Точно так же как в примере с двумерной вселенной садового шланга, четырехмерная вселенная Калуцы — Клейна с одним крохотным свернутым измерением будет казаться нам имеющей на одно измерение меньше, чем те четыре, которые есть на самом деле. Так как мы ничего не можем знать о дополнительном пространственном измерении, пока не сумеем получить свидетельство о его структуре в крохотном масштабе этого измерения, вселенная Калуцы — Клейна будет казаться трехмерной. Свернутые или компактифицированные дополнительные измерения никогда не будут обнаружены, если их масштабы достаточно малы. Позднее мы исследуем вопрос, насколько они должны быть малы, однако сейчас достаточно понимать, что планковская длина находится далеко за порогом измеримости.
В жизни и в физике мы регистрируем только те детали, которые действительно для нас важны. Если вы не можете наблюдать детальную структуру, вы можете с тем же успехом считать, что ее нет. В физике это пренебрежение локальными деталями реализуется в идее эффективной теории, о чем шла речь в предыдущей главе. Все, что имеет значение в эффективной теории, — это вещи, которые вы можете реально воспринимать. В приведенном выше примере мы будем использовать трехмерную эффективную теорию, в которой подавлена информация о дополнительных измерениях.
Хотя свернутое измерение во вселенной Калуцы — Клейна находится рядом с нами, оно так мало, что любое изменение в нем является незаметным. Точно так же, как различия между жителями Нью-Йорка не имеют никакого значения для приезжего, структура дополнительных измерений вселенной несущественна, когда ее детали изменяются в столь крохотном масштабе. Даже если окажется, что на фундаментальном уровне имеется много больше измерений, чем те, с которыми мы знакомы в повседневной жизни, все, что мы видим, будет описываться с помощью тех измерений, которые мы наблюдаем. Экстремально малые дополнительные измерения ничего не изменяют в нашем видении мира, или даже в том, как мы производим большинство физических расчетов. Даже если дополнительные измерения существуют, но мы неспособны видеть их или знать о них по опыту, то можно ими пренебречь и при этом правильно описывать то, что мы видим. Позднее я познакомлю вас с модификациями этой простой картины, для которых это не всегда будет справедливо, но они будут включать дополнительные предположения.
Еще один важный момент, касающийся свернутого измерения, можно понять из рис. 17, где показан шланг или вселенная с одним измерением, свернутым в окружность. Возьмем любую точку вдоль бесконечного измерения. Заметим, что в каждой без исключения точке находится полное компактное пространство, а именно, окружность. Шланг состоит из всех таких окружностей, склеенных вместе, как те слои, о которых шла речь в гл. 1.
На рис. 18 приведен другой пример. Здесь имеются не одно, а два бесконечных измерения, и одно дополнительное измерение, свернутое в окружность. В этом случае окружность находится в каждой без исключения точке двумерного пространства. И если бы было три пространственных измерения, свернутые измерения существовали бы в каждой точке трехмерного пространства. Вы можете сравнить точки в пространстве с дополнительными измерениями с клетками вашего тела, каждая из которых содержит принадлежащую вам полную последовательность ДНК. Аналогично, каждая точка в вашем трехмерном пространстве должна быть хозяйкой полностью компактифицированной окружности.
До сих пор мы рассматривали только одно дополнительное измерение, свернутое в окружность. Но все, что было сказано, должно выполняться и тогда, когда свернутое измерение принимает другую, вообще говоря, любую форму. Может случиться и так, что имеется два или более крохотных свернутых измерений любой формы. Все без исключения измерения, которые достаточно малы, будут для нас совершенно невидимыми.
Рассмотрим пример с двумя свернутыми измерениями. Эти свернутые измерения могут принимать много разных форм. Мы выберем тор, имеющий форму бублика, в котором два дополнительных измерения одновременно свернуты в окружности. Это показано на рис. 19. Если обе окружности — та, которая навивается через дырку в бублике, и та, которая навивается вокруг самого бублика, — достаточно малы, мы никогда не увидим двух дополнительных свернутых измерений.
