Однако в истинном квантово-механическом описании мира постоянная Планка есть фиксированная, ненулевая величина. Именно это число характеризует неопределенность. В принципе любая отдельная величина может быть точно известна. Иногда физики, чтобы описать ситуацию, когда некоторая величина точно измерена и поэтому принимает точное значение, говорят о коллапсе волновой функции. Слово «коллапс» относится к форме волновой функции, которая уже не размыта, а принимает ненулевое значение в одном конкретном месте, так как вероятность получения при последующем измерении любого другого значения равна нулю. В этом случае, когда одна величина измерена точно, соотношение неопределенностей утверждает, что после измерения вы не можете знать вообще ничего о другой величине, образующей пару с измеренной величиной в соотношении неопределенностей. Вы получите бесконечную неопределенность значения этой другой величины. Конечно, если бы вы сначала измерили вторую величину, то первая величина стала бы для вас неизвестной. Иными словами, чем точнее вы знаете одну из величин, тем менее точным должно быть измерение другой.
Я не буду в этой книге углубляться в подробный вывод соотношения неопределенностей, однако попытаюсь тем не менее дать представление о его происхождении. Так как это несущественно для последующего изложения, вы можете сразу перейти к следующему разделу. Но, может быть, кому-то из вас захочется чуть больше узнать о тех рассуждениях, которые лежат в основе соотношения неопределенностей.
В этом выводе мы сосредоточимся на соотношении неопределенностей время — энергия, которое чуть легче объяснить и понять. Это соотношение связывает неопределенность энергии (и следовательно, согласно гипотезе Планка, частоты) с интервалом времени, характерным для скорости изменения системы. Иными словами, произведение неопределенности энергии и характерного времени изменения системы всегда будет больше постоянной Планка h.
Физическая реализация соотношения неопределенностей время — энергия возникает, например, когда вы включаете в комнате лампу и слышите помехи в находящемся рядом радиоприемнике. Включение света генерирует радиочастоты в большом интервале. Происходит это потому, что ток, идущий по проводам, изменяется очень быстро, так что интервал энергии (следовательно, частоты) должен быть большим. Ваш радиоприемник ловит эти частоты как радиопомехи.
Чтобы понять происхождение соотношения неопределенностей, рассмотрим совершенно другой пример — протекающий водопроводный кран[71]. Мы покажем, что для точного определения скорости протечки крана нужен длительный процесс измерения, и это очень похоже на то, что утверждает соотношение неопределенностей. Кран и вода, идущая через него, содержат много атомов и являются слишком сложной системой для того, чтобы проявлять наблюдаемые квантово-механические эффекты, — они подавляются классическими процессами. Тем не менее верно, что для более точного определения частоты требуются более долгие измерения, а в этом и состоит суть соотношения неопределенностей. Квантово-механическая система делает еще шаг вперед в рассмотрении этой взаимозависимости, так как для тщательно приготовленной квантово-механической системы энергия и частота связаны между собой. Так, для квантово-механической системы связь между неопределенностью частоты и длительностью времени измерения (подобная той, которую мы собираемся рассмотреть) переводится в истинное соотношение неопределенностей между энергией и временем.
Предположим, что вода капает со скоростью примерно одна капля в секунду. С какой точностью можно измерить скорость вытекания воды, если точность вашего секундомера равна одной секунде, т. е. его показания могут отличаться от точных не более чем на одну секунду? Если вы подождете одну секунду и увидите одну каплю, вы можете подумать, что вправе сделать вывод, будто кран капает со скоростью одна капля в секунду.
Однако, так как ваш секундомер может показывать время с точностью одна секунда, ваше наблюдение не позволит точно установить, сколько времени проходит, пока кран капнет. Если ваши часы один раз тикнули, прошедшее время может быть чуть больше одной секунды, или почти равняться двум секундам. В какой же момент времени между одной и двумя секундами вы должны считать, что кран капнул? Без более точного секундомера или без увеличения времени измерений ответа не найти. С имеющимися у вас часами вы можете заключить, что капли падают со скоростью в интервале от одной капли в секунду до одной капли в две секунды. Если вы заявите, что кран капает один раз в секунду, вы можете по существу сделать 100 %-ную ошибку в своих измерениях. Иначе говоря, вы можете ошибиться в два раза.
