Рафаель Роузен - Математика для гиков

Как долго 200 водителей будут добираться из центра города до торгового центра? Так как оба маршрута одинаковы – единственное отличие состоит в том, что участки дороги меняются местами, – мы можем предположить, что половина водителей выберет один маршрут, а другая половина – второй, и, таким образом, время в пути для каждого маршрута составит 50 минут.

Водитель на одном из маршрутов не будет иметь причины, чтобы поменять его, так как он не сэкономит на этом время. (В такой ситуации, когда вовлечено множество людей и каждый понимает, что будет делать другой на его месте, и никто не собирается менять свою стратегию, люди находятся в равновесии Нэша – см. главу 2.14).

Теперь представим, что между маршрутами построили более короткий путь в том месте каждого маршрута, где встречаются два участка. Эту дорогу можно проехать очень быстро. Теперь водители обоснованно захотят использовать один и тот же маршрут: они могли бы проехать участок Т/5 маршрута А, потом поехать по короткому пути, а потом по участку Т/5 маршрута Б. (Такой путь будет иметь зигзагообразную форму.) Но естественно, что все 200 водителей захотят так поехать, чтобы сократить время в пути, то есть путь займет 200/5 + 200/5, или 80 минут. Водители будут знать, что могут срезать дорогу, поэтому все выберут этот маршрут. В результате транспортный поток ухудшится.

Идея сокращения вариантов выбора для улучшения условий движений была использована в реальных городах, включая Сеул, столицу Южной Кореи. Когда шестиполосная дорога, проходящая через центр города, была демонтирована в середине 2000-х и на ее месте построили парк длиной в 5 миль, движение на самом деле стало более эффективным. Машины ехали по дорогам, которые уже существовали. Результат, может, бросил вызов здравому смыслу, но математика помогла открыть его мудрость.

Парадокс Браеса применяется не только к дорожному движению. В исследовании, опубликованном в 2012 году, ученые из института динамики и самоорганизации Макса Планка показали, что добавление линий электропередач к электросети не обязательно повышает ее производительность. Вместо этого новые линии могут в конечном итоге дестабилизировать ее, в зависимости от того, где они находятся по отношению к существующим линиям; поэтому меньшее количество линий иногда приводит к большей эффективности электросети.

Возьмите в руки лист бумаги. Сложите его пополам. Теперь опять сложите его пополам. Как долго, по вашему мнению, вы сможете его складывать? Эта математическая задача известна как проблема простыни, но она также с легкостью применима и к бумаге, полотенцам, фольге, лапше и всему, что вы можете сложить. В течение многих лет математики считали, что нельзя ничего согнуть больше 7 раз. Однако в 2002 году учащаяся средней школы в городе Помона, штат Калифорния, установила рекорд, сложив очень длинный лист туалетной бумаги – длиной в 4000 футов, если быть точным – 12 раз. Она это сделала, складывая в одном направлении и только после расчетов, которые установили длину бумаги, которой она должна обладать.

И что? Складывание чего-нибудь пополам вновь и вновь – это хороший пример для понимания экспоненциального роста. Когда размер (или число) растет экспоненциально, то на каждом этапе он принимает большее значение, а так как базисная величина растет каждый раз, то результат также очень быстро растет. Например, давайте возьмем обычный лист из блокнота с отрывными листами, толщина которого примерно составляет 1/10 миллиметра. Сложив его пополам, мы получим толщину, равную 2/10 миллиметра, сложив лист еще раз, мы получим 4/10 миллиметра. После того как мы сложим его 25 раз, толщина бумаги будет составлять 1 километр. После того как мы сложим его 42 раза, его толщины хватит, чтобы достать до Луны. После того как мы сложим его 81 раз, толщина бумаги охватит 127 786 световых лет. А после того, как мы сложим его 103 раза, бумага займет больше пространства, чем видимая часть Вселенной (примерно 93 миллиарда световых лет).

Специалист по компьютерным наукам Дональд Кнут однажды провел исследование о двухроликовых диспенсерах туалетной бумаги в общественных туалетах, в процессе он разделил людей на две группы. Одни берут бумагу из большего рулона, другие – из меньшего. В его исследовании он изучил вероятность того, к какому типу относится тот или иной человек и как это влияет на количество бумаги, оставшейся на рулоне, используя разные математические уравнения.

