Открытие формы данных
Независимо от того, поступают ли данные в мозг Робби из его органов чувств или в виде потока миллионов кликов клиентов Amazon, сгруппировать множество в меньшее число кластеров — лишь половина дела. Второй этап — сократить описание объектов. Первый образ мамы, который видит Робби, будет состоять, может быть, из миллиона пикселей, каждый своего цвета, однако человеку вряд ли нужен миллион переменных, чтобы описать лицо. Аналогично каждый товар, на который вы кликнули на сайте Amazon, дает частицу информации о вас, но на самом деле Amazon интересны не ваши клики, а ваши вкусы. Вкусы довольно стабильны и в какой-то мере подразумеваются в кликах, количество которых растет безгранично во время пользования сайтом и должно понемногу складываться в картину предпочтений точно так же, как пиксели складываются в картинку лица. Вопрос в том, как реализовать это сложение.
У человека есть примерно 50 лицевых мышц, поэтому 50 чисел должно с лихвой хватить для описания всех возможных выражений лица. Форма глаз, носа, рта и так далее — всего того, что помогает отличить одного человека от другого, — тоже не должна занимать больше нескольких десятков чисел. В конце концов, художникам в полиции достаточно всего десяти вариантов каждой черты лица, чтобы составить фоторобот, позволяющий опознать подозреваемого. Можно добавить еще несколько чисел для описания освещения и наклона, но на этом все. Поэтому, если вы дадите мне примерно сотню чисел, этого должно хватить для воссоздания лица, и наоборот: мозг Робби должен быть способен взять картинку лица и быстро свести ее ко все той же сотне по-настоящему важных чисел.
Специалисты по машинному обучению называют этот процесс понижением размерности, потому что он уменьшает множество видимых измерений (пикселей) до нескольких подразумеваемых (выражение и черты лица). Понижение размерности важно для того, чтобы справиться с большим объемом данных, например данными, поступающими каждую секунду из органов чувств. Может быть, действительно лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, но обрабатывать и запоминать изображения в миллион раз сложнее, чем слова. Тем не менее зрительная кора головного мозга каким-то образом довольно хорошо справляется с уменьшением такого объема информации до приемлемого, достаточного, чтобы ориентироваться в мире, узнавать людей и предметы и помнить увиденное. Это великое чудо познания настолько естественно для нас, что мы его даже не замечаем.
Наводя порядок в своей библиотеке, вы тоже выполняете своего рода понижение размерности от обширного пространства тем до одномерной полки. Некоторые тесно связанные книги неизбежно окажутся далеко друг от друга, но все равно можно расставить их так, чтобы такие случаи были редкими. Алгоритм понижения размерности делает именно это.
Представьте, что я дал вам координаты GPS всех магазинов в Пало-Альто в Калифорнии и вы нанесли их на листок бумаги:
Наверное, взглянув на эту схему, вы сразу поймете, что главная улица городка ведет с юго-запада на северо-восток. Хотя вы не рисовали саму улицу, интуиция подсказывает, где она проходит, потому что все точки лежат на прямой линии (или рядом с ней — магазины могут быть по разные стороны улицы). Догадка верна: эта улица — Юниверсити-авеню, и, если вы окажетесь в Пало-Альто и захотите перекусить и сделать покупки, туда и надо идти. Еще лучше, что, когда магазины сконцентрированы на одной улице, для описания их расположения нужно уже не два числа, а всего одно — номер дома, а для большей точности — расстояние от магазина до пригородной железнодорожной станции в юго-западном углу, откуда начинается Юниверсити-авеню.
Если нанести на карту еще больше магазинов, вы, вероятно, заметите, что часть из них находится на перекрестках, чуть в стороне от Юниверсити-авеню, а некоторые — вообще в других местах:
Тем не менее большинство магазинов все равно расположены довольно близко к центральной улице, и, если разрешено использовать для описания положения магазина только одно число, расстояние от вокзала вдоль этой улицы будет довольно удачным вариантом: пройдя этот отрезок и оглядевшись, вы с достаточной вероятностью найдете нужный магазин. Итак, вы только что понизили размерность «расположения магазинов в Пало-Альто» с двух измерений до одного.