Но предположим, что вы ждете 10 секунд, осуществляя свое измерение. Тогда за время, пока ваши часы тикнули 10 раз, из крана капнули 10 капель. Если пользоваться вашим плохим секундомером, точность которого равна 1 секунде, все, что вы можете утверждать, это то, что время, которое потребовалось на появление 10 капель, находится в интервале от 10 до 11 секунд. Ваше измерение, которое опять приведет к утверждению, что капли падают примерно по одной в секунду, будет теперь иметь ошибку лишь 10 %. Это происходит потому, что, ожидая 10 секунд, вы можете измерить частоту появления капель с точностью 1/10 секунды. Обратите внимание, что произведение времени вашего измерения (10 секунд) и неопределенности в частоте (10 % или 0,1) примерно равно 1. Заметьте также, что произведение неопределенностей в частоте и времени для измерения в первом примере, когда ошибка в измерении частоты (100 %) больше, но измерение занимает меньшее время (1 секунда), также порядка 1.
Можно было бы продолжать в том же духе. Если вы совершаете измерение в течение 100 секунд, вы можете измерить частоту падения капель с точностью 1 капля за 100 секунд. Если вы совершаете измерение в течение 1000 секунд, вы можете измерить частоту падения капель с точностью 1 капля за 1000 секунд. Во всех этих случаях произведение интервала времени, в течение которого вы производите измерение, и точности, с которой вы измеряете частоту, примерно равно 1[72]. Для более точного измерения частоты требуется большее время. Это утверждение лежит в основе соотношения неопределенностей между временем и энергией. Вы можете более точно измерить частоту, но для этого нужно проводить измерения дольше. Произведение времени и неопределенности в частоте всегда порядка 1[73].
Чтобы завершить вывод нашего упрощенного соотношения неопределенностей, заметим, что если вы рассматриваете достаточно простую квантово-механическую систему, например отдельный фотон, ее энергия будет равна постоянной Планка h, умноженной на частоту. Для такого объекта произведение интервала времени, в течение которого вы производите измерения энергии, и неточности в энергии всегда будет превышать h. Вы можете измерить энергию системы с любой желаемой точностью, но ваш эксперимент будет длиться соответственно большее время. Это то же самое соотношение неопределенностей, которое мы только что вывели; дополнительный трюк — всего лишь соотношение квантования, связывающее энергию и частоту.
Два важных значения энергии и что о них говорит соотношение неопределенностей
Мы почти завершили наше введение в основы квантовой механики. В этом и следующем разделах мы рассматриваем два оставшихся элемента квантовой механики, которые будут использоваться в дальнейшем.
В этом разделе не содержится никаких новых физических принципов, а представлено одно важное приложение соотношения неопределенностей и специальной теории относительности. Рассматриваются соотношения между двумя важными значениями энергии и наименьшими масштабами длины физических процессов, которые могут чувствовать частицы с такими энергиями. Физики каждодневно используют эти соотношения. В следующем разделе мы введем спин, бозоны и фермионы — понятия, которые появятся в следующей главе, посвященной Стандартной модели физики частиц, и далее, когда мы будем рассматривать суперсимметрию.
Соотношение неопределенностей для положения и импульса утверждает, что произведение неопределенностей положения и импульса должно быть больше, чем постоянная Планка. Оно утверждает, что нечто, будь то пучок света, частица или любой другой объект или система, которые вы можете представить, чувствительное к физическим процессам, происходящим на малых расстояниях, должно включать большой интервал импульсов (так как неопределенность импульса должна быть весьма велика). В частности, любой объект, чувствительный к таким физическим процессам, должен включать очень большие импульсы. Согласно специальной теории относительности, когда велики импульсы, то велики и энергии. Комбинация этих двух фактов указывает, что единственный способ исследования малых расстояний — использование для этого больших энергий.
