Наконец позвольте выразить сердечную признательность моей семье. Лия и Джо, вы слышали о книге в течение долгого времени, и, верите или нет, она действительно дописана. Естественно, ваша задача — изучить всю математическую теорию, о которой в ней рассказывается. Что касается моей фантастически терпеливой жены Кэрол, которая продиралась сквозь первые n вариантов каждой главы и таким образом узнала истинное значение выражения «как n стремится к бесконечности», позволь мне просто сказать: я люблю тебя. И то, что я тебя нашел, было самым лучшим моим решением.
Примечания
1. Основы чисел: сложение рыбок
1. Чтобы ознакомиться с увлекательной идеей о том, что числа живут собственной жизнью, а математика может рассматриваться как одна из форм искусства, см. P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009).
Прим. ред.: В русском интернете много переводов эссе Локхарда «Плач математика». Вот один из них: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html.
Здесь и далее сноски, не оформленные квадратными скобками, относятся к примечаниям автора.
2. Эта известная фраза взята из эссе E. Wigner The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Communicationsin Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, No. 1, (February 1960), рр. 1–14. Онлайн-версия доступна на http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html.
Для дальнейших размышлений на эту тему, а также о том, была математика изобретена или открыта, см. M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon and Schuster, 2009) и R. W.Hamming, The unreasonable effectiveness of mathematics, American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (February 1980).
2. Каменная арифметика
3. Написанием данной главы я во многом обязан двум замечательным книгам: полемическому эссе P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009) и роману Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009).
Прим. ред.: Об эссе Локхарда «Плач математика» сказано в примечании 1. Перевода романа Ёко Огавы на русский язык пока нет.
4. Молодым читателям, которые хотят изучать числа и их структуры, см. H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000).
Прим. ред.: Среди многочисленных русских книг о началах математики, нестандартныхподходах к ее изучению, развитии математического творчества у детей и тому подобных тем, созвучных следующим главам книги, укажем пока следующие: Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. М. : АО «Столетие», 1995; Остер Г. Задачник. Ненаглядное пособие по математике. М. : АСТ, 2005; Рыжик В. И. 30 000 уроков математики: Книга для учителя. М. : Просвещение, 2003: Тучнин Н. П. Как задать вопрос? О математическом творчестве школьников. Ярославль : Верх.-Волж. кн. изд-во, 1989.
5. Превосходные, но более сложные примеры визуализации математических образов представлены в R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).
3. Враг моего врага
6. Теория баланса впервые была предложена социальным психологом Фрицем Хайдером в 1946 году и с тех пор разрабатывалась и применялась теоретиками социальных сетей, политологами, антропологами, математиками и физиками. Ее исходные положения даны в F. Heider, Attitudes and cognitive organization, Journal of Psychology, Vol. 21 (1946), pp. 107–112, и F. Heider, The Psychology of Interpersonal Relations (John Wiley and Sons, 1958). Обзор по теории баланса с точки зрения социальных сетей см. S. Wasserman and K. Faust, Social Network Analysis (Cambridge University Press, 1994), chapter 6.
7. Теорема, из которой следует, что сбалансированное состояние в полностью связной сети должно быть либо в виде одной нирваны для всех друзей, либо в виде двух взаимно антагонистических группировок, впервые была доказана в D. Cartwright and F. Harary, Structural balance: A generalization of Heider’s theory, Psychological Review, Vol. 63 (1956), pp. 277–293. Очень легко читаемая версия доказательства и простое введение в математику теории баланса дано двумя моими коллегами из Корнельского университета в работе D. Easley and J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (Cambridge University Press, 2010).
8. Примеры и графические изображения альянсов до Первой мировой войны взяты из T. Antal, P. L. Krapivsky and S. Redner, Social balance on networks: The dynamics of friendship and enmity, Physica D, Vol. 224 (2006), pp. 130–136, доступной по адресу http://arxiv.org/abs/physics/0605183. Эта статья, написанная тремя физиками, распространяет теорию баланса на динамические структуры, тем самым расширяя ее за пределы ранних статических подходов. Исторические подробности европейских союзов и альянсов приведены в W. L. Langer, European Alliances and Alignments, 1871–1890, 2nd edition (Knopf, 1956) и B. E. Schmitt, Triple Alliance and Triple Entente (Henry Holt and Company, 1934).
4. Коммутативность: перемена мест сомножителей
9. Кит Девлин написал провокационную серию очерков о природе умножения: что это такое, что в нем не так и почему определенные виды мышления более ценны и надежны в процессе умножения, чем другие. Он рассматривает умножение как масштабирование, не сводя его к процессу суммирования, и показывает, что эти два понятия (умножение как масштабирование и умножение как суммирование) существенно разнятся в реальных условиях. См. его январскую (2011 года) статью What exactly is multiplication? на http://archive.is/qCkK, а также три более ранних 2008 года: It ain’t no repeated addition (http://www.maa.org/devlin/devlin_06_08.html), It’s still not repeated addition (http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_08.html) и Multiplication and those pesky British spellings (http://www.maa.org/devlin/devlin_09_08.html). Эти статьи активно обсуждались в среде блогеров, особенно среди учителей.
