Это похоже на попытки расстелить некий странный квантовый ковер: каждый раз, как мы фиксируем край ковра, соответствующий положению, его импульсный край задирается; стоит нам зафиксировать импульсный край, как другой край ковра уходит со своего места.
Чтобы разобраться в этой упругой связи между положением и импульсом, вернемся к нашему щелевому экрану. Мы изучали странное поведение частицы, направленной на экран, в котором прорезаны две щели. А вот странные отношения между положением и импульсом проявляются в поведении частицы, пролетающей через одиночную щель. Мы уже отмечали, что при пролете частиц через одиночную щель возникает некоторая диффузия. А почему, собственно, один электрон, пролетающий через щель, вообще должен отклоняться? Если электрон – точечная частица, почему же он не пролетает прямо через щель? Как можно объяснить распределение его возможных положений после пролета через щель? Наблюдаемую в этом случае диффузию объясняет именно балансирование между знанием положения и знанием импульса.
Установим источник электронов на большом расстоянии от экрана: тогда, если электрон пролетает через щель, он заведомо не может сместиться в направлении, перпендикулярном щели. Это означает, что, если частица попадает в щель, мы знаем, что ее импульс в этом направлении равен нулю. То есть его значение нам известно точно.
Если считать электрон точечной частицей, то он либо пролетает через щель, не задевая экрана, либо не пролетает. Если он пролетает через щель, мы получаем информацию о его положении, точность которой определяется шириной щели. То есть теперь можно предсказать, в какое место детектора он попадет. Поскольку до попадания электрона в щель импульс в направлении, перпендикулярном ей, был нулевым, электрон должен попасть в участок детектора, ширина которого точно равна ширине щели. Почему же при пропускании через щель все большего числа электронов мы получаем ту же диффузионную картину, которая возникает при попадании волн на пластину детектора? Почему не все электроны прилетают на участок, ширина которого равна ширине щели?
Принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что любое измерение, касающееся точного определения положения электрона, порождает неопределенность значения его импульса. Так, например, если электрон пролетел через щель, то его положение известно нам с точностью, определенной шириной щели. По мере уменьшения ширины щели уменьшается и погрешность определения положения. Но диффузионный рисунок становится при этом все шире и шире. Почему? Потому, что это влияет на величину импульса. Если при подлете к щели импульс в направлении, перпендикулярном ей, был равен нулю, то после вылета электрона из щели его положение определено более точно, а его импульс становится неопределенным. Мы зафиксировали край квантового ковра, отвечающий за положение, и его импульсный край от этого задрался.
Очень странная ситуация. Более того, нельзя вычислить заранее, каким именно будет воздействие на импульс. Его можно только измерить впоследствии. Нам доступен только диапазон возможных значений, в пределах которого будет найден импульс при наблюдении. К тому же, если повторить тот же опыт, оказывается, что импульс не определяется условиями эксперимента. Для определения возможного значения импульса имеется только вероятностный механизм.
Численное выражение неопределенности
Принцип неопределенности Гейзенберга дает не просто расплывчатое утверждение общего характера, но численную меру потери знания. Если положение электрона известно с высокой точностью, то его импульс в момент вылета из щели не будет точно равен нулю, а может статистически варьироваться вокруг равного нулю среднего значения. Мы не можем знать, какое значение мы получим при измерении импульса, так как оно все еще неопределенно, но знаем, что возможные значения импульса должны быть статистически распределены по обе стороны от нулевого среднего значения. Можно измерить ширину такого распределения, которую называют стандартным отклонением импульса и обозначают Δp. Эта величина является статистической мерой разброса возможных значений. Чем больше этот разброс, тем больше значение Δp и тем более неопределенно значение импульса.
