Ребёнок устанавливает, что перейти от одного к другому можно только через опосредующее звено, через нечто «третье». Нахождение такого опосредующего звена всегда составляет главную трудность любой задачи. Но здесь как раз и обнаруживается, как пишет Э. Ильенков, наличие ума, ибо «третье» всегда обладает ярко выраженными диалектическими свойствами. «Средний член», поскольку он должен иметь прямое отношение и к одной и к другой стороне явления, соединяет их в единую действительную систему. Он – непосредственное единство противоположностей.
Ребёнок не просто получил возможность решить конкретно-практическую задачу – измерение двух величин через третью. Он, так же как и его гениальный предок, обнаруживший способ раскалывать дерево через третье звено – камень-колун, нашёл общий диалектический приём движения мысли. Естественно, он ещё не осознал значения своего открытия: для этого необходимо время. Но важно, что он сделал первый шаг не только в математике. На математическом материале он сделал шаг в мышлении вообще. Впрочем, в действительности всё происходит гораздо проще. Идёт ведь урок математики, а не диалектики.
Другая задача: отрезать кусок верёвки, равный длине линии, нарисованной на доске. Всю верёвку в класс, естественно, приносить нельзя. Дети ищут способы решения конкретных задач, предлагают разные меры измерения, пробуют и делают вывод: уравнение и измерение может осуществляться не только непосредственно, но и опосредованным путём, с помощью выбранной заранее мерки. Оказывается, мерку можно выбрать любую, но если выбрал, дальше работай только с ней.
Итак, в отрезке уложилось три карандаша. Как зафиксировать выполненное действие?
Проще всего буквами, дети к этому давно уже привыкли. Планка – А, карандаш (мерка) – С. Отношение между этими величинами, установленное путём измерения, равно трём.
Запишем: А/С=3. Три – это число.
– А если возьмём другую мерку? Резинку, например. Будет три?
– Не будет!
– А сколько будет?
– Надо измерить.
Вот, оказывается, что такое число: оно «есть частный случай изображения общего отношения величин, когда одна из них принимается за меру вычисления другой», – утверждает В. Давыдов в своей монографии «Виды обобщений в обучении».
Форма А/С=Х, где А – любой объект, рассматриваемый школьником как величина, С – любая мерка, причём не обязательно по физическим свойствам совпадающая с отдельным предметом, она может быть и составной; X – любое число.
Меняя меры, дети изучают на такой модели свойства выделенного отношения. Они выясняют, что при изменении меры меняется и число, относящееся к одному и тому же объекту, к одной и той же величине.
Понимание числа как отношения величин хорошо выразил один ребёнок: «Конечно, десять больше двух. Но если десять – это не просто число, а количество миллиметров, например, а два – это количество сантиметров, то уже не скажешь, что десять больше двух. Значит, число само по себе нам ничего не показывает…»
Как не порадоваться такому рассуждению малыша, поднявшегося, в сущности, до понимания числа как математической абстракции, приобретающей реальное содержание только в органической связи с действительным миром! Причём вывод этого ребёнка не умозрительный, не вычитанный из учебника и не пересказанный со слов учителя; это его собственный вывод на основе его собственного конкретного действия, раскрывающего объективное понятие числа.
Новый способ, новое действие, новое понятие. Но какой это резкий скачок вперёд, насколько он расширяет взгляд ребёнка на математику как науку! Он только в начале пути, но это путь с вершины к безграничным горизонтам математического знания, когда, спускаясь, уточняешь общие представления о местности.
Так и здесь, получая в своё распоряжение обобщённое понятие числа, ребёнок начинает его изучать, скрупулёзно обследовать его свойства.
– Что значит считать? – спрашивает учитель.
– Работать с числами, – спокойно отвечает ребёнок.
– Что я нарисовал на доске?
– Отрезок… Линию.
– Хорошо. Возьму на этой линии точку М и буду откладывать вправо от неё числа. Что для этого у нас должно быть?
– Мерка… Мерку надо взять…
– Берём такую мерку: карандаш. Тогда за точкой М какое будет число?
– Один…
– А если я поставлю следующее число так?..
Учитель отмеряет следующий шаг на отрезке, не равный предыдущему, и ставит цифру 2.
