Из статуса рационального бессознательного вытекает такое очевидное следствие: вряд ли на всем протяжении книги и, в частности, первой главы речь пойдет о чем-то действительно новом. Предмет изучения – скорее забытое старое: забытое нашей культурой в целом (так сказать, филогенетическое забвение) или лично читателем (онтогенетический аспект). Поэтому нередко будет возникать эффект дежавю, который, надеюсь, не очень помешает чтению. Если о коллективном бессознательном надежнее всего свидетельствуют мифы, то знание о его рациональном компоненте – тоже своеобразный миф, который, по выражению неоплатоника Салюстия, сообщает о том, что, возможно, не было никогда, но есть всегда. В том же смысле следует понимать рассматриваемые числовые закономерности: хотя в конкретно предлагаемой форме они в чем-то оригинальны, знание о них так или иначе присуще всем и всегда, и основная задача только в том, чтобы внести в эти знания систематичность, отделив от них излишние и неуместные, по нашему мнению, мистические наслоения.
Человек, вернее, большие человеческие коллективы постоянно формируют стереотипы – в идеологии, науке, политике, философии, популярных литературных произведениях и т.д. Во-первых, стереотипы – это то, что всякий раз, на каждом этапе не является новым, а, напротив, широко и хорошо известно. Во-вторых, они – в качестве продукта коллективного, массового сознания – пребывают на границе сознательной и бессознательной психической сфер. Будучи наиболее простыми и удачными, не противоречащими сами себе и, значит, устойчивыми представлениями (что применительно к стереотипам тавтологически верно), своего рода организующими или "нервными" центрами культуры, ее мифологемами, они в значительной мере подчиняются рациональным принципам – как раз тем, которые разделяют современные образованные массы. В ряде случаев подобные стереотипы имеют облик предрассудков, т.е. априорных суждений. После Х.-Г.Гадамера к ним также следует относиться серьезно и не квалифицировать как заведомо ложные и потому неинтересные для науки положения. "По Гадамеру, предрассудки в гораздо большей степени, чем рефлексия, суждения и т.п. составляют историческую действительность бытия человека. Они законны, неизбежны, коренятся в объективных исторических условиях. И дело, следовательно, отнюдь не в том, чтобы отбросить эти предрассудки: их надо осознать, учесть, привести, так сказать, во взвешенное состояние" [89, с. 16]. Выявление рациональной основы общественных стереотипов, предрассудков, мифологем в их взаимодействии с культурой и социальной реальностью и составляет тему книги в целом; в настоящей главе предстоит исследовать одну из разновидностей таких основ, а именно ту, за которую ответственны целое число и комбинаторика. В свою очередь, подразделение объектов на составные компоненты и последующая манипуляция ими – неизменный признак всякого познания; воспользуемся для удобства словами одного из аналитиков: "Таким образом, в отражении ‹т.е. в познании. – А.C.› происходит установление границ в представленном материале, выделение объектов, объединение их в классы, их перебор, комбинирование и конструирование из них новых объектов" [110, с. 143].
Примечания
1 В послевоенные десятилетия пользовалось успехом и такое членение: либерализм – марксизм – национализм.
2 Например, каковы основания, что система грамматических лиц включает в себя именно 3 лица, а не, скажем, 8 или 17, что физическое пространство в одну эпоху считалось трехмерным, затем четырехмерным, десятимерным и т.д.
3 Одновременно Декарт "арифметизирует", или "алгебраизирует", геометрию посредством метода координат.
4 Так, по наблюдению Уайтхеда, писатели последних столетий специально тренируют умы, чтобы воспитать в себе незаинтересованность в науке [336, с. 134].
5 В подстрочном примечании переводчик С.Лурье поясняет: "Все эти явления надо, разумеется, объяснять тем, что в сфере первобытных культур речь идет прежде всего об индивидуально известных множествах, увеличение или уменьшение которых воспринимается как присоединение или недостаток определенных индивидуумов. Таким образом, речь идет не о "меньшей способности к абстракции", а о совершенно ином направлении интересов по сравнению с нами".
6 "Числа вообще оказываются невыводимыми ни из чего другого, и все попытки на такую дедукцию терпят решительное крушение, а, в лучшем случае, когда повидимому к чему-то приводят, страдают petitio principii" [345, с. 595].
