Рафаель Роузен - Математика для гиков

Математические понятия: фигуры, геометрия

Футбольный мяч, который вы пинаете по выходным, имеет несколько математических секретов. Если вы к нему присмотритесь, то увидите, что он покрыт пятиугольниками и шестиугольниками в повторяющемся узоре. На самом деле этот узор из фигур значит, что футбольный мяч – это усеченный икосаэдр, который имеет 12 пятиугольных и 20 шестиугольных поверхностей, всего их 32. Более того, каждая сторона каждого пятиугольника касается шестиугольника, а стороны каждого шестиугольника касаются попеременно пятиугольника и другого шестиугольника. Однако в усеченном икосаэдре пятиугольники и шестиугольники абсолютно плоские. А пятиугольники и шестиугольники на футбольном мяче выпуклые для того, чтобы сгладить края и сделать мяч круглым.

Усеченный икосаэдр выделяется среди других фигур, так как является одним из архимедовых тел. Стороны этих трехмерных фигур, названных в честь Архимеда, одного из величайших математиков Древней Греции (и всей истории человечества), состоят из двух или более правильных многоугольников (фигуры, стороны которых имеют одинаковую длину, например шестиугольник). Похожие фигуры, платоновы тела (см. главу 1.20), имеют в качестве сторон один правильный многогранник. (Представьте куб, все стороны которого являются квадратами.)

Усеченные икосаэдры можно найти не только в спорте. Они также встречаются в природе, на микроскопическом уровне, в форме бакминстерфуллерена, молекулы, состоящей из 60 атомов углерода. Эта молекула предстает в форме шара, она была названа в честь Бакминстера Фуллера, инженера и изобретателя, и открыта в 1980-х. Некоторые вирусы, например вирус хлоротичной крапчатости коровьего гороха, имеют форму усеченного икосаэдра. Такая особая форма, кажется, встречается повсюду и в природе, и в мире, построенном руками человека.

Существуют 13 архимедовых тел. Среди них есть кубооктаэдр, чьи стороны имеют форму квадратов и треугольников, и усеченный октаэдр, чьи стороны имеют форму квадратов и шестиугольников.

Вы могли давно не держать его в руках, но кубик Рубика – разноцветная головоломка, – который предстал перед публикой в начале 1980-х, считается самой продаваемой игрушкой в истории. Он имеет шесть сторон, каждая из которых состоит их трех движущихся рядов и девяти мини-кубов, каждый мини-куб покрашен в один из шести цветов, таким образом, кубик является мучительной, но такой затягивающей задачкой: как только все цвета перемешаны, нужно поворачивать ряды, пока каждая сторона не будет состоять из мини-кубов одного цвета.

Но кубик Рубика не только сводит с ума и является веселым времяпрепровождением, он еще и наводит на несколько математических мыслей. Сначала он наводит на мысль о комбинаторике, которая изучает различные способы конфигураций из каких-то объектов. Существует поразительное количество способов сборки мини-кубов кубика Рубика. На самом деле, общее количество перестановок равно 43,252,003,274,489,856,000, или примерно 43 квинтильонам. Крайне сложно понять, насколько это число большое. Для начала представьте, что у вас есть 43 квинтильона кубиков Рубика, и вы поставили их друг на друга, тогда башня из них достигла бы космоса. Насколько бы их хватило? До МКС? До Луны? Ответ может вас удивить: когда башня будет достроена, она продлится 261 световой год.

Вы можете осознать это ошеломляющее количество и другими путями. Например, 43-квинтильонов кубиков Рубика будет достаточно, чтобы покрыть ими весь земной шар. Не один раз и даже не два, а 273 раза. Или подумайте, сколько времени у вас займет попробовать каждую перестановку. Допустим, что каждая перестановка ряда займет одну секунду, тогда все возможные варианты займут почти 1,5 квадрильона лет, а это намного больше, чем возраст вселенной.