– Неверно!.. – убеждённо говорит ребёнок. – Потому что вы взяли для числа 2 другую мерку. А надо взять одинаковые мерки.
– Допустим. Какое число больше: два или один?
– Конечно, два.
– На сколько?
– На единицу. На одну мерку.
– На сколько пять больше двух?
– На три мерки.
– А сколько можно чисел откладывать на такой линии?
– Много… Да ведь и саму линию можно удлинять на сколько угодно.
– Вот, оказывается, где живут числа, – лукаво говорит учитель, – на таких отрезках. Может нам помочь их местожительство узнать что-нибудь новое о числе?
– Может. Например, узнать, как добираться от одного числа к другому… Линия наводит порядок в числах.
– А как, по-вашему, назвать такую линию?
– Можно назвать безграничной, потому что у неё нет границ, – заявляет малыш.
– Другие предложения есть?
Конечно, есть. Весь класс тянет вверх ручонки, и нас поражают острота и индивидуальность видения и понимания того математического материала, с которым только что работали дети.
– Я назвал бы её циферблатной!..
– Бесконечной…
– Линейкой для цифр.
– Разве это цифры? – немедленно реагирует учитель. – Что такое цифры?
– Значки для обозначения чисел.
– Значит, как назвать?
– Линейкой для чисел.
– Многомерная линия.
– Числовая счётная линия.
– Прямочисленная линия.
– Она – рабочая линия.
– Числовая ось!..
– Что такое ось?
– Это линия, которая что-то на себе держит. Колёса, например. А здесь держит числа.
Учитель улыбается: молодцы!..
Ну как не восхититься образной детской мыслью, раскрепощённой поиском и радостью труда!
Найден не только точный термин, найдено определение красивое, разумное, ясное. Числовая ось держит числа!
В конце концов для него станет очевидным, что любой шаг на луче может соответствовать любому числу, которое он обозначит буквой, и тогда предыдущие и последующие числа будут отличаться на единицу в меньшую или большую сторону.
Но самое важное, что числовой ряд сразу возникает перед ним как бесконечный и поэтому обозначение и запись чисел становится проблемой, которую надо решать. Поиск ответа приведёт ребёнка к счёту группами. Например, десятками. А далее новая проблемная ситуация: как выйти за пределы 10 десятков. И перед глазами ребёнка раскрывается новая математическая реальность – система разрядов, в которой каждый последующий разряд содержит 10 единиц предыдущего.
Так всё более уточняется и обобщается исходное общее отношение между величинами, выражаемое числом, и способ его обнаружения детьми. И когда во втором классе наступает самый драматический момент всего начального курса обучения математике – переход к дробным числам, то для детей это не абсолютно новое явление, требующее пересмотра их прежних представлений о целых числах, а лишь дальнейшая конкретизация понятия числа.
Свойства дроби легко обнаруживаются детьми в уже привычной работе с разными мерками при одной и той же величине. Вначале они убеждаются, что любой остаток можно выразить числом при помощи новой единицы, меньшей, чем задана раньше. Но с двумя разными мерками работать неудобно, значит, надо соотнести их между собой, выразить остаток через старую мерку, которая берётся за целое.
При сравнении дробей с разными знаменателями детям становится очевидно, что увеличивая, например, знаменатель, мы берём меньшую часть старой единицы. Естественно, приходят они и к раскрытию основного свойства дроби: изменить мерку – это значит изменить и числитель и знаменатель в одно и то же число раз. Правило «если числитель и знаменатель изменяются в одно и то же число раз, величина дроби не изменяется» они, естественно, формулируют сами. Им нет необходимости искать его в учебнике. Правило – результат их мысли, действия, работы с понятием числа, которое всё более обретает черты подлинной научности.
Вот он, фундамент всего здания школьного математического образования, утверждает В. Давыдов. Целью такого образования является создание развёрнутой и полноценной концепции действительного числа, в основе которого лежит понятие о величине.
Мы убедились, как оригинально и последовательно решается первая задача: перевести житейские математические представления детей на рельсы научных понятий. Предмет математики – количественные отношения. Увести ребёнка от непосредственности восприятия, от конкретных тел в область математической абстракции, но чтобы он сохранил с ними живую, действительную связь, – вот задача, которую надо было решить в данном эксперименте.
