Представленная на рисунке ниже комплексная плоскость образована вертикальной числовой осью, на которой откладываются мнимые числа, и горизонтальной числовой осью, на которой откладываются действительные числа (как оси х и у в обычной системе координат). Комплексное число a + bi — это точка на комплексной плоскости с координатами (a, b) — a по горизонтальной оси, b — по вертикальной. На рисунке я отметил число 3 + 2i, другими словами — точку с координатами (3, 2). Комплексная плоскость — достаточно простая идея, но тем не менее все три ее автора независимо друг от друга работали где-то на периферии сообщества самых влиятельных математиков того времени: Каспер Вессель, землемер из Копенгагена; Жан Робер Арган, счетовод из Парижа, и аббат Эдриан-Кантен Буэ, французский священник, который сбежал от революции и поселился в городе Бат. Тот факт, что ни один из великих математиков той эпохи не предложил идею комплексной плоскости, говорит об их зависимости от доктрины о том, что мнимые числа существуют только в воображении.
Комплексная плоскость
Комплексная плоскость стала блестящим открытием. Она не только представляет собой схему, на которой может быть отмечено местоположение комплексных чисел, но и углубляет наше понимание того, как ведут себя эти числа.
Возьмем какую-либо элементарную сумму, скажем 1 плюс 3 + 2i. Ответ: 4 + 2i.
Или прибавим i к числу 3 + 2i. Ответ: 3 + 3i.
А теперь посмотрите на рисунок ниже. Прибавление 1 к точке 3 + 2i перемещает нас на одну единицу по горизонтальной оси, а прибавление i — на одну единицу вверх по вертикальной.
Чем больше единиц я прибавляю, тем дальше продвигаюсь по горизонтали, а чем больше i — по вертикали. На самом деле сложение комплексного числа a + bi эквивалентно перемещению на a единиц вдоль действительной оси и на b единиц вверх по мнимой оси. Такое геометрическое передвижение обозначается термином «параллельный перенос».
А теперь давайте перейдем к умножению комплексных чисел. Если мы возьмем число 3 + 2i и умножим его на 1, получится то же самое, 3 + 2i. Иначе и быть не может, ведь так всегда происходит с умножением на 1. Но когда мы умножим это число на i, произойдет нечто интересное. Давайте умножим 3 + 2i на i:
(3 + 2i) × i = 3i + 2i2 = 3i – 2 = –2 + 3i
Посмотрите на представленный ниже рисунок. Точка 3 + 2i сместилась на 90 градусов относительно 0 против часовой стрелки.
Если мы умножим новую точку −2 + 3i на i, точка на комплексной плоскости, которую описывает это число, повернется на четверть оборота вокруг начала координат. Если мы умножим на i2 = −1, точка повернется на 180 градусов, если на i3 = −i, точка повернется на 270 градусов, а если на i4 = 1, точка вернется в исходную позицию.
Теперь давайте возьмем произвольное положительное число a. Оно находится на действительной оси комплексной плоскости. Умножив a на −1, получим ответ: –a. Это число тоже размещено на действительной оси, но с противоположной стороны от 0. Умножим его на −1 еще раз, и оно вернется к значению a. Однако если мы умножим a на i, ответ будет ai. Число повернулось на 90 градусов и теперь расположено на мнимой оси. Если мы снова умножим на i, число переместится в позицию –a, снова вернувшись на действительную ось. Таким образом, комплексная плоскость обеспечивает возможность представить умножение на отрицательные числа, которое сводится к перемещению вперед-назад, в виде умножения мнимых чисел посредством последовательности перемещений по кругу. Этот процесс не только позволяет глубже постичь сущность чисел, но и предоставляет в наше распоряжение мощный язык для описания вращающихся объектов.
Во многих областях науки, в том числе в физике элементарных частиц, электротехнике и радиолокации, комплексная плоскость используется для описания процесса вращения. В действительности волновое уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) содержит мнимое число i [12]. Это уравнение описывает вероятность обнаружения субатомной частицы в определенном месте. Разумеется, вероятность любого события должна находиться в пределах от 0 до 1, или от 0 до 100 процентов. Однако лучший способ понять зависимость между вероятностями частиц сводится к тому, чтобы считать эти вероятности числами на комплексной плоскости. В данном случае вместо сложения вероятностей как действительных чисел эти вероятности усиливают или нейтрализуют друг друга в зависимости от их относительного положения в процессе вращения.
Благодаря таким уравнениям, как уравнение Шредингера, физики теперь используют мнимые числа для описания природы самой материи. В итоге математикам больше не нужно терзаться по поводу того, есть ли у мнимых чисел какой-либо внешний смысл или нет. В наше время говорить, что число 2 + 3i находится на комплексной плоскости, так же естественно, как и то, что число −2 расположено на числовой оси.
Комплексная плоскость позволяет по-новому взглянуть на тождество Эйлера, но для этого я должен познакомить вас с альтернативной системой координат для комплексных чисел. Как мы уже видели, в стандартной системе комплексному числу a + bi соответствует точка на плоскости с координатами (a, b), где a — это расстояние от ноля вдоль горизонтальной оси, а b — расстояние от ноля вверх. Вторая система, в которой используются «полярные» координаты, описывает точку с координатами (a, b) как точку, которая находится под углом θ на расстоянии r от начала координат. Это похоже на то, как в боевике командир подводной лодки объявляет, что вражеский корабль замечен в r милях, азимут θ (разве что за исключением того, что мы измеряем углы в радианах, причем против часовой стрелки начиная с востока, а не по часовой стрелке с севера). На представленном ниже рисунке точка отображает комплексное число a + bi. Я отметил угол θ от горизонтали и расстояние r от начала координат, что образует прямоугольный треугольник с углом θ, гипотенузой r, прилежащей стороной a и противолежащей стороной b.
SOH-CAH-TOA!
Это мнемоническое правило для запоминания тригонометрических функций напоминает нам о том, что синус — это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус — прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае это значит, что
Эти формулы можно записать так:
b = r sin θ; a = r cos θ
Следовательно, наше комплексное число может быть выражено через r и θ:
a + bi = r cos θ + (r sin θ) i
a + bi = r cos θ + ri sin θ
a + bi = r (cos θ + i sin θ)
Но постойте! Мы ведь знаем, что cos θ + i sin θ = eiθ. Следовательно, мы можем заменить те члены уравнения, которые стоят в скобках, и получить такую формулу:
a + bi = reiθ
Попытайтесь прочувствовать это уравнение. Комплексное число, которое находится на расстоянии r от начала координат, под углом θ радиан по отношению к горизонтальной оси, имеет форму reiθ. Немного выше в этой главе я задал вопрос, что значит число е в мнимой степени, но тогда это казалось непонятным. Сейчас мы нашли на него ответ. Когда число е имеет мнимую степень, такой член представляет собой невероятно эффективное обозначение позиции на комплексной плоскости.
Теперь давайте рассмотрим точку на комплексной плоскости с координатами (–1, 0), которая представляет комплексное число –1 + 0i, или просто −1. Как показано на рисунке ниже, эта точка находится на расстоянии в 1 единицу от начала координат под углом в π радиан, а значит, мы можем записать ее как eiπ.
Мы с вами заново открыли тождество Эйлера! Формула, описывающая позицию точки −1 на комплексной плоскости, выглядит следующим образом:
–1 = eiπ
Это уравнение можно преобразовать в такую форму:
