В том же 1897 г., когда вышла последняя работа Кантора, в Цюрихе состоялся первый «Международный математический конгресс». Он встретил на конгрессе единодушное признание; наряду с секционным сообщением Адамара, использовавшего понятия теории множеств как уже известные и необходимые орудия, доклад Гурвица на первом пленарном заседании «О развитии общей теории аналитических функций в новейшее время» особенно ярко продемонстрировал, насколько плодотворными оказались для теории функций идеи Кантора и среди них столь оспаривавшиеся трансфинитные числа. Надо отметить, что три уже тогда ведущих исследователя, Гильберт, Гурвиц и Минковский, состоявшие между собой в дружбе, первые в странах немецкого языка поняли и пытались разъяснить оригинальность идей Кантора и значение его теории множеств; было это еще «в то время, когда в задававших тогда тон математических кругах самое имя Кантора было под запретом, а в его трансфинитных числах видели всего лишь вредные порождения фантазии»[27]. Не только значение этих ученых, но также их особая связь со строгими методами теории чисел способствовали разрушению многих предубеждений против теоретико-множественных построений.
Кантор, чрезвычайно обрадованный признанием его в Цюрихе, в том же году рассказал узкому кругу немецких математиков о возникновении и основных результатах своей теории; этот неофициальный доклад, состоявшийся во время брауншвейгского собрания немецкого математического объединения, известен лишь по неопубликованным заметкам И. Штеккеля. Первые систематические изложения теории множеств, не принадлежащие ее автору, появились во Франции; прежде всего следует упомянуть книгу Бореля “Leçons sur la théorie des fonctions”(«Лекции по теории функций»)[28], в значительной степени уже представлявшую собой учебник теории множеств; там было, между прочим, впервые опубликовано найденное учеником Кантopa Феликсом Бвршптейном (первое безупречное) доказательство теоремы эквивалентности. Этой широко распространенной книгой и вышедшим в Jahresbbericht der Deutschen Maths.-Ver. за 1899−1890 гг. первым обзором Шенфлиса Entwicklung der Lehre von rer Punktmannigfaltigkeiten («Развитие теории точечных многообразий») и завершилось, в известном смысле, победоносное шествие теории множеств; она превратилась в дисциплину, равноправную другим отраслям математики, а вскоре даже получившую над ними преимущество. Первый учебник, специально посвященный теории множеств (супругов Юнг), появился в Англии в 1906 г., в Германии же такая книга вышла лишь в 1914 г. («Основы» Хаусдорфа); и все же горькие слова Кантора в письме Юнгу от 1908 г., жалующегося, что его в Германии (в отличие от Англии) не знают, представляются позднейшему наблюдателю несправедливыми или, может быть оправданными лишь в отношении внешних почестей[29]. В действительности, например, уже задолго до начала века план «Энциклопедии математических наук» предусматривал статью по теории множеств (вышедшую в 1898 г.), и притом не среди отдельных геометрических дисциплин в томе III, но в числе первых статей I-го тома, наряду с основными разделами арифметики.
В 1899 г. когда супруги Кантор отпраздновали в Гарце серебряную свадьбу, мы видим 54-летнего исследователя вновь отдавшимся со всей энергией математическому творчеству. Это не привело, впрочем, к существенным достижениям или к публикации. Но и впоследствии он, во всяком случае сознательно, не отказывается от математической продукции. Так, в 1903 г. он докладывает на кассельском Собрании естествоиспытателей свои (неопубликованные) «Замечания к теории множеств», направленные, главным образом, против некоторых возражений французских философов. Около 1905 г. он состоит в весьма оживленной научной переписке с Филиппом Э. Б. Джорденом, а в 1908 г. даже обещает Юнгу представить свою следующую статью London Mathematical Society (Лондонскому математическому обществу). В особенности занимала его, как и прежде, проблема континуума, названная Гильбертом в его докладе на торжественном заседании Парижского международного математического конгресса (1900) в качестве первой из «математических проблем». Как рассказывает Шенфлисс[30], переживанием был для Кантopa доклад Юлиуса Кенига на Гейдельбергском международном математическом конгрессе (1904); опираясь на принадлежащее Ф. Бернштейну соотношение между алефами, Кениг пытался доказать, что мощность континуума не может быть алефом. Доклад этот произвел глубокое впечатление не только на Кантора, убежденного в возможности полного упорядочения любого множества и даже в соотношении , но и на весь математический мир, в центре интересов которого стояла тогда теория множеств. Кантор предпринял затем лихорадочные усилия опровергнуть этот результат, и вскоре, к его удовлетворению, оказалось, что лемма Бернштейна верна лишь в некоторых предположениях, делающих вывод Кенига несостоятельным.
