Притча эта, кажется, не нуждается в особо пространных комментариях и выводах. Автор ее – великий диалектик Гегель – иллюстрирует ею очень простое и глубоко верное, хотя и парадоксальное, на первый взгляд, утверждение: «Кто мыслит абстрактно? – Необразованный человек, отнюдь не образованный...»
Человек, обладающий умственной культурой, никогда не мыслит абстрактно по той причине, что это – слишком легко, по причине «внутренней пустоты и никчемности этого занятия». Он никогда не успокаивается на тощем словесном определении («убийца» и т.п.), а старается всегда рассмотреть самую вещь во всех ее «опосредованиях», связях и отношениях и притом – в развитии, причинно обусловленном со стороны всего породившего эту вещь мира явлений.
Такое-то – культурное, грамотное и гибкое предметное мышление философия и называет «конкретным мышлением». Такое мышление всегда руководится собственной «логикой вещей», а не узкокорыстным (субъективным) интересом, пристрастием или отвращением. Оно ориентировано на объективные характеристики явления, на раскрытие их необходимости – закона, а не на случайно выхваченные, не на бросающиеся в глаза мелочи, будь они в сто раз «нагляднее».
Абстрактное же мышление руководится общими словечками, зазубренными терминами и фразами, и потому в богатом составе явлений действительности усматривает очень и очень мало. Только то, что «подтверждает», дает «наглядное доказательство застрявшей в голове догме, общему представлению, а часто – и просто эгоистически узкому « интересу». [38]
«Абстрактное мышление» – вовсе не достоинство, как это иногда думают, связывая с этим термином представление о «высокой науке» как о системе архинепонятных «абстракций», парящих где-то в заоблачных высях. Это представление о науке свойственно лишь тем, кто о науке имеет представление с чужих слов, знает терминологическую поверхность научного процесса и не вникал в его суть.
Наука, если это действительно наука, а не система квазинаучных терминов и фраз, есть всегда выражение (отражение) действительных фактов, понятых в их собственной связи. «Понятие» – в отличие от термина, требующего простого заучивания, – это синоним понимания существа фактов. Понятие в этом смысле всегда конкретно – в смысле предметно. Оно вырастает из фактов, и только в фактах и через факты имеет смысл, «значение», содержание.
Таково и мышление математика, которое невольно оскорбляют, желая похвалить словечком «абстрактное». «Абстрактно» в этом мышлении лишь терминологическое одеяние «понятий» – лишь язык математики. И если из всей математики человек усвоил лишь ее «язык» – это и значит, что он усвоил ее абстрактно. Значит – не понимая и не усматривая ее действительного предмета, и не умея самостоятельно двигаться по его строгой логике – не видя реальности под специально-математическим углом зрения, а видя только обозначающие ее знаки. Может быть еще и «наглядные примеры», иллюстрирующие «применение» этих знаков.
Действительный математик мыслит тоже в полной мере конкретно, как и физик, как и биолог, как и историк. Он рассматривает тоже не абстрактные закорючки, а самую настоящую действительность только под особым углом зрения, под особым аспектом, свойственным математике. Это умение видеть окружающий мир под углом зрения количества и составляет специальную черту мышления математика.
Человек, который этого не умеет, – не математик, а лишь счетчик-вычислитель, осуществляющий лишь штампованные вспомогательные операции, но не развитие математической науки.
И умение воспитать математика, то есть человека, умеющего мыслить в области математики, – далеко не то же, [39] что воспитать у человека умение считать, вычислять, решать «типовые задачи». Школа же наша ориентируется, увы, чаще на последнее. Ибо это «проще». А потом мы сами начинаем горевать по тому поводу, что «способные» к математическому мышлению люди – такая редкость, один-два на сорок... Тогда мы начинаем искусственно «отбирать» их, удивляясь их «природной талантливости» и приучая их самих к отвратительному самомнению, к высокомерию «избранных», к самолюбованию, к обособлению от «бесталанной черни»...