10. В примере с джинсами порядок применения налогового сбора и скидки для вас не имеет значения — в обоих сценариях вы в конечном итоге платите 43,20 доллара. Но для правительства и магазина он весьма существенен! В сценарии продавщицы (при котором вы платите налог в зависимости от первоначальной цены) вы заплатите 4 доллара налога, в вашем сценарии — всего 3,20 доллара. Я не знаю, одинаков ли закон о налоге на продажи во всех штатах, но рациональнее всего взимать его на основе фактической цены в магазине. Дальнейшее обсуждение этих вопросов см. http://www.facebook.com/TeachersofMathematics/posts/166897663338316.
11. Обсуждение достоинств и недостатков закона Roth 401(k) см. публикации Commutative law of multiplication (http://thefinancebuff.com/commutative-law-of-multiplication.html) и The new Roth 401(k) versus the traditional 401(k): Which is the better route? (http://www.thesimpledollar.com/2007/06/20/the-new-roth-401k-versus-the-traditional-401k-which-is-the-better-route/).
12. Эта история о Мюррее Гелл-Манне рассказывается в G. Johnson, Strange Beauty (Knopf, 1999), p. 55. По словам самого Гелл-Манна, хотя его приняли в «страшный» Массачусетский технологический институт, он «рассматривал самоубийство как единственный выход из положения, если пролетаешь мимо Лиги плюща». «Мне пришло в голову (и это интересный пример некоммутирующих операторов), что можно попробовать учебу в Массачусетском технологическом институте и убить себя позже, в то время как обратный порядок событий невозможен». Этот отрывок приведен в H. Fritzsch, Murray Gell-Mann: Selected Papers (World Scientific, 2009), p. 298.
13. Рассказ о том, как Гейзенберг и Дирак открыли роль некоммутирующих переменных в квантовой механике, см. G. Farmelo, The Strangest Man (Basic Books, 2009), pp. 85–87.
Прим. ред.: По истории квантовой механики см., например: Пономарев Л. И. Под знаком кванта. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005; Милантьев В. П. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
5. Деление и его проблемы
14. Сцену, где молодой Кристи пытается мужественно ответить на вопрос «Сколько будет 25 процентов от четверти?» можно найти на сайте http://www.tcm.com/mediaroom/video/223343/My-Left-Foot-Movie-Clip-25-Percent-of-a-Quarter.html.
15. В блоге Джорджа Ваккаро (http://verizonmath.blogspot.com/) можно узнать подробности его встречи с представителями Verizon Wireless. Стенограмма разговора доступна на http://verizonmath.blogspot.com/2006/12/transcription-jt.html. Аудиозапись — на http://imgs.xkcd.com/verizon_billing.mp3.
16. Для читателей, которым все еще трудно принять, что 1 = 0,9999…, аргументом (убедившим в конце концов и меня) может быть такое рассуждение: они должны быть равны, потому что между ними нельзя вставить никакого другого десятичного числа. (В то же время, если два десятичных числа не равны, то между ними можно вставить их среднее, а также бесконечно много других десятичных чисел.)
17. Удивительные свойства иррациональных чисел обсуждаются на более высоком математическом уровне на странице Irrational Number по адресу http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html. Взгляд, согласно которому цифры в иррациональном числе рассматриваются как случайные, представлен на http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html.
6. Твердая позиция
18. Более подробную информацию о Корнелле, в том числе о его роли в Western Union, см. P. Dorf, The Builder: A Biography of Ezra Cornell (Macmillan, 1952); W. P. Marshall, Ezra Cornell (Kessinger Publishing, 2006); и http://rmc.library.cornell.edu/ezra/index.html, онлайн-выставку в честь 200-летнего юбилея Корнелла.
19. Древние системы счисления и происхождение десятичной системы обсуждаются в V. J. Katz, A History of Mathematics, 2nd edition (Addison Wesley Longman, 1998) и в C. B. Boyer and U. C. Merzbach, A History of Mathematics, 3rd edition (Wiley, 2011). О развитии систем счета см. C. Seife, Zero (Viking, 2000), chapter 1.
Прим. ред.: Из огромной литературы по истории математики на русском языке выделим только следующие издания, которые признаны как наиболее фундаментальные в этом разделе математики: Варден, дер. В. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М. : Наука, 1959; Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М. : Наука, 1967; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: КомКнига, 2007; История математики. В 3-х томах / Под ред. А. П. Юшкевича. М. : Наука, 1970–1972. Том I. С древнейших времен до начала Нового времени (1970).
