где G – гравитационная постоянная, равная 6,67 • 10-11 м³ • с-2 • кг-1 , М – масса Земли, m – любая другая масса, r – расстояние.
Бумажник находится немного дальше от Земли, чем человек, поэтому притягивается меньше. В свою очередь, мобильный телефон находится ближе и испытывает большее притяжение. А что случится с носовым платком и ключами? Так как притяжение направлено к центру массы, линии, соединяющие эти предметы с центром Земли, не будут параллельны. Следовательно, через несколько секунд бумажник, как и телефон, тоже будет стремиться вниз, а носовой платок и ключи приблизятся к нему с двух сторон (рисунок 1). Иногда, чтобы описать это отклонение, говорят о приливных силах, поскольку эта же сила притяжения вызывает на Земле приливы и отливы.
2) В космосе.
Для того чтобы предметы вели себя описанным образом, необходима близость Земли, и в этом случае герою нашего эксперимента лучше заранее приготовиться к болезненному приземлению (рисунок 2).
За короткое время и не имея всей информации, человек не сможет понять, находится он в свободном падении или парит при нулевой гравитации. Похожие ощущения возникают даже при обычном прыжке: в самой высокой точке траектории невозможно отличить падение от невесомости, и на этой двойственности основан принцип эквивалентности. Но если немного подождать, то рано или поздно в невесомости возникнет отклонение. Вспомним геометрию: на небольших расстояниях мы не можем понять, круглая Земля или плоская, но при значительной дистанции мы замечаем, как прямая линия отклоняется, обнаруживая закругление Земли. И в этой аналогии – ключ к введению гравитации в релятивистскую теорию.
Когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь искривлен, мне же посчастливилось заметить это.
Ответ Эйнштейна на вопрос его сына Эдуарда о том, почему он так знаменит.
Летом 1912 года, сразу после возвращения в Прагу из Цюриха, Эйнштейн обратился к своему другу Марселю Гроссману с просьбой: «Ты должен помочь мне или я сойду с ума». В студенческие годы Гроссман частенько одалживал будущему ученому конспекты, когда тот пропускал занятия, а впоследствии спас его от нищеты, предложив место в патентном бюро. Сейчас же Эйнштейн стал авторитетом в неевклидовой геометрии. Гроссман охотно согласился сотрудничать с ним, и они предприняли экскурс в мир поверхностей, очень похожий на тот, что ожидает нас.
Анатомия поверхности
Если два человека начертят на плоской поверхности прямые, перпендикулярные другой линии, то эти прямые будут параллельны и никогда не пересекутся. Однако если эти два человека будут находиться на экваторе шара, все окажется иначе. В зависимости от размеров сферы рано или поздно линии пересекутся (рисунок 1).
При гигантских размерах шара, возможно, довольно долго никто не догадается, что его поверхность не плоская. Сегодня, когда мы имеем возможность взглянуть на Землю из космоса, ее сферическая форма кажется чем-то само собой разумеющимся. Однако чтобы прийти к этому открытию, человечество потратило тысячи лет. Вероятно, в первый раз о том, что Земля не плоская, задумались моряки, которые в длительных плаваниях ориентировались по звездам. Эксперимент с параллельными прямыми – это дедуктивный способ, который помогает человеку, находящемуся на поверхности Земли, понять, круглая она или плоская. Достаточно довольно долго вести линию перпендикулярно экватору. Через некоторое время линии сблизятся – обнаружится закругление. А что произойдет, если у нас не будет времени на то, чтобы нарисовать достаточно длинные прямые? Ведь при больших размерах сферы два коротких отрезка будут практически параллельны, и с их помощью невозможно оценить, на плоскости или на шаре мы обитаем.
РИС. 1
РИС. 2
РИС. 3
РИС. 4
Вообразим себе лист бумаги и поставим на нем две точки (рисунок 2). Если нас попросят соединить их кратчайшим образом, мы сделаем это с помощью прямой линии (рисунок 3). Однако точки, поставленные на поверхности шара, соединяет не прямая, а дуга окружности (рисунок 4).
