Первоначальное образование Чебышев получил дома. Шестнадцати лет он уже был студентом математического отделения философского факультета Московского университета. В 1841 году за сочинение «Вычисление корней уравнений» П. Л. Чебышев награждается серебряной медалью. Он был до того поглощен своей математикой и механизмами, что некоторые задачи решал на ходу и даже, как он сам признавался, сидя в театре, когда слушал музыку или смотрел театральное представление.
Университет П. Л. Чебышев окончил двадцатилетним юношей. Двадцати пяти лет защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». Через год он принял предложение работать на кафедре Петербургского университета. В 1849 году Чебышев защитил докторскую диссертацию «Теория сравнений», составившую одну из важных глав современной теории чисел. В 1853 году за свои выдающиеся заслуги в области науки П. Л. Чебышев избирается адъюнктом Петербургской академии наук, а в 1859 году — ординарным академиком.
Слава Чебышева как крупнейшего ученого-математика была настолько велика, что он был избран почетным членом многих академий, университетов и научных обществ, русских и заграничных.
Академик П. Л. Чебышев является основателем петербургской математической школы. Характерные особенности этой школы — смелое дерзание в науке и самая тесная связь математических теорий с практикой. Эта школа покрыла русскую науку неувядаемой славой. Лучшие ученики Чебышева (А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А. Марков, Г. Ф. Вороной, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, А. Н. Крылов, С. Н. Бернштейн и другие) стали учеными с мировым именем.
П. Л. Чебышев, как член Ученого комитета по математическим наукам, принимал самое деятельное участие в постановке преподавания математики в России. Эта его работа характеризуется стремлением к точности и строгости изложения в учебниках для средней школы, а также требованием наиболее полно представлять курс элементарной математики.
П. Л. Чебышеву принадлежит несколько открытий в области теории чисел, в частности исследование о распределении простых чисел в натуральном ряду.
Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) доказал теорему о бесконечности ряда простых чисел, т. е. показал, что не существует в этом ряду наибольшего простого числа. Это предложение известно под названием «теоремы Евклида».
Вопрос о том, по каким законам распределены простые числа во всем натуральном ряду, сколь правильно и как часто, оставался без ответа более двух тысяч лет, хотя им занимались крупнейшие математики мира, в том числе Эйлер и Гаусс.
До Чебышева вопросы распределения простых чисел решались экспериментально, путем наблюдений и не всегда обоснованных предположений. Таким образом французский математик Лежандр (1752–1833) установил, что в пределах первого миллиона число простых чисел, меньших п, приблизительно равно
где In п означает логарифм при основании е = 2,71828… Далее Лежандр без всякого основания предположил, что указанное соотношение имеет место и при больших, чем миллион, значениях п. Французский математик Бертран (1822–1900) высказал гипотезу, что между п и 2n, где п — любое целое число, большее единицы, находится, по крайней мере, одно простое число.
Основоположником строгой теории распределения простых чисел является П. Л. Чебышев. Его открытия в этом направлении — подлинный триумф русской математической мысли. Чебышев строгими логическими рассуждениями доказал, что указанная выше формула Лежандра, установленная опытным путем в пределах первого миллиона, является необоснованной и неверной за пределами этого миллиона. Далее Чебышев доказал упомянутую выше гипотезу Бертрана и тем самым установил совершенно строгое предложение, относящееся к закону распределения простых чисел в натуральном ряду. Кроме того, П. Л. Чебышев доказал, что если п(п) — функция, выражающая число простых чисел, меньших п, то выражение
при не может иметь предела, отличного от 1.
В 1896 году, уже после смерти П. Л. Чебышева, французский ученый Адамар и бельгийский математик Валле Пуссен, пользуясь аппаратом теории функций комплексного переменного, независимо друг от друга доказали, что
Таким образом, для достаточно больших п можно приближенно считать:
Научные открытия П. Л. Чебышева в области теории чисел трудно переоценить, они принесли славу русской математической науке и оказали огромное влияние на научное творчество многих выдающихся ученых на родине и за рубежом.
Но не только одной теорией чисел занимался Чебышев. Он много сделал, например, в области математического анализа. Здесь он создал совершенно новый раздел, известный под названием «Теория наилучшего приближения функций многочленами». Ряд выдающихся работ Чебышева относится к теории вероятностей и другим математическим дисциплинам.
П. Л. Чебышев большое внимание уделял вопросам связи научной теории с практикой. Помимо больших теоретических трудов, Чебышев написал ряд работ прикладного значения, например: «Об одном механизме», «О зубчатых колесах», «О простейших сочленениях (механизмах)», «О построении географических карт», «О кройке платья» и т. д. О взаимосвязи теории с практикой Чебышев говорил неоднократно. С особой силой по этому вопросу он высказался в своей работе «Черчение географических карт». Вот его слова: «Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высокую ступень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике»[53].
«Гений Чебышева представляет собой исключительный образец соединения практики с творческой обобщающей силой отвлеченного мыслителя-математика. Практические запросы превращались им в соответствующую математическую теорию, представляющую новое открытие в области чистой науки, эта же последняя не оставалась в области чистой мысли, а воплощалась в реальную действительность: в различного рода машины, которые служили как бы вещественным осуществлением его теоретических достижений»[54].
Софья Васильевна Ковалевская (1850–1891)
Детство свое Софья Ковалевская провела в селе Палибино, Витебской губернии, в имении своего отца. Дом, в котором она жила, окружал огромный парк, переходивший в лес. Впечатлительная Софа, как нежно звали ее родители, любила бродить по тропинкам парка. Казалось, эти малоисхоженные стежки могли увести на край света, в сказочное царство, оде нет холодной зимы и дождливой осени.
Иногда во время прогулок по лесу Софа глубоко задумывалась. Тихо садилась на траву и подолгу смотрела на верхушки огромных сосен. Взгляд ее уходил далеко-далеко в небо, туда, где по ночам мерцали звезды. О чем она думала в те минуты? Трудно сказать. Может быть, о кольце Сатурна, которому позднее посвятила свое знаменитое сочинение; может быть, о вращении Земли и других планет.
Но чтобы решить проблему небесной механики, надо в совершенстве знать математику. Да, она изучит эту таинственную и всесильную науку и с помощью ее познает тайны мироздания.
С. В. КовалевскаяПервым ее учителем по высшей математике была стена. Да, да! Не удивляйтесь, самая обыкновенная стена детской комнаты, оклеенная пожелтевшими листами литографированного курса высшей математики М. В. Остроградского, по которому когда-то учился сам отец, ныне отставной артиллерийский генерал. Софа подолгу стояла у этой загадочной стены, стараясь разобрать символы высшей математики, неведомый ей язык дифференциального и интегрального исчисления. Она по-своему раскрывала их содержание и запоминала на долгие годы. Для понимания некоторых формул понадобилась тригонометрия, которую она постигла самостоятельно по учебнику физики Н. П. Тыртова, подаренному отцу самим автором.
Профессор Тыртов был частым и желанным гостем отставного генерала. Как-то он заметил, как юная Софа подолгу сидит за его учебником физики, силясь что-то понять и осмыслить.
