Держа в голове все вышесказанное, я попытался в свободное от работы время найти контрпримеры к гипотезе Калаби. Были волнующие мгновения: мне казалось, что я наконец нашел направление атаки, позволяющее опровергнуть эту гипотезу, — однако позже я обнаруживал изъяны в моей, вроде бы безупречной, конструкции. Это происходило неоднократно. В 1973 году на меня снизошло озарение. На этот раз я чувствовал, что действительно напал на верный путь. Подход, который я избрал — доказательство от противного, — был аналогичен тому подходу, который мы с Ричардом Шоном использовали для доказательства гипотезы о положительности массы. И на этот раз я мог поручиться за безупречность своего доказательства.
Так совпало, что эта идея пришла мне в голову во время международной конференции по геометрии, которая проходила в Стэнфорде в 1973 году, на которой Герох затронул вопрос о гипотезе положительности массы. Принято считать, что конференции — это отличный способ оставаться в курсе событий, как в своей, так и в смежных и даже очень далеких областях исследований, и эта конференция не была исключением. Она стала для меня прекрасным местом для обмена идеями с коллегами, которых я не имел возможности видеть ежедневно. Впрочем, не так уж часто бывают конференции, на которых ты решаешься изменить направление своей деятельности. Причем дважды.
Общаясь со своими коллегами на протяжении конференции, я случайно упомянул, что нашел возможный способ раз и навсегда опровергнуть Калаби. После непродолжительных уговоров я согласился посвятить один из вечеров неофициальному обсуждению своей идеи, хотя уже запланировал несколько официальных докладов. На мое выступление собрались порядка двадцати человек — и атмосфера была весьма накалена. Когда же я закончил изложение своих идей, все, казалось, согласились с моей аргументацией. Калаби также присутствовал и не высказал совершенно никаких возражений. Мне вынесли личную благодарность, объявив, что своим докладом я внес большой вклад в программу конференции, и впоследствии я весьма гордился этим.
Спустя несколько месяцев Калаби связался со мной, попросив прислать ему мое опровержение его гипотезы, поскольку он «ломал голову» над некоторыми деталями моих рассуждениях. Это побудило меня засесть за более строгое доказательство. Получив письмо Калаби, я почувствовал необходимость повторить весь ход своих рассуждений еще раз. Я работал очень усердно, на протяжении двух недель практически не оставляя времени даже на сон, чем почти довел себя до состояния нервного истощения. Всякий раз, когда мне казалось, что доказательство уже почти у меня в руках, в последнюю секунду все рассыпалось буквально у меня на глазах, причем самым обидным образом. После двухнедельного мучения я решил, что с моими рассуждениями что-то не так. Единственным выходом было сдаться и попробовать начать работу в противоположном направлении. Иными словами, я пришел к выводу о том, что гипотеза Калаби должна быть истинной. Это поставило меня в весьма любопытное положение: после изнурительных попыток доказать ошибочность утверждения Калаби мне теперь предстояло доказывать его истинность. А если гипотеза верна, то все, что из нее следует, все, что слишком хорошо, чтобы быть правдой, — действительно должно быть правдой.
Доказательство гипотезы Калаби подразумевало доказательство существования риччи-плоской метрики, а это означало решение уравнений в частных производных. Не просто любых дифференциальных уравнений в частных производных, а очень нелинейных уравнений определенного типа: комплексные уравнений Монжа-Ампера.
Уравнения Монжа-Ампера получили свое название в честь французского математика Гаспара Монжа, который начал изучать уравнения такого рода во времена Французской революции, и французского физика и математика Андре-Мари Ампера, продолжившего работу над ними несколько десятилетий спустя. Работать с этими уравнениями далеко не просто.
