Галилея, как ранее Орема, это привело в замешательство. Как он писал в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки»,
[…] рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей[122].
Общеизвестный сейчас символ, представляющий бесконечность, появился вскоре после смерти Галилея. Символ ∞ впервые использовал в 1655 г. английский математик Джон Валлис. Он выбрал именно такую форму, чтобы выразить идею возможности бесконечного прохождения по кривой[123]. В течение следующих двух веков математики вполне свыклись с идеей потенциальной бесконечности, но не с идеей бесконечности, действительно существующей, которая, казалось, порождала слишком много трудностей. Математик XIX в. Карл-Фридрих Гаусс писал своему коллеге Генриху-Христиану Шумахеру:
Прежде всего я возражаю против использования бесконечной величины как чего-то законченного, что ни в коем случае недопустимо в математике. Бесконечность – не более чем façon de parler[124].
А затем, в конце XIX в., произошел интеллектуальный сдвиг. Благодаря работе конечного разума одного человека бесконечность вдруг оказалась достижимой. Для Георга Кантора бесконечность не была всего лишь манерой выражаться. Она была осязаемым математическим объектом:
Horror infiniti[125] […] можно рассматривать как своего рода близорукость, которая лишает возможности видеть актуальное бесконечное, хотя последнее в своем высшем, абсолютном носителе создало и сохраняет нас, а в своих вторичных трансфинитных формах окружает нас со всех сторон и даже присуще самому нашему духу[126].
В конце XIX в. можно было бы ожидать разделения между учеными и религиозными деятелями. Однако Георг Кантор был и тем и другим и писал о том, как религия влияет на его математические идеи. Подобно Джордано Бруно, размышлявшему о бесконечной Вселенной, вера в Бога была для Кантора гипотезой, из которой он выводил необходимость существования бесконечности.
В одном доказательстве исходят из понятия Бога и умозаключают
прежде всего от высшего совершенства божественного существа к возможности сотворения Transfinitum ordinatum[127], а затем от его всеблагости и величия к необходимости фактически последовавшего сотворения Transfinitum.
Предложенный Кантором способ рассмотрения бесконечности происходит из некоторых идей, которые обдумывал Орем. Утверждать, что два множества имеют одинаковые размеры, – значит найти способ сопоставления элементов одного множества с элементами другого, при котором для каждого такого элемента имеется парный ему элемент другого множества.
Подход Кантора к бесконечности сводится к представлению математиков в виде племени, у которого есть названия для чисел 1, 2 и 3, а все числа, превосходящие этот предел, называются словом «много», что для этого племени и означает бесконечность. Если два племени, не имеющие названий для чисел, больших трех, встретятся, они тем не менее смогут сравнить свои размеры и узнать, какое из них больше. Для этого члены первого племени должны образовать пары с членами второго племени, и «много» того племени, в котором останутся члены, не нашедшие себе пары, и будет наибольшим. Если все члены обоих племен окажутся в парах, значит, «много» этих племен одинаковы.
Эта модель хорошо описывает математику животного царства: животные, вероятно, не имеют названий для чисел, но все же могут определить, какая из групп больше других. Развитие чувства размера – ключевой элемент выживания. Если одна группа животных встречает другую группу, им нужно быстро оценить, больше их собственная группа или меньше, чем та, с которой они столкнулись. Если их больше, они вступают в схватку, если меньше, они убегают. Но для такого сравнения не нужны названия чисел. Сопоставляя членов обеих групп попарно, можно понять, что та группа, в которой останутся члены без пары, и будет большей.
Используя идею попарного сопоставления, Кантор смог предложить способ определения численного равенства или неравенства двух бесконечных множеств. Например, возможно, хотелось бы сказать, что четных чисел существует вдвое меньше, чем всех чисел вообще. Однако Кантор показал, что, как и предполагал Орем, можно сопоставить эти два множества так, чтобы каждому числу нашлась пара. Например, число 1 попадает в пару с числом 2, 2 – с 4, 3 – с 6, а число n с числом 2n. Поэтому размеры обоих множеств одинаковы. Племя, на спинах членов которого написаны четные числа, сможет оказать сопротивление племени, члены которого пронумерованы всеми числами. Эти бесконечные множества имеют одинаковые размеры.
