Решающим фактором оказывается топология тора. Топология – это раздел математики, позволяющий отличать сферы от торов или более сложных пространств. Интересным расширением понятия тора является поверхность с двумя дырками. Возьмите комок глины и слепите из него шар. Поверхность шара является сферой. Теперь проделайте в этом шаре сквозное отверстие: получится бублик, поверхность которого является тором. Проделайте в комке ещё одно отверстие. Вы получите фигуру, поверхность которой является обобщением тора. Новую фигуру можно опоясать уже тремя разными способами. Математики называют сферу поверхностью рода 0, тор – поверхностью рода 1, а тор с двумя дырками – поверхностью рода 2. Очевидно, что, проделав множество отверстий, можно получить поверхность любого рода. Чем выше род поверхности, тем большим количеством способов можно обернуть вокруг неё брану.
Шесть из девяти размерностей, которыми оперирует теория струн, скрыты путём компактификации. Шестимерное пространство устроено гораздо более сложно, чем двумерное. Многомерные версии бубликов позволяют обернуть вокруг них не только D1-брану, но и D2, D3, D4, D5 и D6-браны, причём сотнями различных способов.
До сих пор мы оперировали одной отдельно взятой браной. Но на самом деле мы можем взять целую стопку бран. Вернёмся к ковру в бесконечной комнате. Что мешает нам постелить в ней два ковра, один на другой? Можно положить друг на друга множество ковров, как на персидском базаре. И точно так же, как ковры могут свободно парить друг над другом, стопка D-бран может разделяться на отдельные свободно плавающие браны. Но браны больше похожи на липкие ковры – если соединить их вместе, они «слипаются», образуя составную брану, что даёт огромное количество вариантов конструирования машины Руба Голдберга. Например, можно расположить несколько стопок ковров на разных расстояниях от пола, что оставляет простор для конструирования миров с самыми разнообразными свойствами. Оказывается, что при помощи пяти ковров, склеенных по два и по три, можно сконструировать мир с Законами Физики, очень похожими на Стандартную модель!
Способ расположения бран в компактифицированном пространстве является новым свободным параметром для добавления модулей при подсчёте разнообразных вариантов конструкции Вселенной. На расстояниях, для которых размером компактифицированных измерений можно пренебречь, браны проявляются как дополнительные скалярные поля, определяющие Ландшафт.
Потоки появились как одна из самых важных составляющих Ландшафта. Они более, чем что-либо другое, делают Ландшафт невероятно огромным. Потоки являются несколько более абстрактными и труднопредставимыми сущностями, чем браны. Они играют огромную роль в теории струн, но по сути очень просты. «На расстоянии» они выглядят как ещё одна разновидность скалярных полей. Наиболее известными примерами потоков являются электрические и магнитные поля Фарадея и Максвелла. Фарадей не был математиком, но обладал великим даром визуализации. Он буквально видел электромагнитные поля в своих экспериментальных установках. В картине мира Фарадея магнитное поле представлялось в виде линий, вытекающих из северного полюса магнита и втекающих в южный. В каждой точке пространства эти линии, называемые ещё силовыми линиями, указывают направление магнитного поля, а плотность линий (то, насколько близко они расположены друг к другу) определяет напряжённость поля.
Точно так же представлял себе Фарадей и электрические поля: в виде линий, исходящих из положительных зарядов и входящих в отрицательные. Представьте себе воображаемую сферу, окружающую изолированный положительный заряд с выходящими из него во все стороны и уходящими в бесконечность линиями. Все силовые линии неизбежно должны пересекать окружающую заряд сферу. Вот вам простейший пример потока поля через поверхность.
Мерой этого потока Фарадей считал количество проходящих сквозь поверхность силовых линий. Если бы он знал математический анализ, он бы описал поток как интеграл от величины напряжённости поля по поверхности, но идея количества силовых линий оказалась даже более удачной, чем мог предположить Фарадей. Поток через поверхность является одной из тех вещей, о которых квантовая механика говорит нам, что они квантуются. Квант потока не может быть разделён на более мелкие части точно так же, как и фотон. Из-за того, что поток не может меняться непрерывно, представление его в виде конечного целого числа линий является более правильным, чем представление в виде поверхностного интеграла.