Такие кратчайшие линии называются геодезическими. Их можно провести на любой поверхности, даже имеющей довольно сложную геометрию, правда, и форма геодезических линий тоже изменится (рисунок 5).
К любой точке даже самой сложной поверхности мы всегда можем приблизиться с помощью касательной плоскости (рисунок 6).
Повторив операцию со множеством точек, мы обнаружим, что замостили поверхность плоскостями на каждом достаточно гладком участке. Если рельеф особенно неровный, поверхность превратится в мозаику из маленьких плоских участков.
РИС. 5
РИС. 6
РИС. 7
РИС. 8
РИС. 9
Возьмем поверхность, на которой отмечены две точки и соединяющая их геодезическая линия, и попытаемся замостить ее плоскими участками (рисунки 7 и 8). Мы увидим, что поверхность со сложным рельефом распадается на плоские плитки, а геодезическая линия превращается в последовательность прямых линий (рисунок 9). Для обитателя поверхности, который ориентируется только в рамках одной такой плоской плитки, мир будет плоским, а геодезические линии – прямыми. Заключенный в ограниченном пространстве, он не знает, на ровной поверхности он живет или нет. Но по мере того как будут расширяться его знания о мире, прямые линии вокруг него начнут искривляться и превращаться в более сложные геодезические. Эта ситуация напоминает неопределенность, которую можно испытать в свободном падении: понять, падаешь ты или паришь, можно лишь по прошествии достаточного количества времени. Эйнштейн предположил, что в этих двух случаях речь идет об одном и том же.
Летом 1912 года он пришел к выводу, что теория поверхностей, созданная математиком Карлом Фридрихом Гауссом, «содержала ключ к разгадке» для введения гравитационного взаимодействия в релятивистскую теорию. Это открытие побудило его как можно скорее углубиться в математические изыскания, а Гроссман помог ему овладеть необходимыми инструментами для переложения физической интуиции на формальный язык дифференциальной геометрии.
Личная жизнь поверхностей
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) по масштабу своего мышления может сравниться разве что с Ньютоном или Архимедом. Некоторые из самых значительных его открытий, такие как неевклидова геометрия и алгебра комплексных чисел, не были опубликованы, чтобы избежать научных споров. Гаусс мог себе это позволить: напечатанной части его работ было достаточно, чтобы произвести переворот в математике. Риман обобщил идеи Гаусса в дифференциальной геометрии. В 1854 году он прочитал лекцию на эту тему, завершив выступление словами: «Это приводит нас в сферу другой науки, физики, куда сегодня мы не можем углубиться». Риман остановился на границе, которую осмелился пересечь только Альберт Эйнштейн, родившийся четверть века спустя. Однако познать тайну строения космоса ему помогли разработанные Риманом математические инструменты.
До начала XIX века и публикации работы Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» двумерные пространства рассматривались с трехмерной перспективы, словно со стороны. Заслуга Гаусса состоит в том, что он погрузился в саму поверхность, сталкиваясь, по мере своего продвижения, с различными новыми задачами. Это воображаемое путешествие стало первым шагом в изучении внутренней геометрии поверхностей, которая получила мощный толчок в развитии благодаря одному из учеников Гаусса, Бернхарду Риману (1826-1866).
Когда речь идет о плоскости, кажется разумным экстраполировать свойства небольшого участка на другие, близкие ему. Однообразие плоскости подразумевает, что все ее участки идентичны. Однако в более сложной среде каждая неровность становится новой точкой отсчета. Мы различаем возвышения и углубления, и особенности одного участка плоскости нельзя приписать другому ее участку. Следовательно, чтобы изобразить внутреннюю структуру поверхности, мы должны составить карту всей ее площади.
Для того чтобы это сделать, Гаусс обратил внимание на то, что произойдет, если мы возьмем любую точку на поверхности и немного продвинемся от нее в случайном направлении. Если мы находимся на плоской поверхности, такой, например, как пол в доме, то в каком бы направлении мы ни двигались, пройденный путь будет равен расстоянию до точки. Но на изогнутой поверхности все оказывается сложнее. Двинувшись направо, мы, возможно, спустимся вниз, а повернув налево, можем обнаружить крутой подъем.
