Начальный линейный рост дает оценку времени для эпохи антропогенеза — критической сингулярности в начале предыстории человечества, которая случилась:
T0 - T1 = π/2·Kτ = — τ√πN1/2 = 4,2 млн лет назад, (11)
если использовать известное значение N1 и одно и то же значение τ = 45 лет для сингулярности в далеком прошлом и в настоящем. Несмотря на сделанные упрощения, данная оценка вполне согласуется с оценками времени Т0 в антропологии.
Интересно определить полное число людей, живших на Земле. Если переставить переменные в (6) и проинтегрировать:
то получим число людей, живших от Т0 до нашего времени Т1 В оценках других авторов длительность поколения принята равной 20 годам, что ведет к оценке Р0,1 = 106 млрд [10]. Поэтому необходимо введение в (12) множителя 45/20 = 2,25:
Р0,1 = 2,25 К2 ln К = 90 млрд. (13)
Таким образом, в течение каждого из ln К = 11,0 выделенных периодов жило по 2,25 K2 = 8 млрд людей. Это число является инвариантным для числа людей, живших в экспоненциально сокращающихся циклах, а ln K указывает на число циклов.
Циклы можно получить, обобщая решение (6) в область комплексных переменных или же просуммировав экспоненциально сокращающиеся циклы:
ΔT = К τ ехр (-θ), (14)
где θ = |ln t| — номер цикла, определить длительность развития при К >> 1:
и сравнить ее с (11), где длительность равна Т1 - Т0 = π/2·Kτ = 1,571. В первом случае рост суммируется по гиперболической траектории, во втором — по (4) — N = K tan t/K.
Демографические циклы определяют периодичность развития всего человечества за 4–5 млн лет, включая проходящий по гиперболическому закону рост от конца антропогенеза до наших дней.
Для дальнейшего обзора результатов перейдем к переменной n = N/K:
когда мерой численности становится К. Тогда уравнения для роста приобретают симметричный вид и видно сопряжение переменных n и t. Смена зависимой переменной в (16а) и (16d) видна при прохождении перехода, когда n становится независимой переменной вместо времени t, что выражено в уравнении роста (3).
Рост населения можно иллюстрировать геометрическим построением функции тангенса:
где угол Δφ = τ отображает течение времени, а приращение населения ΔN = 1 (рис. 16).
Линейный рост будет продолжаться до φA,B = Кτ = 1 и NB = tan 1 в точке В на касательной АС. Дальнейший рост N = К(π/2 — φ)-1 будет проходить по гиперболе, при которой время асимптотически стремится к π/2, а население достигнет значения Nc = К2. Когда система приближается к моменту особенности, то от уравнения (16а) следует переходить к уравнению (16d), чтобы описать рост при прохождении особенности в течение эпохи С. Построение показывает, что после перехода от линейного к гиперболическому росту на эпоху В остается в два раза меньше времени, чем на начальную эпоху А. Вывод этого соотношения для всей эпохи В (см. рис. 19) построен при К = 7, когда время от Т0 до Т1 разделено на 11 интервалов, и поскольку к/2 = 1/7, то Nc = К2 =49. Однако даже при таком малом значения К, когда In K = In 1,95 дает хорошую оценку для числа демографических циклов, 1 + In К ≈ 3. Таким образом нулевой цикл антропогенеза продолжался 7 единиц времени, первый цикл длился 3 и последний — одну единицу времени. Это построение показывает, как дискретность времени и населения приводит к появлению периодичности роста, выраженной в демографических циклах как главных эпохах развития человечества.
Рис. 19. Построение функции тангенса, показывающее пределы асимптотик роста
Линейный рост описывает поведение системы вблизи начальной сингулярности роста, начинающейся с N0 = 1 и положительных значений N. Далее следует рост по гиперболе и в конце — сингулярность демографического взрыва. Построение, когда переменные n и t при прохождении перехода меняются местами, мы оставляем читателю.
