Работа требует терпения и внимания, но очень интересна детям. Они готовы заниматься ею дома по вечерам, в одиночестве, тихая игра, не утомляющая, не отпускающая.
Поупражнявшись в таком делении, ученик начинает предвидеть результат, не перекладывая бусины. Он научился не только делить, но и глубоко проник в суть операции, каждой ее детали, возможно, лучше, чем ученики средней школы, механически повторяющие заученные действия.
Числовые упражнения (Умножение, деление)
Когда ребенок при помощи наших материалов уяснил идею четырех основных арифметических действий и научился делать их в уме, ничто не мешает углубить знания, возможно, даже подойти к уровню средней школы. Эти упражнения одновременно служат и для повторения знакомого, и для узнавания нового. Они позволяют приятно проводить время в школе и дома.
Одно из первых упражнений является продолжением работы с таблицей Пифагора — умножение в уме, без помощи материальных предметов. В данном случае ставим ограничение. Прекращаем умножение, если результат получается больше сотни. Ради удобства записи будем в первой серии умножать до 50, а во второй (с записью во вторую колонку) от 51 до 1 00. Мы заранее готовим две таблицы, которые служат ученикам и подсказкой, и формой самопроверки. Читать примеры в колонке, сверху вниз, и учить их наизусть — это помогает запомнить результаты умножения всех чисел, от одного до 100.
С таблицами можно делать увлекательные упражнения. Детям дают листы бумаги, узкие и длинные. Слева записаны все числа, от 1 до 50 и от 51 до 100. Ученики смотрят в таблицу и подыскивают примеры, где в результате умножения получается заданное число. После чего ставят знак = и вписывают сомножители. Например, слева напечатано 6. Ставим = и пишем 2x3 = 3x2. Еще пример: 18 = 2x9 = 3x6 = 6x3 = 9x2. Возле некоторых чисел не удастся написать примеры. Строчка останется пустой — получится первое представление о простых числах.
Пример таблицы
Эти таблицы помогают выполнить еще одно упражнение. Например, разглядывая их, ребенок замечает, что 6=2x3 = 3x2. Он берет бусины и раскладывает их то двумя группами по 3, но тремя группами по 2, но одной группой. Для каждого числа он ищет свое расположение бусин.
Ребенок может перебрать все возможные комбинации, испробовать все способы деления числа на равные группы. Дойдя до простых чисел, он уясняет идею делимости и неделимости числа. Кроме того, очевидной становится истина, что от перемены мест слагаемых произведение не меняется. Устанавливается связь между делением и умножением, становится понятно, как одно действие можно проверить другим. Достаточно снова соединить 2 группы по три бусины — получится 6.
Еще одно упражнение мы делаем с узкими листами бумаги. Вот написано произведение — 40. Один из примеров рядом 2x20. Посмотрим, как можно получить 20: 20=2x10, а 10=2x5. То есть
40 = 2x2x2x5.
Можно записать и так: два в кубе умножить на пять. Первое знакомство с возведением в корень.
Еще для одного упражнения готовим квадраты 10x10, где по порядку записаны все числа от 1 до 100, слева направо, сверху вниз:
и так далее.
Жирным шрифтом на разных квадратах выделяем числа, каждый раз выбирая новый принцип, например, все четные числа или все кратные девяти.
Квадрат и куб числа
Берем два стержня бусин по 2 бусины на каждом, соединяем их маленькой цепочкой:
Эта фигура представляет 2x2. Те же самые предметы можно соединить и по-другому. Палочки с бусинами расположить не в ряд, а друг под другом.
Это не изменит их значение, 2x2 все равно 4, но теперь это другое расположение в пространстве: линия и квадрат. Заметим, что всякий раз, располагая друг под другом столько стержней, сколько бусин на них нанизано, мы получим квадрат. Мы приготовили квадраты из стержней с бусинами 3x3 (салатовые), 4x4 (сиреневые), 5x5 (коричневые), 6x6 (зеленые), 7x7 (желтые), 8x8 (белые), 9x9 (голубые), 10x10 (красные), то есть тех же самых цветов, что и стержни с бусинами для освоения числовой системы. Для каждого количества есть стержни с бусинами, соединенные и в цепочки, и в квадраты, и просто свободные стержни (два стержня по две бусины, три — по три и т. д.). Ученик может считать бусины в цепи и в квадрате, а также по-своему располагать свободные стержни, то в ряд, то в форме квадрата. И каждый раз он повторяет число столько раз, сколько единиц в нем содержится, то есть умножает число само на себя.