В эти годы запоздалого, но тем более желанного для него научного признания пришли также и внешние почести[31], которым он от души радовался: избрание в почетные члены Лондонского математического общества (1901) и Харьковского математического общества, а также в члены-корреспонденты Королевского венецианского института наук, литературы и искусств (1904), присуждение степени доктора математики honoris causa университетом Христиании (1902), медали Сильвестра британским Королевским обществом (1904), степени почетного доктора университетом Сент-Эндрью (1911). Однако, состояние нервной системы неоднократно вынуждало его в эти годы прерывать чтение лекций; в 1905 г. он был освобожден от служебных обязанностей, а в 1913 году окончательно отказался от университетской должности. Международное празднование его семидесятилетия было намечено на 1915 год, но не могло состояться из-за войны; все же многие немецкие математики явились в Галле воздать ему честь [32]; тогда же был заложен мраморный бюст его, с 1928 года стоящий в вестибюле университета Галле. Его золотой докторский юбилей не мог быть публично отмечен, вследствие состояния его здоровья; 6 января 1918 г. Кантор скончался в психиатрической клинике г. Галле.
5. Кантор как преподаватель и как личность
Более сорока лет Кантор занимался преподавательской деятельностью в университете Галле; выдающемся преимуществом его лекций была строгость и четкость в определении понятий. Изложение, по рассказам его учеников, было ясным и упорядоченным, но в то же время оживленным и возбуждающим интерес. (Так обстояло дело, во всяком случае, в периоды хорошего самочувствия; в последние годы в лекциях приходилось делать более или менее продолжительные перерывы, когда он был нездоров). На подготовку лекций он затрачивал немного времени. Поэтому изложение интересовавших его предметов, доставлявшее, по словам многих его слушателей, высокое эстетическое наслаждение, весьма заметно отличалось от чтения им других курсов; к этим последним принадлежала также теория функций, находившаяся тогда в Галле в большом пренебрежении. Но, например, к теории групп Кантор проявлял несомненный интерес. Время от времени он докладывал на семинаре свои открытия в теории множеств. Число его слушателей часто оказывалось очень небольшим, нередко сокращаясь до 1−3; это объяснялось низкой посещаемостью математических предметов в Галле, существенно поднявшейся лишь в начале этого столетия. Можно понять поэтому стремление Кантора перейти в другой университет. В совокупности он подготовил все же немало кандидатов на учительские должности, но число диссертаций, выполненных под его руководством, очень невелико[33], и лишь немногие талантливые исследователи были им непосредственно воспитаны. Это связано отчасти с тем, что Кантор, как правило, сразу же сам реализовал свои идеи и не располагал поэтому избытком привлекательных задач; по той же причине он не оставил ценного неопубликованного наследия. Сверх того, его исключительная погруженность в занимавшие его проблемы мало способствовала усилиям по привлечению молодых талантов.
В человеческом отношении он был верным и отзывчивым другом своих слушателей; дом его всегда был открыт для них, как и для многих студентов других специальностей, привлекая их интимной атмосферой, музыкой и возбуждающей, юношески свежей общительностью; значительную роль в этом играла его любезная супруга. Даже в пожилом возрасте он не щадил усилий, чтобы оказать помощь своим ученикам или просто доставить им радость; в частности, к молодым приват-доцентам он относился с исключительной благожелательностью, и в их круге было известно, что каждый, обратившийся к Кантору с просьбой, важной или не столь важной, всегда найдет в нем дружески расположенного слушателя и советчика.
Что касается личности Контора вообще, то все знавшие его рассказывают о его искрящейся, остроумной, оригинальной натуре, склонной к внезапным вспышкам и всегда чистосердечно радовавшейся собственным шуткам; о его неутомимом темпераменте, придававшем − наряду с его внушительной, крупной фигурой − особую привлекательность математическим собраниям, в которых он участвовал, вызывавшем неистощимый поток его мыслей − и поздним вечером, и ранним утром, и в области математики, и во многих областях его внематематических интересов; о его честном характере, верном друзьям, готовом прийти на помощь, дружелюбном в обращении; и, наряду с этим, о характерной рассеянности ученого. В устном обмене мыслями он был, как правило, дающим, и не был расположен сразу же схватывать чужие идеи. Всем своим мыслям он отдавался с равной любовью и настойчивостью; возможно, возникновением труда его жизни мы обязаны не столько вложенной в него силе мысли, и даже не столько гениальной интуиции, в соединении с мощной способностью к формированию понятий, сколько невероятной энергии, с которой он преследовал свои цели, вопреки всем препятствиям. Эта непоколебимая стойкость вытекала из его глубокого убеждения в истинности, даже в реальности своих идей; в письме от 26 января 1884 г. он писал Миттаг-Лефлеру, по поводу желания Кронеккера видеть свои работы принятыми в Acta Mathematica c тем же беспристрастием, что и работы Кантора: «Может быть, его стряпня и нуждается в беспристрастии, в большой снисходительности и бережности; для моих же работ я требую пристрастия, но не пристрастия к моей бренной личности, а пристрастия к истине, которая вечна и взирает с суверенным презрением на подстрекателей, воображающих, будто могут долго мешать ей своей жалкой писаниной». И несколькими месяцами позже: «... здесь заведомо ставится вопрос о силе, и он никогда не может быть решен уговорами; спрашивается, чьи идеи сильнее, шире и плодотворнее Кронеккера или мои; лишь конечный успех со временем решит исход нашей борьбы!!»[34]. Без сомнения, та же стойкая и энергичная преданность своим идеям десятилетиями привязывала его к проблеме Бекона, вопреки всем стараниям друзей-математиков отвлечь его от этого занятия.