Размышляя над кубиком Рубика, вы также можете познакомиться с алгоритмами. В математике алгоритм – это набор инструкций, который приводит вас из одного состояния дел в другое с помощью ряда конкретных шагов. (Подумайте об инструкции по сборке вашей новой книжной полки из IKEA как об алгоритме.) Люди, которые соревнуются за то, чтобы собрать кубик Рубика за самый короткий промежуток времени – своеобразный вид спорта, который известен как скоростная сборка кубика Рубика, – запоминают алгоритмы, которые диктуют им, как повернуть ряд, чтобы сдвинуть определенные мини-кубы на место. Алгоритмы имеют систему записи, в которой буква или символ обозначают одну из сторон кубика. Например:

Ф = фасад

З = задняя сторона

П = правая сторона

Л = левая сторона

В = верхняя сторона

Н = нижняя сторона

Также есть символы, которые могут подсказать, крутить сторону по часовой стрелке или против. Например, Ф значит крутить фасад, или переднюю сторону, по часовой стрелке; Ф’ – против часовой. Итак, алгоритм для сбора среднего ряда кубика Рубика может выглядеть так:

В П В’ П’ В’ Ф’ В Ф

Для скоростной сборки люди обычно запоминают до сорока таких алгоритмов.

По подсчетам, с 1980 года было продано 350 миллионов кубиков Рубика по всему миру, что делает его самой продаваемой игрушкой в мире. Это значит, что каждый седьмой человек на земле пытался его собрать.

В следующий раз, когда воспользуетесь ксероксом, взгляните на листы бумаги еще раз: для их дизайна ушло немало математического планирования. Размеры, согласованные с Международной организацией по стандартизации (ИСО) специально для форматов А и В, были созданы на основе особой геометрии, которая имеет свои преимущества, когда вы делаете копии.

Особой характеристикой форматов А и В является соотношение двух концов данного листа бумаги. Для двух форматов коэффициент ширины к длине составляет 1:√2. Это значит, что каждый лист А4 составляет половину площади листа А3. А лист А3 составляет половину площади листа А2. Использование √2 означает, что каждый формат бумаги имеет одинаковое отношение ширины к высоте; каждый формат является идеально масштабированной версией большего или меньшего формата бумаги. Например, формат А4 – который примерно соответствует американскому формату Letter – имеет ширину 210 мм и длину 297 мм. Соответствующие размеры формата А3 будут составлять 297 и 420 мм.

В результате, если вы используете ксерокс и вам нужно уменьшить формат А4, то вы можете превратить его в формат А5, который при повороте будет соответствовать двум копиям, которые идеально поместятся на лист А4 без лишнего пространства. А так как у каждого размера одинаковое соотношение, неважно, насколько вы будете уменьшать или увеличивать, информация на бумаге появится в той же пропорции. Даже в таком обывательском задании, как копирование, геометрия может облегчить нашу жизнь.

Понятия, встречающиеся в мире бумаги, очень часто незнакомы обычному человеку. Например, десть – это набор из 24 или 25 листов бумаги одинакового размера, что равно 1/20 стопы (которая равна 400 или 500 листам бумаги).

Если вы когда-нибудь видели карту на чьей-либо стене или дорожный атлас, то вы смотрели на математику в действии. Как вы уже поняли из главы 1.22, когда читали о Гауссе и пицце, невозможно идеально превратить сферическую форму в двухмерную форму. В результате любая карта Земли – или любой другой планеты или сферического тела – будет иметь искажения. Но каким именно образом информацию на шаре превращают в информацию на листе бумаги? Другими словами, как превратить глобус в карту?

Вот здесь в работу вступает математика. Существуют разные виды карт, и каждая из них отображает Землю по-разному. Каждый вид называется проекцией. Вы, возможно, уже слышали о проекции Меркатора (представлена Герардом Меркатором, фламандским картографом, в 1569 году), которая стала отличным помощником морякам, так как, чтобы добраться из точки А в точку Б, штурману надо было всего лишь начертить линию между этими точками, и он знал точное направление по компасу, которое и приводило его в точку назначения. А если вы когда-либо видели настенную карту мира, опубликованную National Geographic, тогда вы знакомы с проекцией Робинсона. (Карты Робисона были спроектированы так, чтобы в приполярных регионах было меньше искажений, а на картах Меркатора они выглядели куда хуже, чем они есть на самом деле.)

Некоторые карты выполнены в форме круга, и центром обычно являются Северный или Южный полюса. Возможно, вы видели древние карты с такой конфигурацией, где были изображены две круглые карты. Такие карты являются стереографической проекцией. В отличие от некоторых карт, стереографические проекции являются конформными, то есть все углы в них приближены к реальности. (Однако этого нельзя сказать о расстоянии и площади.) Кроме того, окружности на глобусе Земли отображаются как окружности на стереографической карте. Если окружности проходят через точку проекции – центр карты, – тогда они отображаются на карте в виде прямых линий.