В качестве простейшего примера из повседневной жизни, поясняющего идеи Калаби, рассмотрим плоский пластичный лист с фиксированным периметром. Предположим теперь, что этот лист либо растягивается, либо сжимается. Вопрос в следующем: как в процессе сжатия или растяжения изменяется форма листа? Растяжение средней части листа приводит к возникновению на нем выпуклости с положительной кривизной, и соответствующее решение уравнения Монжа-Ампера будет принадлежать к эллиптическому типу. И наоборот, если внутренняя часть листа сжимается, то поверхность приобретает форму седла с отрицательной кривизной во всех своих точках, — решение будет гиперболическим. Наконец, если кривизна окажется равной нулю во всех точках, то можно ожидать решения параболического типа. Всем трем случаям будет соответствовать одно и то же уравнение Монжа-Ампера, но, как указал Калаби, «решать его необходимо совершенно разными методами».[47]
Из трех перечисленных типов дифференциальных уравнений лучше всего мы умеем решать и анализировать уравнения эллиптического типа. Эллиптические уравнения относятся к простейшему — стационарному случаю, в котором рассматриваемые объекты неподвижны в пространстве и времени. Они описывают физические системы, не изменяющиеся с течением времени, такие как барабан, мембрана которого после остановки колебаний вернулась в состояние равновесия. Кроме того, решения эллиптических уравнений считаются наиболее простыми для понимания, поскольку соответствующие им графики являются гладкими и при их анализе проблемы с сингулярностями возникают весьма редко, хотя появление сингулярностей в решениях некоторых нелинейных эллиптических уравнений не исключено.
Гиперболические дифференциальные уравнения описывают процессы, подобные волнам или колебаниям, которые никогда не достигают равновесного состояния. Решения таких уравнений, в отличие от решений эллиптических, обычно обладают сингулярностями, и работать с ними намного сложнее. Если с линейными гиперболическими уравнениями, в которых изменение одной переменной приводит к пропорциональному изменению другой, мы уже научились управляться достаточно хорошо, то каких-либо эффективных инструментов для работы с нелинейными гиперболическими уравнениями, а именно для управления возникающими в них сингулярностями, попросту не существует.
Параболические уравнения лежат примерно где-то посередине. Они описывают стабильные физические системы, такие как колеблющаяся барабанная мембрана, которые только стремятся к равновесию, но на данный момент еще его не достигли, что привносит в физическую картину зависимость от времени. Эти уравнения менее склонны к сингулярностям, чем гиперболические, и сгладить их гораздо легче, что с точки зрения сложности решения опять-таки ставит их где-то между эллиптическими и гиперболическими.
Но существуют и еще более серьезные математические проблемы. Тогда как простейшие уравнения Монжа-Ампера содержат только две переменные, в более сложных случаях количество переменных значительно больше двух. Эти уравнения выходят за рамки гиперболических — их иногда называют ультрагиперболическими, и о их возможных решениях мы знаем еще меньше. Как заметил Калаби: «Мы понятия не имеем об этих других решениях, лежащих за пределами трех известных нам, поскольку мы совершенно не способны представить соответствующую им физическую картину».[48] Из-за неодинаковой сложности трех типов уравнений в геометрическом анализе на сегодняшний день используются в основном либо эллиптические, либо параболические уравнения. Конечно, мы заинтересованы во всех трех типах уравнений, и существует множество интереснейших задач, связанных с гиперболическими уравнениями, например уравнения поля Эйнштейна, но обратиться к их решению нам мешает отсутствие необходимых для этого инструментов.
Уравнения, используемые в гипотезе Калаби, были нелинейными эллиптическими. Несмотря на связь этих уравнений с гиперболическими уравнениями поля Эйнштейна, гипотеза Калаби основана на несколько иных геометрических структурах. В рассматриваемом нами случае мы предполагаем, что время в нашей задаче остановилось, почти как в известной сцене из «Спящей красавицы», где на протяжении сотни лет никто и ничто не может сдвинуться с места. Благодаря этому допущению в доказательстве гипотезы Калаби можно было использовать эллиптические уравнения, устранив зависимость от времени. Это стало причиной, по которой я надеялся на то, что инструменты геометрического анализа — и в том числе те, о которых уже было сказано выше, — смогут быть с успехом использованы для решения нашей задачи.
Впрочем, даже имея в своем распоряжении все необходимые инструменты, мне предстояло проделать немалую подготовительную работу. Частично это было обусловлено тем, что никто до меня не решал комплексные уравнения Монжа-Ампера для случая более чем одного измерения. Как альпинист, постоянно стремящийся к покорению новых высот, я стремился к покорению более высоких размерностей. Чтобы подготовить себя к схватке с многомерным уравнениям Монжа-Ампера, нелинейность которых сама собой подразумевалась, мы с моим другом Ш. Ченгом принялись за исследование различных многомерных случаев, начав с задач в вещественных числах с целью впоследствии перейти к более сложным комплексным уравнениям.
