Одна из первых задач такого типа была сформулирована приблизительно в 200 году до нашей эры греческим математиком Аполлонием, которого интересовал следующий вопрос: если даны три окружности, то сколькими способами можно нарисовать четвертую так, чтобы она касалась всех трех одновременно? Ответ на этот вопрос (восемь) может быть получен с помощью линейки и циркуля. Для решения же задачи Шуберта необходимы более сложные вычисления.
В работе над этой задачей математики избрали поэтапный подход, рассматривая за раз только одну степень. Под степенью понимается наивысшая из степеней слагаемых, входящих в многочлен. К примеру, степень полинома 4x2-5y3 равна трем, 6х3y4+4x — семи (степени х3 и y4 складываются), а 2x+3y-4 — единице (график этой функции — прямая линия). Итак, задача состояла в том, чтобы выбрать многообразие (в нашем случае речь идет о трехмерной поверхности пятого порядка) и степень (порядок) кривых, количество которых необходимо было подсчитать.
Шуберт решил эту задачу для кривых первого порядка, показав, что на поверхности пятого порядка можно провести ровно 2875 кривых. Почти через сто лет после этого, в 1986 году, Шелдон Кац, в настоящее время работающий в Университете штата Иллинойс, показал, что число кривых второго порядка, подобных окружностям, на той же поверхности равно 609 250. Канделас, де ла Осса, Грин и Паркс, в свою очередь, рассмотрели случай кривых третьего порядка, от которого легко перейти к задаче о числе сфер, которые можно разместить в определенном пространстве Калаби-Яу. В этом им помог прием, основанный на зеркальной симметрии. В то время как решение задачи для многообразия пятого порядка было чрезвычайно сложным, его зеркальный партнер, созданный Грином и Плессером, позволял найти намного более простой путь к решению.
Кроме того, в первой статье Грина и Плессера, посвященной зеркальной симметрии, была выдвинута ключевая идея о том, что взаимодействия Юкавы можно представить при помощи двух различных математических формул, одна из которых будет описывать исходное многообразие, а вторая — его зеркальную пару. Первая из этих формул, включающая в себя число рациональных кривых различных степеней, которые можно было обнаружить на многообразии, по словам Грина, была просто «кошмарной». Со второй формулой, зависящей от формы многообразия в более общем виде, работать было намного проще. Однако так как обе формулы описывали один и тот же физический объект, они должны быть эквивалентными — подобно словам «кот» и «cat», которые имеют различный вид, но описывают одно и то же пушистое существо. Статья Грина и Плессера содержала уравнение, из которого напрямую следовала эквивалентность этих двух столь различных формул.
Рис. 7.6. Выдающимся достижением геометрии XIX века стало доказательство математиками Артуром Кэли и Джорджем Сэлмоном утверждения, что поверхность третьего порядка, приведенная на рисунке, содержит ровно 27 прямых. Герман Шуберт впоследствии обобщил этот результат, получивший название теоремы Кэли-Сэлмона (изображение предоставлено 3D-XplorMath Consortium)
Рис. 7.7. Подсчет числа прямых или кривых на поверхности является обычной задачей алгебраической и нумеративной геометрии. Чтобы лучше понять, что подразумевается под числом прямых на поверхности, рассмотрим приведенный на рисунке дважды линейчатый гиперболоид как поверхность, полностью состоящую из прямых. Он называется дважды линейчатым, поскольку через каждую его точку проходят две различные прямые линии. Подобная поверхность плохо подходит для нумеративной геометрии по причине бесконечного числа прямых, которые можно на ней провести (фотография Карена Шаффнера, математический отдел Аризонского университета)
Рис. 7.8. Задача Аполлония, одна из наиболее известных задач в геометрии, посвящена вопросу о числе способов, которыми можно нарисовать окружность, касательную к трем заданным. Постановка задачи и первое решение приписывается греческому математику Аполлонию Пергскому (приблизительно 200 год до нашей эры) На рисунке приведены восемь решений этой задачи — восемь различных касательных окружностей. Спустя две тысячи лет математик Герман Шуберт рассмотрел аналогичную задачу в трехмерном пространстве, показав, что построить сферу, касательную к четырем заданным сферам, можно шестнадцатью способами
«Даже если у тебя есть уравнение, в достоверности которого с формальной точки зрения ты не сомневаешься, решить его с достаточной точностью и получить ответ в виде числа может оказаться сложной задачей, — замечает Грин. — У нас было уравнение, но не было инструментов для получения определенного числа. Канделас и его сотрудники разработали эти инструменты, что стало крупнейшим достижением, оказавшим огромное влияние на геометрию».[104]
Работа Грина и Плессера наглядно иллюстрирует всю мощь зеркальной симметрии. Теперь можно было не утруждать себя подсчетом числа кривых в пространстве Калаби-Яу, поскольку, проведя совершенно другое вычисление — с виду не имеющее ничего общего с работой по подсчету кривых, — можно было получить тот же ответ. Когда Канделас и его коллеги применили этот подход к расчету количества кривых третьего порядка на трехмерной поверхности пятого порядка, они получили число 317 206 375.
