1) – кратного интеграла по этому множеству как раз от функции платежа
m (которая определяется при любых конкретных реализациях правилами аукциона), примененной к набору {
s (
vj)}, домноженной на совместную плотность распределения. Последняя, в силу независимости случайных величин, равна произведению плотностей
f (
vj) в соответствующих точках
vj, определяющих реализации оценок остальных участников.
С какой вероятностью предмет достанется участнику с оценкой v? В силу требования эффективности аукциона это произойдет в том и только том случае, когда заявка нашего игрока s (v) перебьет все прочие заявки s (vj). Теперь вступает в игру монотонность функции s (•), одинаковой для всех игроков равновесной стратегии участия. Монотонность позволяет заключить, что участник с оценкой v победит в аукционе и получит предмет только в том случае, когда его оценка окажется максимальной. Таким образом, вероятность победы для участника с оценкой v равняется F n–1 (v).
Чтобы окончательно абстрагироваться от всей лишней информации, обозначим теперь функцию F n–1 (•) за G (•). Сразу же заметим, что она определяется только тем, как именно априорно распределены оценки участников, а не тем, как устроен наш аукцион и какое именно симметричное равновесие s (•) мы рассматриваем. Если вдруг для данного формата окажется несколько равновесных стратегий, выводы будут одни и те же.
Переходим к ключевому моменту. Если участник с оценкой v следует стратегии s (•), то он получает предмет с вероятностью G (v) и платит в среднем M (v). Таким образом, его ожидаемый выигрыш в этой игре равен:
Если же он изменит поведение, вместо s (v) заявив, то это фактически эквивалентно тому, что он прикинется участником с оценкой. По крайней мере это верно в том случае, если выпавшая оценка v – не краевая, то есть не равна ни нулю, ни максимальной возможной оценке (в случае, когда диапазон всех оценок является каким-то конечным отрезком [0, T]), и если отклонение окажется незначительным, не выводящим оценку за пределы допустимого диапазона.
Что получит игрок с оценкой v, если он прикинется игроком с оценкой, близкой к v? Он получит лот с вероятностью G(), заплатив в среднем M(). Так как лот на самом деле имеет для него ценность v, то выигрыш будет равен:
Такое изменение должно быть невыгодно, поскольку стратегия участия s (•) – равновесная, и поэтому она является оптимальным ответом на себя саму. То есть при условии, что остальные участники следуют этой стратегии, заявка s (v) должна доставлять максимум функции ожидаемого выигрыша участника с оценкой v.
Таким образом, при любых должно быть выполнено неравенство:
Для дифференцируемых функций из этого следует, что производная по от функции обращается в ноль именно в точке v, иначе даже локального максимума нам не получить, то есть
непременно в точке.
Поскольку v было взято совершенно произвольно, с одним условием v ≠ 0, v ≠ T, мы получаем следующее дифференциальное тождество:
при всех v > 0.
Вспоминая о том, что M (0) = 0 (человек с заявкой ноль платит ноль!) и интегрируя наше тождество в пределах от нуля до произвольной возможной оценки y, мы получаем окончательную формулу для функции ожидаемого платежа участника аукциона, которому выпало значение оценки v = y.
Заметим, что независимо от формата в среднем аукционист в симметричном равновесии получит с участника, которому выпало v = y, величину M (y), зависящую только от распределения оценок. Ясно, что ожидаемый доход аукциониста равен n-кратному значению интеграла от M (y) по пространству возможных y, то есть этот суммарный ожидаемый доход также не зависит ни от чего, кроме априорного распределения ценностей лота для участников аукциона.
3.2.3. Значение теоремы Майерсона
Почему теорема Майерсона настолько важна? Во-первых, потому, что мы можем больше не задумываться, сколько денег принесет тот или иной аукцион, – все они в среднем будут одинаковыми: английский и голландский, первой цены или второй, третьей или all-pay. Для аукциона третьей цены, кстати, выполняется необычное свойство – ставка в равновесии должна превосходить оценку лота. Можно задуматься даже о разработке эксклюзивного дизайна для того, чтобы аукцион лучше работал в условиях дополнительных ограничений или удовлетворял определенным желаемым свойствам. Если этот дизайн не нарушает указанных предположений, аукцион по-прежнему останется оптимальным.
Во-вторых, теорема об эквивалентности форматов является прекрасным инструментом анализа аукционов, в том числе весьма сложных. Например, нетривиальной задачей было бы без нее оценить ставки в упоминавшемся ранее аукционе all-pay, где платят все игроки. Но мы знаем, что он эквивалентен аукциону первой цены, для которого оптимальная ставка в случае с равномерным распределением ценностей на отрезке [0; 1] имеет вид v (n – 1) / n. При этом вероятность победить на аукционе равна v n–1. А значит, оптимальная ставка в all-pay равна средней выплате в аукционе первой цены – вероятности выигрыша v n–1, умноженной на ожидаемую плату при условии выигрыша v (n – 1) / n. То есть
При этом в конкретном аукционе результаты для аукциониста, конечно, могут оказаться разными. Приведем пример. Пусть за лот борются три участника, чьи оценки оказываются равными 900, 750 и 300 тысяч рублей соответственно. При этом все они понимают, что априорные ценности конкурентов равномерно распределены в диапазоне от нуля до 1 млн руб. Какие будут итоги проведения трех упомянутых форматов аукционов – аукциона Викри, закрытого аукциона первой цены и аукциона со всеобщей оплатой?
В аукционе Викри оптимальной ставкой будет собственная оценка. Поэтому участники честно укажут суммы 900, 750 и 300 тысяч рублей. Победит, очевидно, первый. При этом он заплатит цену второго, которая равна 750 тысячам.
В аукционе первой цены с тремя участниками каждый подает в качестве ставки 2/3 от собственной оценки. Соответственно, будут указаны суммы 600, 500 и 200 тысяч рублей. Как и во всех остальных аукционах побеждает первый, но в данном случае он заплатит именно собственную ставку – 600 тысяч. Заметим, что это меньше, чем в аукционе Викри.
В аукционе со всеобщей оплатой с тремя участниками, априорные ценности которых равномерно распределены на интервале [0; 1] (а это именно наш случай, если денежные суммы измерять в миллионах) оптимальные ставки вычисляются по формуле b = 2/3v 3. Таким образом, выплаты игроков составят 2/3 × 0,93 = 0,486, 2/3 × 0,753 = 0,28125 и 2/3 ×0,33 = 0,018, то есть 486 тысяч рублей, 281,25 тысяч рублей и 18 тысяч рублей соответственно. В итоге аукционист получит более 785 тысяч рублей, в том числе значительную сумму от второго участника, который заплатит, но