У Робби, однако, нет преимуществ, которые дает человеку сильно развитая зрительная система, поэтому, если вы попросите его забрать белье из химчистки Elite Cleaners и учтете на его карте только одну координату, ему нужен будет алгоритм, чтобы «открыть» Юниверсити-авеню на основе GPS-координат магазинов. Ключ к решению проблемы — заметить, что, если поставить начало координат плоскости x, y в усредненное расположение магазинов и медленно поворачивать оси, магазины окажутся ближе всего к оси x при повороте примерно на 60 градусов, то есть когда ось совпадает с Юниверсити-авеню:
Это направление — так называемая первая главная компонента данных — будет направлением, вдоль которого разброс данных наибольший. (Обратите внимание: если спроецировать магазины на ось x, на правом рисунке они будут находиться дальше друг от друга, чем на левом.) Обнаружив первую главную компоненту, можно поискать вторую, которой в данном случае станет направление наибольшей дисперсии под прямым углом к Юниверсити-авеню. На карте остается только одно возможное направление (направление перекрестков). Но если бы Пало-Альто находился на склоне холма, одна или две главные компоненты частично были бы расположены непосредственно на холме, а третья — последняя — оказалась бы направлена в воздух. Ту же идею можно применить к тысячам и миллионам измерений данных, как в случае изображений лиц: нужно последовательно искать направления наибольшей дисперсии, пока оставшаяся вариабельность не окажется наименьшей. Например, после поворота осей на рисунке выше координата y большинства магазинов будет равна нулю, поэтому среднее y окажется очень маленьким, и, если его вообще проигнорировать, потеря информации получится незначительной. А если мы все же решим сохранить y, то z (направленная вверх) наверняка будет несущественна. Как оказалось, линейная алгебра позволяет провести процесс поиска главных компонент всего за один цикл, но еще лучше то, что даже в данных с очень большим количеством измерений значительную часть дисперсии зачастую дают всего несколько измерений. Если это не так, все равно визуальный поиск двух-трех важнейших измерений часто оказывается очень успешным, потому что наша зрительная система дает удивительные возможности восприятия.
Метод главных компонент (Principal Component Analysis, PCA), как называют этот процесс, — один из важнейших инструментов в арсенале ученого. Можно сказать, что для обучения без учителя это то же самое, что линейная регрессия для контролируемого множества. Знаменитая «клюшкообразная» кривая глобального потепления, например, была получена в результате нахождения главной компоненты различных рядов данных, связанных с температурой (годичные кольца деревьев, ледяные керны и так далее), и допущения, что это запись температуры как таковой. Биологи используют метод главных компонент, чтобы свести уровни экспрессии тысяч различных генов в несколько путей. Психологи обнаружили, что личность можно выразить пятью факторами — это экстраверсия, доброжелательность, добросовестность, нейротизм и открытость опыту, — которые оценивают по твитам и постам в блогах. (У шимпанзе, предположительно, есть еще одно измерение — реактивность, — но их с помощью Twitter не оценишь.) Применение метода главных компонент к голосам на выборах в Конгресс и данным избирателей показывает, что, вопреки расхожему мнению, политика в основном не сводится к противостоянию либералов и консерваторов. Люди отличаются в двух основных измерениях — экономических и социальных вопросах, — и, если спроецировать их на одну ось, либертарианцы смешаются с популистами, хотя их позиции полярно противоположны, и возникнет иллюзия, что в центре много умеренных. Попытка апеллировать к ним вряд ли окажется выигрышной стратегией. С другой стороны, если либералы и либертарианцы преодолеют взаимную неприязнь, они могут стать союзниками в социальных вопросах, где и те и другие выступают за свободу личности.
Когда Робби подрастет, он сможет применять один из вариантов метода главных компонент для решения проблемы «эффекта вечеринки», то есть чтобы выделить из шума толпы отдельные голоса. Схожий метод может помочь ему научиться читать. Если каждое слово — измерение, тогда текст — точка в пространстве слов, и главные направления этого пространства окажутся элементами значения. Например, «президент Обама» и «Белый дом» в пространстве слов далеко отстоят друг от друга, но в пространстве значений близки, потому что обычно появляются в схожих контекстах. Хотите верьте, хотите нет, но такой тип анализа — все, что требуется и компьютерам, и людям для оценки сочинений на экзаменах SAT (стандартизованный тест для приема в высшие учебные заведения США). В Netflix используется похожая идея. Вместо того чтобы рекомендовать фильмы, которые понравились пользователям со схожими вкусами, система проецирует и пользователей, и фильмы в «пространство вкуса» с низкой размерностью и рекомендует картины, расположенные в этом пространстве рядом с вами. Это помогает найти фильмы, которые вы никогда не видели, но обязательно полюбите.
