В качестве другого примера вообразим построение гиперкуба — обобщения куба на случай более трех измерений. Линейный отрезок в одном измерении состоит из двух точек, связанных прямой одномерной линией. В случае двух измерений это можно обобщить до квадрата, поместив один из отрезков над другим и соединив их концы двумя дополнительными отрезками. Совершая далее пассаж к кубу в трех измерениях, мы можем построить его, помещая
один двумерный квадрат над другим и связывая их четырьмя дополнительными квадратами, по одному на каждую сторону исходных квадратов (см. рис. 7).
В четырех измерениях куб обобщается до гиперкуба, а в пяти измерениях — до чего-то, чему еще нет названия. Но даже если мы, трехмерные существа, никогда не видели эти два объекта, мы можем обобщить процедуру построения, которая сработала при меньшем числе измерений. Чтобы построить гиперкуб (другое название тессеракт), поместим один куб над другим и свяжем их путем добавления шести дополнительных кубов, соединяющих грани двух исходных. Такое построение представляет абстракцию, которую трудно нарисовать, но это ни в коей мере не делает гиперкуб менее реальным.
Когда я училась в средней школе, я провела лето в математическом лагере (что оказалось намного более интересным, чем вы можете подумать), и там нам показали киноверсию «Флатландии»[11]. В конце диктор с очаровательным британским акцентом безуспешно пытается указать на недоступное флатландцам третье измерение, говоря: «Наверх, а не на север!» К сожалению, мы испытаем ту же неудовлетворенность, если попытаемся указать проход к четвертому пространственному измерению. Но точно так же, как флатландцы не видели или не перемещались сквозь третье измерение, хотя оно и существует в истории Эбботта, тот факт, что мы никогда не видели другого измерения, не означает, что его нет. Итак, хотя мы никогда до сих пор не наблюдали такое измерение и не путешествовали сквозь него, лейтмотивом всей книги «Закрученные пассажи» будет фраза: «Не на север, а вперед вдоль пассажа!» Кто знает, что существует из того, чего мы еще не видели?
Три из двух
В оставшейся части этой главы, вместо того чтобы размышлять о пространствах, имеющих более трех измерений, я поговорю о том, как с помощью наших ограниченных зрительных возможностей мы собираемся представлять и рисовать три измерения, используя двумерные образы. Понимание того, как мы совершаем этот пассаж от двумерных образов к трехмерной реальности, пригодится позднее, когда мы будем интерпретировать малоразмерные «картинки» многомерных миров. Относитесь к этому разделу как к разминочному упражнению, для того чтобы приучить ваш мозг к дополнительным измерениям. Было бы неплохо помнить, что в обычной жизни вы все время имеете дело с размерностью. На самом деле все это не так уж незнакомо.
Часто все, что мы можем видеть, — это кусочки поверхностей, которые обрамляют вещи. Хотя эта внешняя оболочка и изгибается в трехмерном пространстве, она имеет два измерения, так как для определения положения любой точки на ней нужно задать два числа. Мы приходим к выводу, что поверхность не трехмерна, так как у нее нет толщины.
Смотря на картины, экраны кинотеатров, мониторы компьютеров или рисунки в этой книге, мы, вообще говоря, смотрим не на трехмерные, а на двумерные изображения. Но тем не менее мы можем восстановить изображенную трехмерную реальность.
Для построения трех измерений мы можем использовать двумерную информацию. Этот процесс включает урезание информации при создании двумерных представлений и одновременно попытку сохранить достаточно информации для воспроизводства важных элементов исходного объекта. Обратимся к часто используемым методам сведения объектов более высокой размерности к меньшему числу измерений: нарезка слоями, проектирование, голография и иногда просто пренебрежение размерностью, — и обратному процессу восстановления тех трехмерных объектов, которые они представляют.
Наименее сложный способ заглянуть за поверхность — сделать тонкие слои. Каждый слой двумерен, но комбинация слоев образует реальный трехмерный объект. Например, когда вы покупаете ветчину в магазине, трехмерный кусок окорока быстро нарезают на много двумерных ломтей[12]. Складывая все ломти, можно реконструировать форму всего трехмерного куска.
