Калаби утверждает, что, когда эта гипотеза впервые пришла ему в голову, «она совершенно не была связана с физическими представлениями. Это была чистая геометрия»[42]. Я не сомневаюсь в истинности его слов. Это утверждение могло бы быть точно так же сформулировано, даже если бы Эйнштейну никогда не приходила в голову идея общей теории относительности. И доказательство этой гипотезы могло бы быть получено, даже если бы теории Эйнштейна не существовало. Впрочем, я уверен, что в то время, когда Калаби сформулировал свою задачу — почти через сорок лет после публикации Эйнштейном его революционных статей, — теория Эйнштейна была уже широко распространена. Едва ли найдется хотя бы один математик, который никогда не размышлял над физическими идеями Эйнштейна, пусть даже без какой-либо определенной цели. К тому времени уравнения Эйнштейна прочно связали искривление пространства и гравитацию, глубоко пустив корни в математику. Можно сказать, что общая теория относительности стала частью коллективного сознания или, наоборот, «коллективного бессознательного», — как сказал бы Юнг.
Безотносительно к тому, сознательно или бессознательно Калаби затрагивал физические проблемы, связь между его гипотезой и вопросами гравитации стала для меня важнейшим побудительным фактором, чтобы приняться за эту работу. Я понял, что доказательство гипотезы Калаби может стать важным шагом на пути к раскрытию какой-то глубокой тайны.
Вопросы, подобные тому, который поставил Калаби, часто формулируют в терминах метрики или геометрии пространства — набора функций, который позволяет определить длину любой траектории в соответствующем пространстве, — с этим понятием мы впервые столкнулись в первой главе. Всякое топологическое пространство способно принимать множество различных форм и, следовательно, обладать множеством всевозможных метрик. Одно и то же топологическое пространство может иметь форму куба, сферы, пирамиды или тетраэдра — геометрических тел, эквивалентных с топологической точки зрения. Вопрос, который затрагивает гипотеза Калаби, относящийся к разновидностям метрики, допустимым в данном пространстве, может быть переформулирован следующим эквивалентным образом: какие из геометрических форм возможны для пространств данной топологии?
Конечно, Калаби не использовал в точности такие термины, когда выдвигал свою гипотезу. Его цель состояла в том, чтобы узнать, будет ли определенный вид комплексного многообразия, а именно пространство, являющееся компактным, то есть имеющим ограниченную протяженность, и «кэлеровым» — удовлетворяющим определенным топологическим условиям (имеющим определенную характеристику, известную как «обращение в нуль первого класса Черна»), — иметь риччи-плоскую метрику. Нужно признать, что все ключевые составляющие данной гипотезы весьма сложны для непосредственного восприятия, поэтому определение всех понятий, необходимых для понимания утверждения Калаби, таких как комплексные многообразия, геометрия и метрика Кэлера, первый класс Черна и кривизна Риччи, — потребует определенных усилий.
На протяжении данной главы всем этим понятиям будет дано объяснение. При этом основной идеей гипотезы является возможность — с математической и геометрической точек зрения — существования пространств, удовлетворяющих всему этому сложному набору требований.
Мне кажется, что такие пространства столь же редки, как алмазы, и гипотеза Калаби предоставляет карту, позволяющую их обнаружить. Зная, как решить уравнение для одного из многообразий и понимая общую структуру этого уравнения, при помощи той же идеи можно решить соответствующие уравнения для всех кэлеровых многообразий, удовлетворяющих заданным требованиям. Гипотеза Калаби предлагает существование общего правила, указывающего нам на то, что «алмазы» находятся именно в данном месте — или, иными словами, на то, что та метрика, которую мы ищем, существует. Даже если пока мы не способны увидеть ее во всей красе — мы не сомневаемся в том, что она действительно существует. Среди всех математических теорий эта казалась мне скрытым сокровищем — чем-то сродни неограненному алмазу.