Наш интерес, однако, заключался не столько в определении количества рациональных кривых, сколько в исследовании многообразия как такового. Дело в том, что в процессе подсчета мы по сути дела перемещаемся по кривым, используя хорошо разработанные методики, до тех пор пока не проходим все пространство. В ходе этой процедуры мы фактически определяем пространство — неважно, будет это трехмерная поверхность пятого порядка или какое-либо другое многообразие, — в терминах данных кривых.
Результатом всего вышесказанного стало второе рождение уже порядком подзабытой области геометрии. По словам Марка Гросса, математика из Калифорнийского университета, идея использования зеркальной симметрии для решения задач нумеративной геометрии, впервые предложенная Канделасом и его сотрудниками, привела к возрождению целой дисциплины. «К тому времени эта область исследований почти полностью исчерпала себя, — говорит Гросс. — Когда все старые задачи были решены, ученые занялись перепроверкой чисел Шуберта при помощи современных вычислительных технологий, но это занятие едва ли можно было назвать увлекательным. И вдруг, как гром с ясного неба, Канделас заявил о разработке ряда новых методов, выходящих далеко за пределы того, что мог представить себе Шуберт».[105] Физики многое заимствуют из математики, а вот математики, прежде чем заимствовать из физики метод Канделаса, прежде всего потребовали более детального обоснования его строгости.
Случайно, приблизительно в это же время — в мае 1991 года, если быть точным, — я организовал конференцию в Исследовательском институте математических наук Беркли, для того чтобы математики и физики получили возможность поговорить о зеркальной симметрии. И. М. Зингер, один из основателей института, изначально выбрал для конференции другую тему, но мне удалось его переубедить, упомянув некоторые из новых открытий в области зеркальной симметрии, которые представлялись мне особенно захватывающими. Зингер как раз незадолго до этого посетил лекцию Брайана Грина и потому легко согласился со мной и попросил возглавить это мероприятие.
Я возлагал большие надежды на то, что эта конференция позволит преодолеть барьеры между родственными областями исследований, возникающие из-за разницы в языке и накопленных знаниях. Во время конференции Канделас представил результаты, полученные им для проблемы Шуберта, но оказалось, что его число заметно отличалось от числа, полученного гораздо более строгим путем двумя норвежскими математиками Гейром Эллингсрудом и Штейном Арилдом Штремме (их ответ был — 2 682 549 425). В силу присущей им заносчивости, математики, работающие в области алгебраической геометрии, обвинили физиков в том, что те допустили ошибку. Прежде всего, по словам математика из Кайзерслаутернского университета Андреаса Газмана, «математики просто не понимали того, чем занимались физики, поскольку они [физики] использовали совершенно другие методы — не существующие в математике и далеко не всегда строго доказанные»[106].
Канделас и Грин были весьма озабочены возможностью допущенной ими ошибки, но им никак не удавалось понять, где именно они встали на неверный путь. В то время я много общался с обоими, особенно с Грином, и меня также занимал вопрос, где именно в процессе интегрирования по бесконечномерному пространству, которое нужно было затем свести к конечной размерности, могла быть допущена какая-либо неточность. Конечно, в ходе математических преобразований неоднократно приходилось сталкиваться с проблемой выбора, причем ни один из вариантов нельзя было считать совершенным. Однако хотя все это ставило Канделаса и Грина в несколько неловкое положение, нам не удавалось обнаружить какую-либо погрешность в их рассуждении, основанном скорее на физических идеях, нежели на строгом математическом доказательстве. Более того, несмотря на критику со стороны математиков, они остались верны зеркальной симметрии.