7 В свою очередь, в основе всякой математики как безусловно данный элемент лежит число [там же, с. 205].
8 О генезисе и типе различных разделов элементарной математики существуют и иные мнения. "Если наши геометрические курсы в значительной мере восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение" [координаты книги утеряны, остался лишь номер страницы: 183]. Как бы то ни было, независимо от первоисточников, античность прекрасно владела арифметикой, и для того, чтобы подчеркнуть разностильность современного "сайентистского" мышления, с одной стороны, и рационального бессознательного, с другой, не обязательно вдаваться в подробности, тем более, что в их оценках среди специалистов отсутствует единодушие. Когда в дальнейшем будут востребованы те сектора арифметических знаний, которые не были знакомы ни грекам, ни римлянам, это будет специально оговариваться.
1.2. Теоретическая модель
Теперь, вероятно, достаточно подготовлена почва для более предметного разговора. Содержание настоящего раздела покажется иным из читателей отвлеченным, а то и скучным. Но это неизбежная и, надеюсь, краткосрочная скука, которую следует перетерпеть. Те, для кого приведенные выкладки тривиальны, могут прочесть данный раздел "по диагонали", подробности адресованы тем, кто основательно подзабыл школьную математику, хотя для них – см. Предисловие – такое чтение способно оказаться затрудненным вдвойне. Уже на старте необходимо выравнять шансы двух разрядов читателей. Сходный мотив ответствен и за выбор смешанного, индуктивно-дедуктивного пути изложения: каждая из абстракций по возможности снабжена иллюстрациями. Чтобы не злоупотреблять терпением, часть выкладок вынесена за рамки раздела, и поначалу допустимо лишь бегло ознакомиться с ним. Впоследствии, следуя ссылкам, его можно использовать как справочный материал.
Выше упоминались некоторые из совокупностей тесно сопряженных друг с другом понятий. Таковы лица местоимений в языке, глагольные времена, составные члены триад немецкой классической философии, измерения физического пространства и др. Подобные группы отличаются своеобразным качеством целостности, и сейчас предстоит рассмотреть их более аккуратно.
Для удобства обозначим любую из таких совокупностей, или систем, через S. Каждая из систем S состоит из определенного числа элементов или, что то же, разбивается на эти элементы. Последние могут быть самыми разнообразными: ветви государственной власти (законодательная, исполнительная, судебная), грамматический род (мужской, женский, средний), измерения физического пространства (три в ньютоновской механике и четыре в релятивистской). Таким образом, мы отвлекаемся от конкретной природы составных элементов; нам важно лишь то, что они вообще существуют и что в каждой системе S их определенное количество. Обозначим это количество через M. Вообще говоря, заранее неизвестно, какова именно величина M – в разных случаях она различна, – ее-то и предстоит выяснять. Итак, система S состоит из M элементов.
Пока использована не вся информация. Мы видим, что элементы, из которых состоит система, не изолированы друг от друга, а каким-то образом взаимодействуют, связаны между собой, находятся в определенных реальных и/или логических отношениях. Никто ведь не станет всерьез утверждать, что, скажем, прошлое, настоящее, будущее суть изолированные друг от друга хронологические категории. Ради общности не будем строить никаких предположений о предметном характере упомянутых отношений: в каждой из систем S он, очевидно, свой. Пока достаточно и того, что связи, отношения явно наличествуют. Попробуем их пересчитать.
Если элемент a1 связан с элементом a2, мы говорим об одном отношении между двумя элементами. Если элемент a1 сопряжен еще и с элементом a3 , то фиксируется второе отношение. Аналогично, если элементы a2 и a3 также корреспондируют между собой, то имеется третье отношение и т.д. Обозначим общее количество связей в системе S через k и отныне будем говорить, что она состоит из M элементов и k отношений.
Определение свойств систем класса S еще не закончено. Ранее упоминалось такое качество как "целостность", постараемся с ним разобраться.
Важно, что система S в известном смысле является полной, т.е. включает в свой состав все значимые для себя элементы. Скажем, если кантовская система высших человеческих ценностей состоит из истины, добра, красоты, то имеется в виду, что нет других высших ценностей, сопоставимых по значению с названными, к ним не сводимых, но при этом не внесенных в список. Этот список по-своему исчерпывающ.