После того как в 1927 г. появилась исходная статья Гейзенберга, описывающая эту странную обратную связь между знанием положения и знанием импульса, Эрл Кеннард, а позднее Говард Робертсон нашли математическое выражение такого балансирования знаний. Если стандартное отклонение разброса возможных положений равно Δx, а стандартное отклонение разброса возможных значений импульса – Δp, то эти две величины удовлетворяют следующему неравенству:
где h – постоянная Планка, то же число, которое встречалось нам в объяснении энергии фотона. Эта формула утверждает, что если погрешность измерения положения, равная Δx, уменьшается, то для сохранения справедливости соотношения должна увеличиться погрешность измерения импульса, равная Δp. Математическим следствием из квантовой физики является тот факт, что чем точнее полученное знание о положении частицы, тем более возрастает диапазон ее возможного распределения импульса. Именно это и происходит при пролете электрона через одиночную щель.
Взаимосвязанная природа этих двух свойств вытекает из значимости порядка, в котором проводятся измерения. Акты измерения положения и импульса описываются математически двумя операциями, которые, будучи произведены в разных последовательностях, дают разные результаты. Эту идею можно проиллюстрировать при помощи все той же игральной кости. Предположим, кость лежит на столе так, что верхней оказывается грань с единицей, как показано на рисунке. Повернем кубик на четверть оборота вокруг вертикальной оси, проходящей через верхнюю грань, а затем – на четверть оборота вокруг горизонтальной оси, проходящей вокруг одной из боковых граней. Теперь на верхней грани оказалась пятерка. Но если вернуть кость в исходное положение и повторить те же движения, но в обратном порядке, результат получится иным. Теперь верхней оказывается грань с четверкой.
Любые измерения, обладающие этим свойством – что порядок, в котором производят соответствующие им математические операции, имеет значение, – порождают принцип неопределенности. Он попросту является математическим следствием свойства, называемого некоммутативностью.
Именно математика, лежащая в основе квантовой физики, в значительной степени ответственна за ее противоречие здравому смыслу. Когда я зарываюсь в книги и статьи по квантовой физике, мне кажется, что я вхожу в лабиринт. Перед началом путешествия мне казалось, что я знаю, где нахожусь. Затем я стал прокладывать свой логический маршрут через изгибы и повороты лабиринта, используя свои математические навыки. Мне приходится полагаться на математику, потому что стены лабиринта так высоки, что не позволяют мне даже догадываться о том, какой мир лежит за ними. Но когда математика выводит меня на другую сторону и я пытаюсь разобраться, куда я попал, окружающая меня местность выглядит совершенно непохожей на то место, с которого я начал свой путь.
С математикой-то все в порядке: трудность представляет интерпретация результатов, которые она выдает. Создается такое впечатление, что у меня нет языка, который позволил бы перевести то, что эта математика сообщает нам о реальности. Может быть, мои затруднения не реальны, а порождены ограничениями, которые накладывают старый язык и старые теории. Квантовая физика – это кроличья нора, и, упав в нее, мы должны кардинально изменить свою точку зрения и сформулировать новый язык, который позволил бы нам уверенно путешествовать по этому зазеркальному миру. И, нравится нам это или нет, этот язык – математика.
Но можно ли доверять математике? Выведенное из теории поведение, предсказанное математикой принципа неопределенности Гейзенберга, было подтверждено экспериментально. Американский физик Клиффорд Шалл описывает в статье, опубликованной в 1969 г., результаты обстрела нейтронами щели с уменьшающейся шириной. Как и предсказывала теория, увеличение точности определения положения нейтронов, обеспечиваемое уменьшением ширины щели, приводило к росту разброса возможных значений их импульса. И, когда нейтроны долетали до пластины детектора, наблюдалось распределение, стандартное отклонение которого точно соответствовало предсказаниям уравнения принципа неопределенности Гейзенберга.
Простой акт более точного определения положения нейтрона привел к потенциальному изменению его импульса. Принцип неопределенности Гейзенберга выражает в виде уравнения тот факт, что мы никогда не сможем знать всего. Увеличение знания неизбежно достается нам ценой соответствующего увеличения незнания.