Но это только один пример. В случае большего числа измерений имеется огромное количество возможных компактных пространств, т. е. пространств со свернутыми измерениями, отличающихся друг от друга конкретным способом, которым эти измерения свернуты. Одной категорией компактных пространств, важных для теории струн, являются многообразия Калаби — Яу, названные по именам итальянского математика Эудженио Калаби, первым предложившего эти особые формы, и уроженца Китая гарвардского математика Шин Тун Яу, показавшего, что эти формы математически возможны. В этих геометрических формах дополнительные измерения свернуты и закручены весьма необычным способом. Как и во всех случаях компактификации, измерения сворачиваются на малых расстояниях, но они переплетаются таким сложным образом, что это очень трудно нарисовать.
Какую бы форму не принимали свернутые дополнительные измерения, и сколько бы их не было, в каждой точке вдоль бесконечных измерений будет находиться маленькое компактное пространство, содержащее в себе все свернутые измерения. Поэтому, если теоретики, занимающиеся струнами, правы, то везде в видимом пространстве — на кончике вашего носа, на северном полюсе Венеры, в точке на теннисном корте, куда вы послали ракеткой мяч во время последней подачи, — должно находиться шестимерное многообразие Калаби — Яу невидимого крохотного размера. В каждой точке пространства должна присутствовать многомерная геометрия.
Теоретики, занимающиеся струнами, часто предполагают, как это уже сделал Клейн, что свернутые измерения имеют размеры, равные планковской длине 10-33 см. Компактные измерения планковских размеров были бы необычайно хорошо спрятаны. Почти наверняка у нас нет способов обнаружить нечто столь малое. Поэтому весьма вероятно, что дополнительные измерения планковских размеров не оставляют никаких видимых следов своего существования. Следовательно, даже если мы живем во вселенной с дополнительными измерениями планковских размеров, мы будем регистрировать только три обычных измерения. Вселенная может иметь много таких крохотных измерений, но может статься, что мы никогда не достигнем достаточной разрешающей способности, чтобы их обнаружить.
Ньютоновский закон для силы тяготения при наличии дополнительных измерений
Хорошо иметь наглядное, описательное объяснение того, почему дополнительные измерения прячутся после компактификации или сворачивания до очень маленьких размеров. Но не мешало бы проверить, что законы физики согласуются с этими интуитивными представлениями.
Посмотрим на ньютоновский закон для силы тяготения, который в законченном виде был предложен Ньютоном в XVII веке. Этот закон говорит нам, каким образом сила тяготения зависит от расстояния между двумя массивными телами[22]. Закон Ньютона известен как закон обратных квадратов, означающий, что сила тяготения уменьшается с расстоянием обратно пропорционально квадрату расстояния. Например, если вы удвоите расстояние между двумя телами, сила их гравитационного притяжения уменьшится в четыре раза. Если расстояние между телами увеличивается в три раза по сравнению с первоначальным, гравитационное притяжение уменьшается в девять раз. Закон обратных квадратов для тяготения является старейшим и самым важным из законов физики. Среди прочего, этот закон объясняет движение планет по тем орбитам, которые мы видим. Любая жизнеспособная физическая теория тяготения должна воспроизводить закон обратных квадратов, или она будет обречена на провал.
Тот вид зависимости силы тяготения от расстояния, который заложен в ньютоновском законе обратных квадратов, тесно связан с числом пространственных измерений. Причина этого в том, что число измерений определяет, насколько быстро рассеивается гравитация при распространении в пространстве.
Подумаем над этой связью, что очень пригодится нам позднее, когда мы будем рассматривать дополнительные измерения. Для этого представив себе водопровод, вода из которого может быть направлена через шланг или через разбрызгиватель. Предположим, что через шланг и через разбрызгиватель протекает одинаковое количество воды и этой водой нужно полить определенный цветок в саду (рис. 20). Когда вода идет по шлангу, направленному на цветок, этот цветок получит всю воду. Расстояние от начала шланга до насадки, направленной на цветок, несущественно, так как вся вода должна в конце концов дойти до цветка независимо от того, насколько далеко находится шланг.