К примеру, возьмем квадрат 4x4. Можно сосчитать 4 бусины на каждой стороне квадрата, можно умножить 4x4 =16. Это и общее количество бусин, и площадь квадрата. То же упражнение повторяем и с остальными квадратами. Понятно, что результат не зависит от формы. Стержни, вытянутые в линию, все равно дадут тот же результат. Можно научить ребят записывать результат в форме квадрата числа: 22 =4, 52 =25. Материал осваивается с самых малых чисел и постепенно, в сочетании со свободой ребенка, помогает идее проникнуть в сознание ученика.,
Кроме квадратов, по той же схеме созданные, у нас есть кубы чисел и прилагающиеся к ним соединенные в цепь квадраты. В этих цепях стержни соединены гибко, чтобы можно было складывать цепь, накладывать квадраты друг на друга. Количество квадратов в цепи соответствует количеству единиц на каждом отдельном стержне: 4 квадрата для числа 4, 6 квадратов для числа 6 и т. д. — до 10. Эти квадраты можно накладывать друг на друга, а можно и вытянуть в одну линию. Количество бусин не изменится. 4x4x4 = 42х4 = 43 = 64.
Рассмотрим куб подробнее. Одна сторона его состоит из 4 бусин. Умножим 4 раза квадрат со стороной 4 — получим куб. Умножим площадь квадрата на количество единиц, составляющих одну сторону, — получим объем. Мы не стараемся научить этому ребенка, мы просто предоставляем ему свободу действий и даем время на созревание идей в его сознании, пока он играет с материалом, рассматривает его, исследует свой замечательный куб, такой красивый и удобный.
Постепенно в тетрадях детей появляется множество квадратов и кубов чисел. Ученики легко обращают внимание, что при умножении на 10 достаточно просто приписать ноль. Они замечают, что число бусин в квадратах возрастает от двух до ста, а в кубах — до тысячи. Это наблюдение поможет им впоследствии осознать сущность арифметической и геометрической прогрессии.
Из кубов с бусинами интересно строить башню, похожую на розовую башню, только теперь разноцветные кубики соединены для детей с глубоким знанием числовых соотношений. Они не просто воспринимаются на сенсорном уровне, но являются отражением развивающейся мощи интеллекта.
В Доме ребенка плоские вкладыши, которые развивают сенсорику, познакомили детей со многими геометрическими фигурами: квадрат, прямоугольник, треугольник, многоугольник, круг, овал и т. д. Благодаря прилагающимся карточкам малыши научились узнавать геометрические фигуры по нарисованным очертаниям. Кроме того, у нас есть металлические вкладыши, воспроизводящие уже известные детям геометрические фигуры. Их можно обводить, полученные контуры затем заштриховывать цветными карандашами (упражнение учит владеть пишущими инструментами).
Геометрический материал начальной школы можно рассматривать как продолжение знакомых упражнений. Он напоминает металлические вкладыши. Но каждая рамка прикреплена к квадратной дощечке-основе. Теперь не нужны ни специальные пюпитры, ни рамы, как для остальных вкладышей. Каждая фигура является завершенной и независимой. Дощечка белая, контур зеленый, а сам вкладыш, подвижная часть, красный. Когда вкладыш лежит на своем месте, то получается красная фигура в зеленой рамке. Подвижные вкладыши сделаны не из одного, а из многих частей, закрепленных на белом пространстве дощечки. Основное назначение этого материала — позволить ребенку самостоятельно упражняться в геометрии, научиться решать разные задачи. Возможность манипулировать геометрическими фигурами, располагать их по-разному, исследовать их различия чрезвычайно привлекает детей. Наши материалы напоминают игры на терпение, придуманные для малышей, только с более определенной образовательной целью. Ребенок уясняет основные геометрические принципы, чего так трудно достичь традиционными методами обучения. Понимание разницы между фигурами равными, подобными или равными по площади, понимание сути преобразования фигур, теоремы Пифагора возникает спонтанно и приносит ученикам много радости. Ребенок учится выполнять действия с дробями, упражняясь с цилиндрическими вкладышами. Осознание значения дроби, преобразование обычной дроби в десятичную, становится новым интеллектуальным достижением ученика, показателем и высокого уровня знаний, и развития умственных способностей. В обычной школе даже старшеклассник порой еще так не чувствует соотношения геометрических фигур, как наши малыши, совершившие все эти открытия самостоятельно, с удовольствием и неослабевающим энтузиазмом. Они свободно и стремительно движутся своим путем, не истощая, а накапливая внутреннюю энергию, в то время как остальные школьники напоминают усталых странников, бредущих босиком по острым камням.
