Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №1 - Цыбанова

Кроме того, можно усмотреть следующее. Уравнение (1') (или (1")) — это неоднородное сравнение первой степени (т. е. линейное сравнение). Согласно общей теории, общее решение неоднородного сравнения есть сумма частного решения неоднородного сравнения и общего решения однородного сравнения ах = ()(mod b). Таким образом, задача разбилась на две.

Займемся сначала неоднородным сравнением (1") — Рассматривая эквивалентное уравнение (1'), замечаем (стандартное рассуждение — см. [1]), что если числа а и b делятся на число k, то на это же число должно делиться и с. Поскольку это верно для любого общего делителя а и Ь, то это верно и для их наибольшего общего делителя (а, Ь) =< 1. Таким образом, делимость с на <1 — необходимое условие разрешимости сравнения (1").

В нашем случае а = 27, b = 8, (а, Ь) = 1, т. е. числа а и b взаимно просты, поэтому сравнение (1") разрешимо при любом с.

Из приведенного рассуждения следует и способ решения сравнения (1") — Если мы умеем решить уравнение ах₀ — by₀ =< d, то умножив его на целое число c/d (поскольку необходимо с делится на d), мы получим решение уравнения (1').

В нашем случае d = 1, и кратчайший способ решения уравнения ах₀ — by₀ = 1 дается в [2]. Именно, надо разложить число a/b в цепную дробь, и если а = р_n, b = q_n то положить х = (-1)^n-1q_n-1, y = (-1)^n-1p_n-1.Это следует просто из того, что q_{n_1}p_n — q_np_n-1 = (-1)^n-1.

В нашем случае

Поэтому

И в самом деле: 27∙3–8∙10 = 81–80 = 1, поэтому берем x₀ = 3, у₀ = 10. Значит частным решением уравнения аx₁ — by₁ = с будет х₁ =3∙2, y₁ = 10∙2.

Что касается однородного уравнения ах — by = 0, то очевидным семейством решений его будет х = b∙k, у = a∙k, k — произвольное целое число. То, что это общее решение однородного уравнения следует из того, что данное уравнение эквивалентно сравнению ах = ()(mod b) и в силу взаимной простоты а и b это сравнение можно поделить на а (см. [3]), после чего сравнение превращается в х = ()(mod b), т. е. х должно делиться на Ь.

В итоге, получаем решение

уравнения (1). Поэтому в исходных переменных получаем:

Если здесь положить k = —1, то получаем дираковское решение: n₀ = n₃ = —2. Однако видно, что оно вовсе не наименьшее, и существует множество других, еще меньше. Впрочем, в каком-то смысле дираковский ответ действительно наименьший из возможных: именно, если искать наименьшее по абсолютной величине возможное количество рыб, то таким в самом деле окажется (-2).

_{Список литературы}

_{[1] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 285.}

_{[2] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 303.}

_{[3] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 275–276.}

Рассмотрим вопрос о количестве решений уравнения

a^x = log_ax (1)

на полуоси х > 0 при 0 < a < 1. Именно, нас интересует вопрос о том, при каких a количество решений равно трем.

Если ψ(х) = а^х, то log_a х = ψ^-1(х), и наше уравнение (1) принимает вид ψ(х) = v^-1(х), что равносильно ψ(ψ(х)) = x или

(2)

Для удобства дальнейшего введем новую переменную t = х∙In а и функцию

Тогда

(3)

и уравнение (2) превращается в

(4)

Найдем количество решений данного уравнения. Для этого прежде всего исследуем функцию F(t).

Поскольку исходная функция ψ(х) определена на интервале х > 0 и 0 < а < 1, то In а < 0 и t = х In а < 0, т. е. функция F(t) определена на интервале t € (—оо,0).

Асимптотики в предельных точках: lim_t->-ooF(t) = 0–0, lim_t->0–0F(t) = —oo. Т. е. функция F имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Далее,

Рис. 1: График функции F(t)

Для нахождения экстремумов функции F рассмотрим функцию φ(t) = te^t и найдем корни уравнения φ(t) = 1/ln a. Видно, что на интервале t € (—оо,0) имеют место соотношения: lim_t->oo φ(t) = 0–0, φ(0) = 0. Далее, φ'(t) = e^t(t + 1), φ"(t) = e^t(t + 2) и вообще φ⁽ⁿ⁾(t) = e^t(t + n). Поэтому minimum функции φ находится в точке t_min — 1 и равен φ_min = — e^-1

Рис. 2: График функции φ(t) и определение положения точек t₁, и t₂.

Значит:

1) При 1/ln a <= — e^-1 <=> a >= e^-e экстремумов у функции F нет.

2) При а < е^-e функция F имеет один minimum в точке t₁, равный F_min = a^et1/t₁ и один maximum в точке t₂ > t₁, равный F_max = a^et2/t₂; при этом t₁ < = t_min= -1 и t₂ > t_min = -1.

Таким образом уравнение (4) имеет три решения только в случае 2) и лишь в том случае если

F_min > 1/ln a < F_max. (5)

При этом в случае 2) условие (5) является не только необходимым, но и достаточным для наличия у уравнения (4) трех решений. Точки t₁ и t₂ определяются условиями φ(t₁) = t₁e^t1 = φ(t₂) = t₂e^t2 = 1/ln a. Т. е. необходимое и достаточное условие наличия трех решений принимает вид

Левые части уравнений в условиях (6) не зависят от а, и потому эти уравнения имеют вид f(t) = g(a), в то время как неравенства (6) данным свойством не обладают