Иногда простые множители снятся мне по ночам.
В конце концов Киеран отваливает, и я понимаю, что иду в одиночестве. Ну, не совсем в одиночестве, иду я вместе с группой, но никто не семенит под боком и не треплется. Горло полно битого стекла. Все такое красивое; волнующий ландшафт окружает меня. Но я просто хочу завалиться спать. Когда мы добираемся до места, похожего, по-нашему мнению, на Большого Ястреба, и садимся на влажную травку, чтобы начать медитацию, я пользуюсь возможностью и немного кемарю, прислонясь к большому старому дереву, так что после сеанса Бену приходится меня расталкивать. Когда мы снова трогаемся, ноги мои налиты свинцом и тяжелы настолько, что, кажется, мне и шагу не ступить.
Непонятно, как нам удается, но, используя этот диковинный метод — медитация плюс ориентация по компасу (ни того, ни другого я лично не делаю, но могу дать независимое свидетельство: почти все остальные делают) — мы в конце концов и вправду оказываемся на берегу реки Миви; на часах — самое начало третьего. Видим знак, подтверждающий, что речь шла именно об этой реке, дружно аплодируем и кричим «ура». И, идя вдоль течения, готовые попытаться «увидеть» пресловутого пшеничного зайца, натыкаемся на паб, куда дружно заваливаемся, запыхавшиеся и голодные. Я съедаю пиалу супа и выпиваю «Кровавую Мэри», но моя простуда зашла слишком далеко. Спасения не будет. После трапезы силы совсем меня покидают. В пабе топят камин, отчего воздух жаркий и вязкий, словно сироп. На стенах — всякая жуть вроде набитых опилками оленьих голов и фотографий со сценами охоты. Они истекают кровью в небытие, когда я закрываю глаза, прижимаюсь виском к столу и всему на свете говорю «прощай».
— Я отвезу ее обратно, — слышу я голос Бена. — Ей нехорошо.
Потом — нежные руки, прохладный воздух и автомобильный мотор. Наконец, хруст гравия подтверждает, что мы вернулись домой.
Параллельно с работой над факторизацией я читаю книгу, одолженную мне бабушкой, о Курте Гёделе. Судя по всему, давным-давно дедушка был просто одержим его теориями. И вполне понятно, почему. С тем же суровым анархизмом в душе, к какому склонен дедушка, Гёдель задался целью продемонстрировать, что ни одну математическую теорему нельзя доказать исчерпывающим образом — не потому, что математика противоречива, а потому, что ей никогда не стать полностью безупречной.
В 1900 году немецкий математик Давид Гильберт дал знаменитую лекцию: он огласил двадцать три математические проблемы, которые, по его убеждению, должны стать ключевыми задачами нового столетия. Первой проблемой была «гипотеза континуума» — теория, согласно которой между алефом-нуль и алефом-один нет никакой другой бесконечности; нет промежуточного звена между Канторовыми понятиями счетного множества и несчетного множества («континуума»). Гипотеза Римана была восьмой в списке. Но Гильберт также потребовал, чтобы сами принципы и основания математики — ее аксиомы — были раз и навсегда приведены в порядок. Это была проблема номер два. Общественность тогда уже забеспокоилась: в самом ли деле непротиворечива закрытая система математики? и верны ли ее аксиомы? Если бы она содержала внутренние противоречия, тогда все доказательства всех теорем, известных к тому времени, не стоили бы ровным счетом ничего (это при условии, что хоть кто-то знал, что же такое «ничего»). Что, если, к примеру, гипотеза Римана истинна и в то же время ложна? Если 1 + 1 = 2 и одновременно 1 + 1 = 3? Такое никуда не годится.
Аксиомы — основы основ математики. Аксиомы — это утверждения, которые не могут быть доказаны, однако образуют базис для всех математических доказательств, а те, в свою очередь, являются логическими свидетельствами того факта, что нечто всегда будет обстоять строго определенным образом. Евклид, например, сформулировал доказательство, что простых чисел бесконечно много, а Кантор «сузил» эту бесконечность до алефа-нуль, или א0. Доказательство теоремы Пифагора (а теперь я знаю, что это за штука, потому что она есть в моей книжке: она гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника всегда равен сумме квадратов двух других сторон) основано не на том, что кто-то рассматривает тьму-тьмущую прямоугольных треугольников, измеряет длины сторон и говорит: «Опаньки, кажется, тута все в порядке». Доказательство, элегантное и простое, объяснит, почему так будет всегда, до скончания вечности, для всех прямоугольных треугольников. У теоремы Пифагора много разных доказательств.