Между тем математика как наука ничуть не сложнее других наук, которые не кажутся столь таинственно-абстрактными. В известном смысле математическое мышление даже проще, легче. Это видно хотя бы из того, что математические «таланты» и даже «гении» развиваются в таком возрасте, который в других науках явно не дает возможности даже просто выйти на «передний край». Математика предполагает меньший и более простой «опыт» в отношении окружающего мира, чем та же политическая экономия, биология или ядерная физика. Посему в этих областях знания «гения» в пятнадцатилетнем возрасте и не встретишь.
И сравнительно малый процент «способных» к математическому мышлению мы получаем до сих пор от школы вовсе не потому, что матушка-природа столь скупа на раздачу математических способностей, а совсем по другой причине.
Прежде всего потому, что в сферу математического мышления мы зачастую вводим маленького человека «кверху ногами», задом наперед. Потому, что с первых же дней вбиваем ему в голову такие «представления» о математических понятиях, которые не помогают, а, как раз наоборот, мешают ему увидеть, правильно рассмотреть окружающий его мир под непривычным для него – строго математическим – углом зрения.
«Способными» же в итоге оказываются те дети, которые по какому-то счастливо-случайному стечению обстоятельств умудряются все-таки выглянуть в «окно», забитое досками неверных представлений. Где-то между этими досками сохраняются «щели», в которые пытливый ребенок иной раз и заглядывает. И оказывается «способным»... [40]
А эти неверные представления об исходных математических понятиях органически связаны с теми антикварными философско-гносеологическими представлениями о понятиях вообще и об отношениях этих понятий с реальностью вне мышления, с которыми научная философия давно разделалась и распрощалась.
Философско-логический анализ первых страниц учебника, который вводит первоклассника в царство математических понятий – учебник арифметики – демонстрирует этот факт бесспорно. Он внушает ребенку абсолютно ложное (с точки зрения самой математики) представление о числе.
Как задается ребенку «понятие» числа, этого фундаментального и самого общего основания всех его дальнейших шагов в области математического мышления?
На первой странице очень натурально и наглядно нарисован мячик, рядом с ним – девочка, яблоко (или вишенка), жирная палочка (или точка) и, наконец, цифровой знак «единицы».
На второй странице – две куклы, два мальчика, два арбуза, две точки и цифра «2» («два»). И так далее – вплоть до десяти, до этого «предела», назначенного дидактикой для первоклассника сообразно с его возрастными («природными») возможностями...
Предполагается, что «усвоив» эти десять страниц, ребенок «усвоит» счёт, а вместе с ним – «понятие числа».
Умение считать он, действительно, таким образом усваивает. Но вот что касается «понятия числа», то вместо него ребенок незаметно для себя проглатывает совершенно ложное представление о числе – такое представление об этом важнейшем понятии, которое даже хуже тех обывательских, донаучных представлений, с которыми он приходит в школу. И это ложное представление чуть позже будет ему очень сильно мешать при усвоении более сложных шагов на поприще математического мышления.
В самом деле, если бы первоклассник обладал нужными для этого аналитическими способностями, то на вопрос: «что такое число?» – он ответил бы после усвоения указанных страниц примерно следующее.
Число – это название, выражающее то абстрактно-общее, что имеют между собой все единичные вещи. Исходная цифра натурального ряда – это название [41] единичной вещи, «двойка» – название «двух» единичных вещей и т.д. Единичная же вещь – это то, что я вижу в пространстве как резко и отчетливо отграниченное, «вырезанное» контуром из всего остального, окружающего ее мира, будь то контур мячика или шагающего экскаватора, девочки или тарелки с супом. Недаром, чтобы проверить, усвоил ребенок эту премудрость или нет, ему показывают предмет (безразлично какой) и спрашивают – «сколько?», желая услышать в ответ – «один (одна, одно)». А далее – два, три и т.д.
Но ведь само собой понятно, что любой мало-мальски грамотный в математике человек рассмеется, услышав такое объяснение «числа», по праву расценит его как детски-наивное и неверное.
В самом деле, это лишь частный случай числового выражения действительности. А ребенок вынужден усваивать его как самый общий, как представление о «числе вообще».
