землей и Луной астрономам стало очевидно, что из-за размеров этих двух тел и большого расстояния между ними их больше нельзя было считать точечными массами: теперь необходимо было рассмотреть влияние всего тела планеты. Если рассматривать все из некоей точки на Земле, гравитационное влияние Луны связано и с ее объемом или массой, и с ее формой. Эти взаимосвязи между силами внутри тела и на его поверхности были математически решены как отношения между объемным интегралом и поверхностным интегралом. Эти отношения были описаны в 1828 году в теореме Грина, названной в честь Джорджа Грина, который изучал математику в Кембридже. Эта теорема, которую Грин разработал для электромагнитных потенциалов, могла также использоваться и для гравитационных потенциалов.
В 1873 году Максвелл издал свой «Трактат об электричестве и магнетизме», в котором, вслед за Фарадеем, он описал такие ключевые понятия, как электрическое и магнитное поля. Максвелл попытался избежать того, чтобы его теории стали дополнительным аргументом в спорах о существовании эфира и истинной природы пространства, использовав, по существу, принцип нисходящего анализа (от сложных элементов к простым). Его теория избегает опоры на микроскопические идеи вроде заряда или тока, тогда еще не вполне понятные, а скорее применяет макроскопический подход, допуская существование полей, которые взаимодействуют друг с другом и со средой, через которую происходит это взаимодействие. Для Максвелла пространство было упругим континуумом, благодаря чему оно могло передавать движение из точки в точку. Из-за этой эластичности сама среда могла сохранять кинетическую и потенциальную энергии. Он многократно использовал теорию потенциалов и дифференциальную геометрию, поначалу записав свои уравнения в гамильтоновской кватернионной нотации, а затем в декартовском эквиваленте. Лишь Оливер Хевисайд перевел уравнения Максвелла в векторную форму, в которой они используются и по сей день.
