Рис. 2. Население мира от 2000 г. до н. э. до 3000 г.
1 — население мира от -2000 г. до нашего времени; 2 — взрывной режим, ведущий к обострению процесса роста численности населении мира; 3 — демографический переход; 4 — стабилизация населения; 5 — Древний мир; 6 — Средние века; 7 — Новая и 8 — Новейшая история, ↑ — пандемия чумы 1348 г., ↑↓ — разброс данных; о — N (1995) = 5,7 млрд; N∞ = 11,4 млрд. Если представить всю длительность развития человечества во временном масштабе данного графика от времени антропогенеза, то 5 млн лет назад находится в 100 м влево. Это указывает на то, как неравномерно течение исторического времени, вследствие чего длительность эпох сокращается по мере приближения к моменту демографического перехода и стабилизации населения мира.
Для этого посмотрим, как за последние 4000 лет росла численность человечества (см. рис. 2). Эту картину развития человечества мы представим на полулогарифмической сетке, где течение времени T показано на линейной шкале, а рост населения мира N — на логарифмической шкале, поскольку население за 4000 лет возросло в 100 раз. На графике видно, как вблизи 2000 г. население мира внезапно устремляется в бесконечность демографического взрыва, который так озадачил демографов.
Рис. 3. Линейный рост — А, экспоненциальный рост — В и гиперболический рост — С
Поэтому для описания роста человечества рассмотрим три основных траектории развития (см. рис. 3). Первым показан линейный рост А, где численность населения N растет пропорционально времени Т и скорость роста постоянна. График линейного роста лучше всего отображать на линейной сетке для времени и численности населения. При экспоненциальном росте В скорость уже пропорциональна самой численности населения и в этом случае появляется характерное для роста время. В математике обычно принято обращаться ко времени Te для экспоненциального роста системы в е раз, где е = 2,72 — основание натуральных логарифмов. Часто прибегают к более наглядному времени удвоения Т2 = 0,7 Те, которое на 30% меньше Т. На полулогарифмической сетке экспоненциальный рост отображается прямой, на которой время представлено на линейной, а население — на. логарифмической шкале. Если бы население мира росло экспоненциально, то на рис. 2 такой рост отображался бы прямой, чего заведомо нет ни на одном этапе роста.
Рост человечества происходит совершенно иначе. Мы видим, как медленный в начале рост все ускоряется и по мере приближения к третьему тысячелетию устремляется в бесконечность демографического взрыва, и это происходит в конечное время около 2000 г. Такой процесс отражает гиперболический график роста С. Эта закономерность, для которой также нет характерного времени роста, представляет для нас основной интерес, поскольку данные для населения мира за миллион лет с удивительной точностью описываются формулой:
где С = 200 млрд — постоянная с размерностью [человек × годы], а время выражено в годах. Следует отметить, что указанный закон роста очевидным образом возникает при первых попытках описать данные по росту человечества. Поэтому неудивительно, что к нему приходили в разное время разные исследователи. Одним из первых был Маккендрик, на что автору указал Натан Кейфиц. Затем к этому выражению в 1960 г. обратились американский инженер Форстер и немецкий физик Хорнер. Последний рассматривал возможность справиться со взрывным уходом численности населения на бесконечность путем распространения человечества на другие планеты Солнечной системы.
С Хорнером я впервые встретился на Международном конгрессе по астронавтике в Дрездене, где я выступал с пленарным докладом по глобальным проблемам, и он рассказал о своих идеях. Это заседание особенно запомнилось, так как оно проходило в дни объединения двух Германий в октябре 1991 г.
Заметим также, что к указанной закономерности обратился советский астрофизик И. С. Шкловский в 6-м посмертном издании замечательной книги «Вселенная, жизнь, разум» [13]. На основании этой модели он пришел к выводу, что рост определяется и ограничивается социальными и ресурсными, а не биологическими факторами. Эти работы показывают всю широту и сложность проблем, которые следуют из модели неограниченного роста.
Однако в демографии выражение (1), характеризующее гиперболический рост населения мира, никогда всерьез не рассматривалось по трем причинам.
