Первую работу, снискавшую мировую известность, о «ряде Фурье, расходящемся почти всюду», Колмогоров создал в 19 лет, а к 22 годам был уже автором полутора десятков печатных трудов по теории функции действительного переменного.
Еще на четвертом курсе МГУ математик занялся теорией вероятностей – разделом математики, изучающим закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Начал Андрей с закона больших чисел, представляющего собою «общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая». Над законом в свое время бились лучшие математики мира – Г. Больцман, Р. Мизес, А. Ломницкий и др. Все их попытки получить наиболее общие условия применимости этого закона к последовательности случайных величин оказались тщетными. Пальму первенства они и их последователи отдали аспиранту МГУ Колмогорову, который очень удачно использовал хорошо развитые (в том числе и им самим) методы теории функций действительного переменного. Это случилось в 1926 г. В 1930 г. увидело свет еще одно центральное исследование математика – «Об аналитических методах теории вероятностей».
В книге «Основные понятия теории вероятностей» Андрей Николаевич сформулировал в законченном виде аксиоматику (схему логического обоснования) теории: концепцию вероятности, всевозможные ее интерпретации, сферы применимости и т. д. Прекрасное знание многих областей математики – теории множеств, теории интеграла, теории функций и др. – позволило ученому сформулировать простую систему аксиом, давшую этой науке строгий вид нового раздела математики. Аксиоматику Колмогорова, применимую в самых разнообразных областях естественных, технических и гуманитарных наук, называют еще «моделью Колмогорова».
«Значение монографии А.Н. Колмогорова определяется не только предложенной в ней схемой (ставшей универсально принятой) логического обоснования математической теории вероятностей. Ее роль также и в том, что содержащиеся в ней новые концепции, понятия и результаты (такие как условное математическое ожидание, теорема о существовании случайного процесса с заданной системой конечномерных распределений, закон нуля или единицы и др.) открыли новую эру и в развитии самой теории вероятностей, и в расширении сферы ее влияния и областей применения» (Ю.В. Прохоров, А.Н. Ширяев).
В дальнейшем автор, используя свое открытие, заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем, развил теорию стационарных случайных процессов.
Со студенческих лет Колмогоров старался направить свои научные разработки в практическое русло, чем оказал сильнейшее влияние на ряд прикладных разделов математики: историю этой науки и методы ее преподавания, а также на кибернетику, информатику, небесную механику, гидромеханику, метеорологию, кристаллографию, биологию, теорию стрельбы, теорию лингвистики и даже теорию стиха.
В годы Великой Отечественной войны, например, по заданию Главного артиллерийского управления армии ученый на базе своих исследований по теории вероятностей вычислял траектории рассеивания снарядов при стрельбе. После войны разработал статистические методы контроля массовой продукции, тут же востребованные всеми отраслями народного хозяйства СССР. Но тогда же он творил и «чистую» науку, разрешая фундаментальные проблемы математики – по малым знаменателям в задачах классической механики, внедрению понятия энтропии в различные области математики, представлению функций в виде суперпозиций. Отдал он дань и теории вероятностей – ее экстремальным задачам, равномерным предельным теоремам с точки зрения распределений в функциональных пространствах и др.
Особым вкладом Колмогорова в развитие советской математики стало создание им научной школы в области теории вероятностей и теории функций. Академик воспитал не один десяток замечательных математиков – А.И. Мальцева, М.Д. Миллионщикова, С.М. Никольского, Ю.В. Прохорова, А.М. Обухова, А.М. Яглома, В.М. Тихомирова, И.М. Гельфанда и др.