Это рассуждение похоже на те, которые предлагали Орем и Галилей, и тем не менее их обоих беспокоил тот факт, что с другой точки зрения четные числа или квадраты являются подмножеством всех чисел и, следовательно, должны в некотором смысле составлять меньшее множество. Кантор считал, что обнаружения одного способа установления попарного соответствия должно быть достаточно для вывода о равенстве размеров двух множеств. В случае конечных множеств, если для них не удается найти попарных соответствий, никакие перестановки или изменения порядка элементов этих множеств не позволят добиться точного соответствия. Однако в случае множеств бесконечных Кантор обнаружил, что изменение порядка элементов может помочь обнаружить новые способы образования пар, которые не оставят без пары ни одного элемента.
Ключевым, с точки зрения Кантора, моментом было то, что существование хотя бы одного возможного способа установления попарного соответствия между двумя множествами позволяет сказать, что их размеры равны. Могут существовать способы подбора пар, когда некоторые члены племен остаются без пары: например, если составить пары только из четных чисел обеих групп, останется бесконечное количество нечетных чисел. Но, по мнению Кантора, множество чисел может быть признано истинно бо́льшим, только если не существует никакой возможности подобрать пары всем членам множества без какого бы то ни было остатка.
Как, например, обстоит дело с множеством таких чисел, как дроби? Насколько велика эта бесконечность? Кантор придумал замечательный способ сравнения всех целых чисел со всеми дробями и доказательства равенства размеров их множеств. На первый взгляд это кажется невозможным: между любыми двумя целыми числами помещается бесконечное множество дробей. Но существует способ установления точного соответствия между всеми целыми числами и всеми дробями, который не оставляет вне этого соответствия ни одной дроби.
Он начинается с построения таблицы, содержащей все дроби. В этой таблице бесконечно много столбцов и строк. n-й столбец содержит все дроби 1/n, 2/n, 3/n, ….
Как же Кантору удалось составить пары из целых чисел и дробей этой таблицы? Для этого прежде всего нужно запустить в таблицу змею, проползающую дроби по диагонали, как показано на иллюстрации. Тогда целые числа можно поставить в пары с дробными, продвигаясь по пути такой змеи: 1 попадает в пару с 1/1, 2 – с 2/1, 3 – с 1/2, 4 – с 1/3. Например, число 9 образует пару с 2/3, девятой по счету дробью, которую мы встречаем на извивающемся пути змеи, пробирающейся сквозь таблицу дробей. Поскольку змея таким образом проползает через всю таблицу, каждой из дробей будет поставлено в соответствие некоторое целое число.
Это рассуждение красиво и неожиданно. Если бы я оказался на необитаемом острове и мог взять с собой всего восемь теорем, канторова змея была бы одной из них. Какое замечательное достижение – найти способ установления соответствия между всеми дробями и целыми числами и показать, что их множества имеют одни и те же порядки величины!
Начинает казаться, что все бесконечности имеют равные размеры. Может быть, если число членов племени достигло бесконечности, никакое другое племя никогда не сможет его превзойти? Но тут появляется еще одно крутое племя, члены которого помечены всеми возможными десятичными представлениями положительных вещественных чисел. Сможет ли племя, члены которого помечены целыми числами 1, 2, 3, …, составить пары с членами этого нового племени? Для начала можно установить соответствие между членом племени с числом 1 и членом племени с числом π = 3,1415926…, затем между членом племени с числом 2 и членом племени с числом е = 2,71828…. Но как перебрать всех членов этого бесконечного десятичного племени? Есть ли какой-нибудь хитрый способ расположения бесконечных десятичных чисел, позволяющий целым числам проползти их все подобно тому, как Кантор сделал с дробями?