На рис. 18 показаны функции, описывающие рост системы при К = 1, которые появляются при построении решения, начинающегося с сингулярности в эпоху А, переходящего затем в эпоху В гиперболического роста и завершающегося эпохой С. Асимптотический переход решений, описывающий рост в начале развития и на его конечном участке, получим, обратившись к рядам для функции cot (t/K) и cot-1(t/K):
Эти функции пересекаются в точке А, посередине роста при логарифмическом представлении между временем T0 и T1 соответствующей наступлению неолита:
под углом 2/(3K) практически гладко при больших значениях К.
Очевидно, что решение можно строить, отсчитывая время от T0 — от эпохи антропогенеза А при t0 = 0. Тогда, исключив t из (15с), получим одно автономное дифференциальное уравнение, описывающее рост в зависимости от состояния системы, которое определяется населением Земли и где последний член добавлен с тем, чтобы рост в эпоху А никогда не был меньше одного гоминида при Δt = τ.
Интегрируя (20) при значениях K > 1 и начальных условиях t0 = n0 = 0, получим решение:
Рис. 20. Функции F (t), описывающие рост
Это решение показывает симметрию переменных N и T — населения и времени. Для развития в течение эпохи В вдали от особенностей роста это выражено в (16в) и следует из сложности причинных связей в рамках развитых представлений о нелинейной динамике глобальной системы населения нашей планеты.
Для того чтобы выяснить устойчивость развития, следует обратиться к уравнению роста человечества (20). На основании (15) в линейном приближении устойчивость роста к возмущениям
δN = δN0 exp(λt) (22)
определит показатель Ляпунова λ развития неустойчивости в системе населения:
По этому критерию при λ > О движение неустойчиво до перехода. Только после него развитие системы становится асимптотически устойчивым и впредь таким и остается. Отметим, что в этих решениях значение констант роста К и τ не эволюционируют. Более полное определение устойчивости потребует введения распределений для n и обращения к методам статистической физики при обобщении развитой выше модели.
Рис. 21. Переходные процессы и устойчивость роста в линейном приближении
1 — логистический переход ν = 1/1+е-r; 2 — демографический переход η = 1/π соt-1 T и λ (ν).
При гиперболическом росте мгновенное значение экспоненциального роста равно древности,
что и определяет скорость процессов развития в момент времени Т.
В гиперболической хронологии мгновенный экспоненциальный масштаб времени роста линейной неустойчивости по Ляпунову зависит от древности и до демографического перехода равен удвоенному времени роста неустойчивости:
Te = 2τ/λ (25)
Однако наличие выделенных антропологами и историками демографических циклов указывает на глобальную устойчивость с малыми отклонениями системы от предельной траектории роста.
Наконец, из (15) следует, что после каждого цикла до демографического перехода остается приблизительно половина времени длительности цикла:
что вполне подтверждается данными истории и антропологии (см. табл. 2, с. 74).
* * *
Асимптотические решения для нелинейных задач приобретают, как заметил Я. Б. Зельдович, то же значение, что частные решения для линейных задач, где действует принцип суперпозиции. В нашей задаче автомодельные решения имеют асимптотический характер, при котором значение некоторых параметров оказываются несущественным, подобно тому как в частных решениях линейных задач происходит вырождение по некоторым параметрам. Так, частота колебаний в линейной задаче не зависит от их амплитуды.
В некоторых случаях независимость от параметра позволяет от уравнений в частных производных перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Именно это происходит в задаче о росте человечества, когда в нелинейном уравнении (6) можно пренебречь пространственным распределением населения, поскольку в первом приближении перемещение на конечной по размерам Земле — миграция населения — не влияет на само число людей.
В заключение заметим, что изложенная теория рассматривает задачу о росте и развитии демографической системы в асимптотическом приближении. Из этого следует, что в этом приближении ресурсы не влияют на глобальное взрывное развитие. Поэтому ограничение роста и переход к стабилизации населения мира обязаны внутренним процессам, выраженным в принципе демографического императива, и не подчиняется внешним, в первую очередь ресурсным факторам.