Из этой идеи зародилась та работа, благодаря которой я получил сегодняшнюю известность. Можно сказать, что именно в этой работе я нашел свое истинное призвание. Вне зависимости оттого, в какой области мы работаем, мы все стремимся найти наше собственное призвание в жизни — то особое, для которого мы появились на этой земле. Для актера таким призванием может стать роль Стэнли Ковальски в пьесе Теннесси Уильямса «Трамвай “Желание”». Или заглавная роль в «Гамлете». Для пожарного это может быть победа над пожаром десятой категории сложности. Для криминалиста — поимка Врага Общества Номер Один. Ну а в математике найти свое призвание — значит найти ту задачу, работа над которой была предопределена тебе самой судьбой. Хотя, возможно, дело тут и не в судьбе. Может быть, достаточно просто наткнуться на задачу, которую ты можешь успешно решить.
Говоря откровенно, выбирая задачу для дальнейшей работы, я никогда особо не задумываюсь о том, какую роль в моей дальнейшей судьбе она может сыграть, напротив, в этих вопросах я стараюсь быть как можно более прагматичным. Моей целью является поиск новых направлений в математике, способных породить новые, неизвестные математические задачи, многие из которых и сами по себе будут интересны. Может оказаться и так, что меня заинтересует уже существующая проблема, если мне покажется, что ее решение может значительно раздвинуть горизонты той или иной области.
Гипотеза Калаби, известная к тому времени уже пару десятилетий, подходила именно под вторую категорию. Я обратил внимание на эту задачу на первом курсе аспирантуры, хотя порой мне казалось, что на самом деле это задача обратила на меня внимание. Ни одна из задач до того так не захватывала меня, как эта, поскольку я чувствовал, что ее решение может открыть дверь в совершенно новую область математики. Гипотеза Калаби отчасти затрагивала классическую проблему Пуанкаре, однако казалась мне более общей, так как из предположения Калаби следовало не только существование нового большого класса математических поверхностей и пространств, о которых до этого ничего не было известно, но и, возможно, она вела к новому пониманию пространства и времени. Для меня эта встреча с этой гипотезой была практически неизбежной: почти все дороги, по которым я двигался в своих первых исследованиях кривизны, неминуемо вели к ней.
Прежде чем приступить непосредственно к обсуждению доказательства данной гипотезы, необходимо для начала разобраться с упоминавшимися ранее понятиями, лежащими в ее основе. Гипотеза Калаби относится только к комплексным многообразиям. Понятие многообразия, как я уже говорил, аналогично понятию поверхности или пространства, но, в отличие от хорошо знакомых нам двухмерных поверхностей, многообразия могут иметь любую четную размерность, не обязательно равную двум. Ограничение по поводу четного значения размерности относится только к комплексным многообразиям, в общем случае многообразие может иметь как четную, так и нечетную размерность. По определению многообразия на малых или локальных участках имеют сходство с евклидовыми пространствами, но в больших, или так называемых глобальных, масштабах они демонстрируют заметное отличие. Так, к примеру, окружность представляет собой одномерное многообразие, и окрестность каждой из лежащей на ней точек можно уподобить отрезку прямой. Но в целом окружность совершенно не похожа на прямую линию. Теперь добавим еще одно измерение. Мы живем на поверхности сферы, которая представляет собой двухмерное многообразие. Взглянув на достаточно малый участок земной поверхности, можно обнаружить, что он имеет практически идеально плоскую форму как диск или фрагмент плоскости, несмотря на то что в целом эта поверхность искривлена и, следовательно, неевклидова. Если теперь выбрать на поверхности участок значительно большего размера, то отклонение от евклидовости станет очевидным, что приведет к необходимости сделать поправки на кривизну.
Одной из важных особенностей многообразий является их гладкость. Это свойство прямо вытекает из их определения, поскольку из сходства каждого малого участка поверхности с евклидовым пространством напрямую следует гладкость поверхности во всех точках. Геометры говорят о гладкости многообразия даже в том случае, если оно имеет некоторое количество «странных» точек, в которых условие локальной евклидовости не выполняется — например, точка пересечения двух линий. Такие точки носят название топологических сингулярностей, поскольку их в принципе невозможно сгладить. Вне зависимости то того, насколько мала выбранная вокруг такой точки окрестность, пересечение все равно останется пересечением.