Аксиомы — то, на чем строятся доказательства, вроде утверждения «1 + 1 = 2», — иногда называют «самоочевидными»; другие «аксиомы» оказались теоремами и были доказаны. Две точки всегда можно соединить прямой линией. Все прямые углы равны между собой. Все целые составные числа являются произведением меньших простых. Это — аксиомы. Они слегка похожи на отправные точки путешествия. Выходишь из одного пункта, и, следуя указаниям, прибываешь в другой. Однако нужно знать, откуда именно стартуешь, прежде чем сможешь получить или использовать указания. Если получишь правильные указания, но пойдешь не оттуда, откуда надо, в конце концов окажешься в каком-нибудь совершенно неожиданном месте. Доказательство, сформулированное с помощью ложных аксиом, заведет в тупик.
До лекции Гильберта теория множеств одарила математику множеством проблем. А без множеств в непротиворечивой математике не обойтись. Они говорят тебе, чем вещи являются, а чем — нет; какие идеи имеют одни и те же свойства или подчиняются одинаковым правилам (а также с какими различными типами бесконечности ты можешь столкнуться). На них базируются аксиомы. Ты говоришь: «Множество треугольников — это множество трехсторонних двумерных фигур, сумма углов которых равна 180°», и, пока ведешь речь о треугольниках на плоскости, а не на сфере, у тебя все в порядке. Но в 1903 году Бертран Рассел изобрел несколько парадоксов, иллюстрирующих следующую проблему: множество (или класс) не может содержать само себя. Представьте Севильского Цирюльника. Он бреет каждого мужчину, который не бреется сам. Так вот, бреется ли Цирюльник? Если да, тогда нет, а если нет, тогда — да! Точно как в парадоксе «Лжец»! Несмотря на свою очевидную любовь к парадоксам, Расселл далее попытался разрулить такого рода проблемы, со своим учителем Альфредом Нортом Уайтхедом написав «Principia Mathematica», опубликованные в 1910 году. В трех пухлых томах эта работа фиксировала основные аксиомы и правила математики. После этого все в математике было о'кей — по крайней мере, как в старые добрые времена, — и никакие мерзкие парадоксы не мутили воду, пока не явился Курт Гёдель и все опять не испортил, доказав в 1930 году две теоремы, которым суждено было стать известными под общим названием Гёделевской теоремы о неполноте. Его теории объясняли, как можно отыскивать фундаментальные парадоксы в системе математики. Он сделал это, использовав код.
Как я поняла (а я, в конце концов, ребенок, так что это — упрощенная версия), Гёдель изобрел умный способ присваивать утверждениям числовые коды. Он действовал так: присваивал числа всем частям математического (или иного) утверждения, а потом использовал эти числа для получения другого — уникального, большого числа. Оказывается, это в точности как составление тайного кода! Гёделевский код был чуть изощреннее, но, скажем, вы приписываете математическим символам следующие значения:
У всех символов теперь есть номера, с которыми можно работать. Утверждение «1 + 1 = 2» в этой системе будет представлено последовательностью «6, 3, 6, 5, 7». А сейчас — умный ход. Чтобы превратить эту комбинацию в уникальное большое число, нужно использовать простые числа. Вы берете ряд простых чисел — вспомните: он начинается 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… — и возводите первое простое в степень вашего первого числа, второе — в степень второго и так далее. Потом перемножаете результаты. В данном случае у вас получится 26×33×56×75×117, что равно 8 843 063 840 920 000 000. Зверски огромное число! Оно даже толком не влезает на экран моего калькулятора.
Каждое составное число является уникальным произведением своих простых делителей. 21 можно разложить только как 3×7. И никак иначе. То же самое с созданным нами огромным числом. Оно может быть только произведением данной комбинации степеней простых чисел. Стало быть, чтобы получить теперь ваше первоначальное утверждение, остается лишь факторизовать это число. Но помилуйте! Порой у меня уходит больше часа на разложение трехзначного числа. Кто возьмется сесть и расколоть это — и все лишь затем, чтобы выяснить: 1 + 1 = 2? Но, оказывается, эта система кодирования не предназначена для практики. Она изобретена только для демонстрации того, что может произойти. Теорема Гёделя гласит, что так закодировать можно вообще любое утверждение. Не имеет значения, насколько легко проделать все нужные калькуляции; важна единственность результата. С помощью своей системы Гёдель доказал, что возможна ситуация, в которой число 128 936 (к примеру) будет кодом утверждения: «Утверждение номер 128 936 доказать нельзя». Может быть, не так уж и вероятно, но все равно возможно.