Возможность полета из Лос-Анджелеса в Нью-Йорк за 5 часов является чудом, но вот процесс посадки на самолет превращает это чудо в неприятность. Обычно пассажиры производят посадку на самолет все вместе, но хотя этот метод нацелен на предотвращение заторов, всегда будут неизбежны задержки, так как людям нужно время, чтобы положить багаж в отсеки над их головами. Кроме того, люди, чьи места у окна, часто ждут, пока те, которые уже сели в центре и у прохода, встанут, чтобы они могли сесть. Все эти факторы создают головную боль для уставшего путешественника, а потерянное время стоит денег авиакомпаниям.

Математики бросили свои умы на то, чтобы сделать посадку на самолет не таким суровым испытанием, и нашли решение. Секрет кроется в распределении и местах. Первыми должны садиться люди с местами на нечетных рядах. В этом случае между теми, кто пытается всунуть свой багаж в отсеки над головами, всегда остается один свободный ряд, что даст им пространство для маневров. Дополнительным требованием является то, что среди них первыми должны занять свои места люди, сидящие у окна. Затем идут те, кто сидит в центре, а потом те, кто сидит у прохода. Такой метод гарантирует, что никто не будет никого поднимать, чтобы сесть на свое место, и время будет сведено к минимуму. Весь процесс затем повторяется для тех, кто сидит на четных рядах. На деле этот метод настолько эффективен, что пассажиры производят посадку за 1/6 времени, которое обычно нужно для посадки. Так почему же авиакомпании не пользуются этим математическим методом? Может, математикам стоит приняться за работу, чтобы ответить на этот вопрос.

Авиалинии Southwest не дают мест, то есть люди вольны выбирать те места, которые они сами захотят, согласно номеру на посадочном талоне. (Этот номер присваивается при регистрации пассажира, но за дополнительную плату они могут получить номер получше – см. главу 2.14.) Неясно, является ли такой метод более эффективным, так как в уравнении присутствует степень случайности.

Тот постер М. К. Эшера, который, возможно, висел на стене вашей комнаты в общежитии, имеет больше связей с математикой, чем вы можете предположить. Рисунки Эшера являются примерами мозаики, замощения двухмерного пространства, такого, как лист бумаги, геометрическими фигурами так, что эти фигуры не накладываются друг на друга и между ними существует очень маленькое расстояние. Как доказывают иллюстрации Эшера, эти фигуры не обязательно должны быть треугольниками или квадратами, они могут быть птицами, ангелами, рыбами или каплями. На самом деле, мозаикой можно считать и пазл. Кусочки соединяются друг с другом и полностью заполняют пространство готового пазла без зазоров. Но мозаику можно найти не только в работах Эшера. Мозаика встречается как в необычайных плитках Альгамбрн в Испании, шестисторонних клетках в пчелиных сотах, так и в геометрических узорах, которые покрывают стены и полы древних римских построек, и в лоскутных одеялах.

Мозаика оказалась плодородным разделом математики. На протяжении веков математики обнаруживали, что мозаика принимала различные формы:

• Некоторые мозаики являются периодическими, их узоры повторяются, а другие – непериодическими, их узоры не повторяются.

• Некоторые мозаики правильные: они образованы путем повторения одного правильного многоугольника, фигуры, у которого стороны и углы имеют одинаковый размер. (Например, квадрат.)

• Другие мозаики являются полуправильными, то есть состоят из более чем одного правильного многоугольника.

Анализ продолжается. В 1891 году русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что правильные мозаики входят в одну из 17 категорий. И существует 8 видов полуправильных мозаик.

Это все доказывает, что математика – не только вычисления. Математика – это еще и нечто удивительное и ценящее красоту фигур.

Художник-график из Нидерландов Мауриц Корнелис Эшер провалил экзамены, которые позволили бы ему заниматься архитектурой. Но поездка в Альгамбру, мавританский дворец XIV века, вдохновила его сконцентрироваться на создании рисунков, которые полностью заполняли бы пространство. Остальное уже история.