Андрей Николаевич прославился не только созданием своей математической школы, но и грандиозной реформой школьного математического образования в 1960-е гг. Проведенная по инициативе и под руководством Колмогорова, реформа сделала советское математическое образование населения лучшим в мире. Нынешние старшее и среднее поколения россиян обучались по учебникам, созданным под руководством и рецензированием Колмогорова (сам он написал учебник геометрии для 6–8-х классов, алгебры и начал анализа для 9–10-х классов), – лучшим учебным пособиям по математике в мировой практике и по сей день. В 1990-х гг. прекрасно зарекомендовавшая себя система школьного математического образования «по Колмогорову» стала «дереформироваться», а нынешние реформы «по Фурсенко», похоже, и вовсе сведут ее на нет. И хотя колмогоровские учебники в школе еще действуют, их одних для решения задачи инновационного развития России будет явно недостаточно.
Ученый мир уже давно поставил имя Колмогорова «рядом с именами Пуанкаре, Гильберта, Ломоносова, Менделеева». Выдающийся математик XX в. Н. Винер, отец кибернетики, признался как-то: «Вот уже в течение тридцати лет, когда я читаю труды академика Колмогорова, я чувствую, что это и мои мысли. Это всякий раз то, что я и сам хотел сказать».
Математик, педагог, общественный деятель, публицист, заведующий отделом Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, профессор МГУ, академик АН СССР, вице-президент Исполнительного комитета Международного математического союза, почетный доктор наук Салфордского университета (Великобритания), почетный член Лондонского математического общества, Международной академии «Астронавтика», Венгерской АН, лауреат Сталинской, Государственной и Ленинской премий, лауреат Международной премии им. Н.И. Лобачевского, кавалер четырех орденов Ленина, орденов Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, «Знак Почета», Герой Социалистического Труда, Лев Семенович Понтрягин (1908–1988) прославился на весь мир своими трудами по теории дифференциальных игр и теории размерности, теории непрерывных групп и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории колебаний и регулирования, теории оптимального управления техническими и производственными процессами. Главным научным достижением математика стали его работы по топологии и топологической алгебре.
Начиная с Л. Эйлера, историю развития отечественной (а значит, и мировой) математики можно разбить на эпохи, привязанные к имени ученого, внесшего в нее самый значительный вклад. Это не означает, что у эпохи будет только одно имя. К примеру, конец XIX – начало XX в. можно назвать и эпохой Крылова, и эпохой Стеклова, и эпохой Чаплыгина… На этом основании второй трети прошлого века можно дать имя эпохи Понтрягина. В то время ученый активно занимался одним из новейших разделов математики – топологией и топологической алгеброй (совокупностью вопросов, пограничных между алгеброй и топологией), развитием которых стали «дальнейшее триумфальное развитие теории когомологических операций и появление таких достижений топологии, как спектральная теория гомологий расслоенных пространств, созданная французскими математиками, и теория систем М.М. Постникова». По словам академика П.С. Александрова, 33 года возглавлявшего Московское математическое общество, Понтрягин, создавший свое собственное направление в математике, был «самым крупным (в международном масштабе) представителем… топологической алгебры».
Бюст Л.С. Понтрягина на стене дома на Ленинском проспекте в Москве, где он жил с 1938 по 1988 г. Скульптор В.М. Клыков
По определению, топология – это «раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (то есть нарушения целостности фигуры) или склеиваний (то есть отождествления ее точек)».
Соотнесение Понтрягина с Л. Эйлером не случайно. Они оба были математиками от Бога, оба изучали топологию, оба были незрячие. Свыше 150 теоретических работ, насыщенных сложнейшими исследованиями, громоздкими формулами и выражениями, Понтрягин создал «в уме», не прибегая к бумаге.
Из-за несчастного случая (взорвался примус) Лев в 14 лет потерял зрение. И только благодаря своей матушке, Татьяне Андреевне, подросток не отчаялся и стал тем, кем стал. Много лет Татьяна Андреевна была личным секретарем сына – «читала ему вслух научную литературу, вставляла формулы в его научные рукописи, правила корректуру его работ и т. п. Для этого ей пришлось, в частности, научиться читать на иностранных языках».
