a2 + b2 = c2.
Попробуйте сделать это за несколько минут. Вы обнаружите, что два равенства излишни. Следовательно, это неэлегантное доказательство. В изящном доказательстве не должно быть ничего лишнего. Конечно, все крепки задним умом, но ведь сначала мы ничего не знали об этих равенствах. Что, впрочем, не делает нашу мину при плохой игре лучше.
Тем не менее, манипулируя тремя «нелишними» равенствами, можно вывести требуемое соотношение. (См. пропущенные шаги доказательства в примечании 46 в конце книги.)
Согласны ли вы с тем, что с эстетической точки зрения этот вариант уступает первому? Конечно, он приводит к доказательству. Но кто пригласил на вечеринку всю эту алгебру? Ведь это геометрическая теорема.
Однако более серьезный недостаток последнего доказательства — непрозрачность. К тому времени, когда вы закончите упорно продираться сквозь его дебри, может быть, скрепя сердце вы и поверите в верность теоремы, но все еще в этом не убедитесь.
Но оставим в стороне доказательства. Что вообще дает теорема Пифагора? Она выявляет фундаментальную истину о природе пространства, показывая, что оно плоское, а не изогнутое. Например, для поверхности шара или тора (фигура, похожая на бублик) подобную теорему придется изменить. Эйнштейн столкнулся с этим в своей общей теории относительности (где гравитация рассматривается не как сила, а как проявление искривления пространства), как и Георг Риман[15] и другие ученые в условиях, когда только закладывались основы неевклидовой геометрии.
От Пифагора до Эйнштейна пролегла долгая дорога. Но по крайней мере она прямая — свою большую часть.
13. Кое-что из ничего
Любой курс математики содержит хотя бы одну заведомо трудную тему. В арифметике это деление в столбик. В алгебре — текстовые задачи. А в геометрии — доказательства.
Большинство учеников, изучающих геометрию, до этого никогда не сталкивались с доказательствами. И такая встреча может вызвать шок, поэтому здесь был бы уместен ярлычок со следующей надписью: «Доказательства способны вызвать головокружение или чрезмерную сонливость. Побочные эффекты от длительного воздействия доказательств могут включать в себя ночную потливость, приступы паники и в редких случаях эйфорию. Прежде чем приступать к их изучению, проконсультируйтесь с врачом».
Умение приводить доказательства уже давно считается одним из ключевых для общего образования. И, по мнению некоторых, более существенным, чем сама геометрия. Хотя никто толком не понимает, как научиться их формулировать. Согласно этой точке зрения, геометрия хороша для развития умственных способностей, поскольку обучает нас думать четко и логично. Сюда не относится изучение треугольника, круга и параллельных линий как таковых. Важно само применение аксиоматического метода, представляющего собой процесс пошагового создания строгих аргументов до получения подтверждения искомого вывода.
Евклид47 установил этот дедуктивный подход в своих «Началах» (в настоящее время наиболее часто перепечатываемый учебник всех времен) около 2300 лет назад. С тех пор евклидова геометрия стала моделью логического мышления во всех сферах жизни — от науки и философии до права и политики. Например, Исаак Ньютон применил метод Евклида в структуре своего шедевра «Математические начала натуральной философии». Используя геометрические доказательства, он вывел законы Галилея и Кеплера о движении летящих предметов и планет на основе их собственных глубинных законов движения и гравитации. «Этика» Спинозы[16] следует той же схеме. Полное название книги «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (Ethica Ordine Geometrico Demonstrata). Вы можете услышать отголоски Евклида даже в Декларации независимости. Когда Томас Джефферсон48 писал: «Мы считаем эти истины самоочевидными», он имитировал стиль «Начал» Евклида. Древнегреческий математик начал с определений, постулатов и самоочевидных истин геометрии, аксиом, и из них воздвиг здание утверждений и доказательств, где истины связаны между собой посредством неопровержимой логики. Джефферсон построил Декларацию аналогичным образом: его радикальные выводы о том, что колонии имеют право на самоуправление, казались неотвратимыми, как факт геометрии.