Во-первых, в демографии было принято рассматривать население Земли просто как арифметическую сумму отдельных, не взаимодействующих популяций. Ведь задача демографии виделась в объяснении роста в зависимости от конкретных социальных и экономических условий, которые невозможно сформулировать для всего населения мира и тем более связывать скорость роста с полным населением Земли. Во-вторых, выражение (1) обращается в бесконечность по мере приближения к 2025 г. и не имеет смысла за пределом этой даты. Наконец, это выражение приводит к трудностям и при оценках населения в далеком прошлом. Так, 20 млрд лет тому назад, при рождении Вселенной согласно представлениям космологии, должно было бы уже быть десять человек, несомненно, самих космологов, наблюдающих и обсуждающих возникновение Вселенной!
В демографии было принято рассматривать население Земли просто как арифметическую сумму популяций отдельных стран.
Тем не менее постоянство этого закона роста поразительно, и если исходить из известных нам оценок населения в прошлом, он соблюдается при увеличении населения земли в десятки тысяч раз. По существу так описывается развитие человечества со времени появления Homo habilis (человека умелого) полтора миллиона лет тому назад, однако должного внимания на это не обращали. Численность человечества на тот момент представляет большой интерес, и потому я обратился к знаменитому французскому антропологу, профессору Коллеж де Франс Иву Коппену с вопросом: сколько тогда жило людей? Его ответ был краток и точен: сто тысяч, т. е. столько же, сколько крупных животных, подобных человеку. Оценка основана на наблюдении, что в то время на востоке и юге Африки существовало порядка тысячи больших семей по сто человек в каждой.
Эта оценка не противоречит оценкам других авторов, касающихся этого существенного времени в истории человечества в эпоху антропогенеза. Первые открытия принадлежат английскому антропологу Лики. В дальнейшем крупный вклад был сделан французской экспедицией, которой руководил Коппен, исследовавший раннюю эпоху становления человечества. Именно тогда начался гиперболический рост численности населения нашей планеты. С тех пор эта численность увеличивалась прямо пропорционально квадрату населения мира вплоть до нашего времени, когда для гиперболического роста скорость обратно пропорциональна квадрату времени. Медленная в начале, по мере роста населения скорость все увеличивается и в итоге происходит быстрее, чем по экспоненте, устремляясь в бесконечность, в конечное время, равное Т1 = 2025 г.
Поэтому, обращаясь к развитию населения как единой динамической системы, мы будем рассматривать выражение (1) не только как обобщение исторических данных, но и как объективную физическую закономерность и математически содержательное выражение. Оно описывает рост населения как самоподобный процесс, развивающийся по гиперболической траектории, поскольку функция роста (1) — однородная функция. Это свойство, открытое еще Эйлером, указывает на то, что в таких функциях нет характерного внутреннего масштаба. В частности, такой функцией является линейная функция. Однако экспоненциальный рост таким свойством уже не обладает, поскольку он определяется внутренним параметром экспоненциального времени Тe.
Линейный и гиперболический процессы самоподобны, т. е. во все моменты времени относительный рост неизменен.
Однородные функции — линейная, или же гиперболическая, — описывают рост как самоподобный или автомодельный процесс, в котором во все моменты времени относительный рост неизменен. Только в выделенных точках особенностей, или сингулярностей, это самоподобие нарушается. В случае роста по гиперболе это происходит в далеком прошлом, когда население асимптотически приближается к нулю, либо в то критическое мгновение T1 при котором N обращается в бесконечность в момент обострения. В этой сингулярности, при которой функция (1) стремится к бесконечности, состоит главная привлекательность этой формулы, поскольку именно тогда и происходит коренное изменение в развитии системы, связанное с демографическим переходом от стремительного роста к стабильному населению мира.
Мой доклад о росте населения Земли на семинаре Сергея Павловича Курдюмова стал настоящим откровением для меня и для коллектива Института прикладной математики им. М. В. Келдыша. Действительно, в современной прикладной математике такие процессы с обострением, при которых одна или несколько моделируемых величин обращаются в бесконечность за конечный промежуток времени, представляют большой интерес [16,17]. Поэтому Курдюмовым и его коллегами для проблематики режимов с обострением были созданы мощные математические методы, которые, в частности, служат и для обоснования представлений синергетики, развитой немецким физиком Хакеном [18]. Это нашло отражение в обширных приложениях в теории взрывных процессов, ударных волн, в физике фазовых превращений, а также в описании неравновесных процессов развития систем в синергетике и химической кинетике.