Обычно электрические и магнитные поля представляются как векторы в трёхмерном пространстве, но возможно также и представление этих полей как потоков в шести дополнительных свёрнутых измерениях. Несмотря на то что математическое описание потока в шестимерном пространстве очень сложно, вы можете по-прежнему представлять его себе как набор силовых линий или силовых поверхностей, намотанных замысловатым образом на пространство Калаби – Яу и проходящих сквозь дырки в многомерных бубликах.
Для более глубокого понимания поведения потоков в пространстве Калаби – Яу необходимо хорошо разбираться в современной геометрии и топологии, но наиболее важные выводы достаточно просты. Как и в случае с магнитными и электрическими полями, потоки, текущие через многомерные дырки от бубликов, квантованы. Они всегда представляют собой произведение некоего элементарного потока на целое число. Это означает, что для полного задания потока необходимо всего лишь задать набор целых чисел, сообщающих, сколько элементарных единиц потока проходит через каждую дырку.
Как много чисел понадобится для описания потока в пространстве Калаби – Яу? Это зависит от того, сколько дырок в этом пространстве. Пространство Калаби – Яу гораздо сложнее простого тора и обычно содержит несколько сотен дырок. Каждой дырке в описании потока соответствует одно целое число. Эти несколько сотен целых чисел, определяющих поток, являются частью общего описания положения точки на Ландшафте.
Конифолдные сингулярности
Итак, сейчас наш типичный набор чисел, описывающий размер и форму компактного пространства, содержит несколько сотен модулей, описывающих взаимное расположение бран, и ещё несколько сотен чисел, описывающих потоки. Что ещё можно добавить к нашей машине Руба Голдберга?
Вообще-то много чего, но чтобы не раздувать эту книгу до гигантских размеров, я расскажу только про конифолдную сингулярность. Поверхность футбольного мяча – это сфера. Если вы игнорируете текстуру материала и швы, то можете считать эту сферу гладкой. Поверхность мяча для игры в американский футбол, наоборот, гладкая везде, за исключением концов, где она собирается в коническую вершину. Бесконечно острый выступ на гладкой поверхности называется сингулярностью. У мяча для игры в американский футбол примером такой сингулярности служат концы мяча, сходящиеся на конус. Сингулярность такого типа называется конической сингулярностью.
Сингулярности в пространствах высоких размерностей – места, где пространство перестаёт быть гладким, – являются более сложными. Они имеют более запутанную топологию. Конифолды представляют собой одну из таких сингулярностей, которая может существовать в пространстве Калаби – Яу. Как несложно понять из названия, она похожа на вершину конуса.
Для наших популяризаторских целей достаточно представлять себе конифолды как заострённые конические выступы на поверхности.
Наиболее интересные результаты получаются, если совместить конифолды и потоки в одном и том же пространстве Калаби – Яу. Поток, действуя на любую неоднородность поверхности, стремится вытянуть её, делая похожей на рыло муравьеда. Если таких неоднородностей много, то под действием потоков вскоре всё пространство Калаби – Яу покрывается конифолдными сингулярностями, становясь похожим на шестимерного морского ежа.
Теперь у Руба Голдберга достаточно деталей. Насколько же сумасшедшую машину сможет он построить? Вариантов – море, но мне хотелось бы описать один из них, называемый конструкцией ККЛТ.[90] К., К., Л. и Т. начали с пространства Калаби – Яу. Существуют миллионы различных способов начать с пространства Калаби – Яу. Безразлично, какой из этих способов выбрать. Где-то в этом пространстве имеется похожая на рыло муравьеда конифолдная сингулярность. Затем ККЛТ заполнили все возможные дырки потоками: по целому числу потоков на каждую дырку. Это означало, что они задали около 500 различных параметров: модулей и потоков. В результате получилась долина на Ландшафте, но не такая, о которой мы говорили ранее. Получилась Долина Смерти – но не потому, что она получилась горячей, а потому, что она оказалась расположенной ниже «уровня моря». Её высота оказалась отрицательной, что, в свою очередь, означало, что энергия вакуума и, как следствие, космологическая постоянная оказались отрицательными – плохой знак для нашей Вселенной. Вместо расширения Вселенной отрицательная космологическая постоянная приведёт к её сжатию, причём очень быстрому сжатию.