Даже если этот документ с некоторой натяжкой можно воспринимать как часть интеллектуального наследия, имейте все же в виду, что Джефферсон читал Евклида. Через несколько лет после окончания второго президентского срока он отошел от общественной жизни и писал об этом своему старому другу Джону Адамсу 12 января 1812 года: «Я отказался от газет в обмен на Тацита и Фукидида, Ньютона и Евклида, и считаю себя гораздо счастливее».
Однако всем поклонникам рациональности Евклида не хватает понимания интуитивных аспектов геометрии. Без вдохновения не было бы никаких доказательств или теорем, которые следует доказать в первую очередь. Как и при сочинении музыки или стихов, в геометрии требуется получить что-то из ничего. Как поэту найти нужные слова или композитору — западающую в память мелодию? Это тайна музыки; своя тайна присуща и математике.
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу построения равностороннего треугольника. Правила игры заключаются в том, что вам дают одну сторону треугольника (отрезок), как показано на рисунке:
Ваша задача — найти способ использовать этот отрезок для построения двух других сторон и доказать, что у них такая же длина, как и у первой. Причем в вашем распоряжении только поверочная линейка и циркуль. Линейка позволяет начертить прямую линию любой длины или соединить прямой линией две любые точки. Циркуль помогает нарисовать окружность любого радиуса с центром в любой точке.
Однако имейте в виду, что это не обычная линейка: на ней нет делений и ее нельзя использовать для измерения длины. (Другими словами, она не подходит для копирования или измерения исходного отрезка.) Циркулем нельзя измерять углы, а можно только строить окружности.
Готовы? Поехали!
Вы в ступоре. С чего начать?
Логика здесь не поможет. Те, кому приходится часто принимать решения, знают, что в такой ситуации лучше всего расслабиться и попробовать разгадать головоломку в надежде, что что-нибудь придет в голову. Например, с помощью поверочной линейки попробовать через концы отрезка провести наклонные линии.
Не повезло. Хотя линии образуют треугольник, нет никакой гарантии, что он равносторонний.
Пытаемся провести несколько окружностей с помощью циркуля и опять попадаем пальцем в небо. Где выбрать центр окружности? В конечных точках отрезка?
Или в какой-то его внутренней точке?
Второй вариант выглядит совершенно бесперспективным, поэтому нет смысла перебирать все внутренние точки отрезка одну за другой. Так что давайте вернемся к построению окружности вокруг конечных точек.
К сожалению, здесь много неопределенности. Какими должны быть радиусы окружностей? Что ж, пока мы ничего не смогли придумать.
Спустя несколько минут бесполезных размышлений вы, окончательно расстроившись, готовы сдаться. Но если мы все-таки устоим перед соблазном и продолжим, то нам, возможно, повезет, и мы поймем, что нужно построить всего одну окружность. Давайте посмотрим, что произойдет, если поставить иголку циркуля на один конец отрезка, карандаш на другой, а потом сделать циркулем полный оборот. Выйдет следующее:
Конечно, если бы мы использовали в качестве центра окружности другую конечную точку, то получили бы другое изображение:
Как насчет того, чтобы одновременно нарисовать обе окружности без причины, просто ради интереса?
Вас словно током ударило? Вы даже задрожали от предвкушения? Взгляните еще раз на рисунок. Оттуда на нас «уставилось» соблазнительно округлое изображение равностороннего треугольника. Его верхний угол — точка пересечения окружностей.
А теперь давайте превратим его в обычный прямосторонний треугольник, проведя линии через точку пересечения и конечные точки исходного треугольника. В результате треугольник выглядит точно так же, как равносторонний.
Мы позволили интуиции завести нас так далеко, что теперь и только теперь наступило время логике взяться за доказательство и завершить его. Для наглядности сделаем панорамную съемку полного изображения и промаркируем интересующие нас точки как A, B и C.
А вот и само доказательство. У сторон АС и ВС такая же длина, как и у исходного отрезка АВ, поскольку радиусы обеих окружностей равны длине отрезка AB. АС и ВС — радиусы окружностей, имеющие такую же длину. Следовательно, все три длины равны и треугольник является равносторонним. Что и требовалось доказать.