Эта книга трехмерна. Однако ее страницы имеют только два измерения. Объединение двумерных страниц образует книгу[13]. Можно многими разными способами проиллюстрировать это объединение. Один способ показан на рис. 8, на котором мы смотрим на книгу сбоку. На этом рисунке мы опять играем с размерностью, так как каждая линия представляет страницу. Поскольку все мы знаем, что линии соответствуют двумерным страницам, эта иллюстрация всем ясна. Позднее мы используем аналогичный подход, чтобы изобразить объекты в многомерных мирах.
Разрезание на слои — лишь один из способов заменить высшие измерения более низкими. Другим способом является проектирование — технический термин, заимствованный из геометрии. Проектирование содержит строгие предписания для создания образа объекта, имеющего меньшее число измерений. Тень на стене — один из примеров двумерной проекции трехмерного объекта. На рис. 9 показано, каким образом теряется информация, когда мы (или кролики) осуществляем проектирование. Точки на тени определяются только двумя координатами, лево — право или вверх — вниз на стене. Однако проектируемый объект имеет третье пространственное измерение, которое не сохраняется в проекции.
Простейший способ осуществить проектирование состоит в том, чтобы отбросить одно измерение. Например, на рис. 10 показан куб в трех измерениях, спроектированный на два измерения. Проекция куба может иметь много форм, простейшая из которых есть квадрат.
Возвращаясь к предыдущим примерам графиков Икара и Афины, мы можем построить двумерный график Икара, если пренебрежем его вождением спортивных автомобилей. На самом деле нам не важно, сколько сов выращивает Афина, поэтому мы можем построить не пятимерный, а четырехмерный график. Пренебрежение совами Афины и есть проектирование.
Проекция теряет информацию об исходном многомерном объекте (рис. 9). Однако, когда с помощью проектирования мы создаем картину с меньшим числом измерений, мы иногда добавляем информацию, помогающую восстановить часть потерянного. Дополнительной информацией может быть штриховка или цвет, как в живописи или фотографии. Это может быть число, как на топографических картах для указания высоты местности. Наконец, какие-либо метки могут вообще отсутствовать, и в этом случае двумерное описание просто несет меньше информации.
Если бы не оба наших глаза, работающих совместно и позволяющих реконструировать три измерения, все, что мы видим, было бы проекциями. Если закрыть один глаз, восприятие глубины становится грубее. Один глаз создает двумерную проекцию трехмерной реальности. Чтобы воспроизвести три измерения, нужны два глаза.
У меня близорукость на одном глазу и дальнозоркость на другом, поэтому я не могу должным образом объединять изображения от обоих глаз, если не надеваю очков (что случается редко). Хотя мне сказали, что у меня будут проблемы с реконструкцией трех измерений, обычно я этих проблем не замечаю — все вокруг меня выглядит трехмерным. Это происходит потому, что для реконструкции трехмерных образов я полагаюсь на тени и перспективу (и свое знакомство с внешним миром).
Однако однажды в пустынной местности мы с другом пытались дойти до далекого утеса. Мой друг убеждал меня, что мы должны двигаться прямо, а я никак не могла понять, почему он настаивает, чтобы мы шли прямо сквозь скалу. Оказалось, что скала, про которую я думала, что она выступает непосредственно из утеса, полностью загораживая нам путь, находилась на самом деле значительно ближе к нам, перед утесом. Эта скала, которая, как мне казалось, преградит нам путь, на самом деле вообще не имела отношения к утесу. Путаница возникла из-за того, что мы были вблизи утеса около полудня, когда нет никаких теней, и у меня не было способа построить третье измерение, которое бы указало мне, каким образом далекие утесы и скалы расположены относительно друг друга. Я никогда не осознавала своей компенсирующей стратегии с использованием теней и перспективы, до тех пор пока она не дала сбой.
Живопись и черчение всегда требуют, чтобы художники сводили все, что они видят, к спроектированным образам. В средневековом искусстве это делалось максимально простым образом. На рис. 11 показано мозаичное изображение города в виде двумерной проекции. Ничто на этой мозаике не указывает на третье измерение, нет никаких меток или индикаторов его существования.
