к оглавлению
довольствовались наблюдением за падением вещей вокруг себя, не удивляясь тому, что падающие тела путешествуют вдоль определенного вида кривой.
Первым, кто исследовал пути, вычерчиваемые падающими телами, был итальянец Галилео Галилей в начале 17-го столетия. Он представил свои результаты в Диалоге о двух новых науках, который он записал, будучи семидесятилетним, когда находился под домашним арестом у Инквизиции. В этой книге он сообщил, что падающие тела всегда путешествуют вдоль одного и того же сорта кривой, который суть парабола.
Галилей не только открыл, как объекты падают, но и объяснил свое открытие. Тот факт, что падающие тела описывают параболу, является прямым следствием другого факта, который он первым наблюдал, что все объекты, которые бросаются или выпадают, падают с постоянным ускорением.
Наблюдение Галилея, что все падающие объекты описывают параболу, является самым удивительным открытием во всей науке. Падение универсально, и таков же вид кривой, по которой движутся падающие тела. Не имеет значения, из чего сделан объект, как он собран воедино или каково его назначение. Так же не имеет значения, сколько раз, с какой высоты или с какой скоростью мы уронили или бросили вперед объект. Мы можем повторять эксперимент снова и снова, и всякий раз это парабола. Парабола одна из простейших для описания кривых. Она представляет собой набор точек, находящихся на равном расстоянии от точки и от линии. Так что один из самых универсальных феноменов является также одним из самых простых.
Рис.1. Определение параболы: точки, равноудаленные от точки и от линии.
к оглавлению
Парабола является математической концепцией - примером того, что мы называем математическим объектом, - который был известен математикам задолго до времени Галилея. Наблюдение Галилея, что тела падают вдоль параболы, является одним из первых примеров полученного нами закона природы, - что означает регулярность, систематичность в поведении некоторой малой подсистемы вселенной. В этом случае подсистемой является объект, падающий вблизи поверхности планеты. Это происходило гигантское число раз после начала вселенной и в гигантском числе мест; следовательно, имеется много примеров, к которым применим закон.
Тут имеется вопрос, который ребенок может задать, когда станет постарше: Что говорит о мире тот факт, что падающие объекты вычерчивают такую простую кривую? Почему математическая концепция вроде параболы, изобретение чистого разума, должна что-то делать с природой? И почему такой универсальный феномен как падение должен иметь математический аналог, который является одной из простейших и самых красивых кривых во всей геометрии?
*
Со времен открытия Галилея физики плодотворно использовали математику в описании физических явлений. Для нас сейчас может показаться очевидным, что закон должен быть математическим, но почти 2000 лет после того, как Евклид сформулировал свои аксиомы геометрии, никто не предложил математический закон, применимый к движению объектов на Земле. Со времен античных греков до 17 столетия образованные люди знали о существовании параболы, но ни одному из них не показалось удивительным, что мячи, стрелы и другие объекты, которые падают, сваливаются или кидаются, движутся вдоль какой-либо особой кривой [1]. Любой из них мог бы сделать открытие Галилея; приспособления, которые он использовал, применялись и Платоном в Афинах и Ипатией в Александрии. Но никто не сделал. Что изменилось, чтобы заставить Галилея подумать, что математика играет роль в описании чего-то столь же простого как падение вещей?
Этот вопрос приводит нас в круг вопросов, которые легко поставить, но на которые тяжело ответить. Что такое математика? Почему она приходит в науку?
к оглавлению
Математические объекты создавались из чистого разума. Мы не открываем параболу в природе, мы изобретаем ее. Парабола, или окружность или прямая линия есть идея. Она должна быть сформулирована, и затем зафиксирована в определении. 'Окружность есть набор точек, равноудаленных от отдельной точки. ... Парабола есть набор точек, равноудаленных от точки и от линии'. Раз мы имеем понятие, мы можем непосредственно из определения кривой вывести ее свойства. Как мы изучали в курсе геометрии старших классов, это рассуждение может быть формализовано в виде доказательства, каждый аргумент которого следует из предыдущего аргумента по простым правилам вывода. И наблюдение или измерение не играют роли ни на одном этапе этого формального процесса доказательства [2].
Рисунок может аппроксимировать свойства, продемонстрированные доказательством, но всегда неидеально. То же самое верно для кривых, которые мы находим в мире: изгиб спины кошки, когда она потягивается, или тросы висячего моста. Они только приблизительно будут следовать математической кривой; когда мы приглядимся более тщательно, всегда будет некоторое несовершенство в реализации. Итак, основной парадокс математики: Вещи, которые она изучает, нереальны, однако они почему-то проливают свет на реальность. Но как? Соотношение между реальностью и математикой далеко не очевидно даже в этом простом случае.
Вы можете удивиться, сколько математики нужно изучить вместе с изучением гравитации. Но это необходимое отвлечение, поскольку математика находится в сердце тайны времени так же, как и гравитация, и мы должны разобраться, как математика соотносится с природой в таком простом случае как падение тел вдоль кривых. В противном случае, когда мы доберемся до сегодняшней эры и столкнемся с утверждениями типа 'Вселенная есть четырехмерное пространственно-временное многообразие', мы окажемся без руля. Не поплавав в водах, достаточно мелких для нас, чтобы увидеть дно, мы будем легкой добычей мистификаторов, которые захотят продать нам радикальные метафизические фантазии под видом науки.
Хотя совершенная окружность и парабола никогда не встречаются в природе, они разделяют с природными объектами одну особенность: сопротивляемость манипуляциям со стороны нашей фантазии и нашего желания. Число π - отношение длины окружности к ее диаметру - суть идея. Но как только его концепция изобретена, его величина становится объективным свойством, одним из тех, что
к оглавлению
должны быть открыты с помощью дальнейших рассуждений. Предпринимались попытки законодательно определить величину π, и они приводили к глубокому недоразумению. Никакое количество желания не сделает величину π хоть сколько-нибудь другой, чем она есть. То же самое верно для всех других свойств кривых и других объектов математики; эти объекты таковы, каковы они есть, и мы можем быть правыми или ошибаться в отношении их свойств, но мы не можем изменить их.
Большинство из нас преодолели нашу неспособность летать. В конечном счете, мы признаем, что мы не имеем влияния на многие аспекты природы. Но не тревожит ли слегка, что имеются концепции, существующие только в наших разумах, чьи свойства также объективны и независимы от наших желаний, как вещи природы? Мы изобретаем кривые и числа математики, но с момента, как мы их изобрели, мы не можем их поменять.
Но даже если кривые и числа имеют сходство с объектами естественного мира по стабильности их свойств и по их сопротивляемости нашей воле, они не те же самые, что и природные объекты. У них нет одного базового свойства, присущего каждой отдельной вещи в природе. Здесь в реальном мире всегда имеет место некоторый момент времени. Все, что мы знаем в мире, участвует в течении времени. Каждое наблюдение, которое мы делаем о мире, можно датировать. Каждый из нас и все, что мы знаем о природе, существует в интервале времени; до или после этого интервала мы и наши знания не существуем.
Кривые и другие математические объекты не живут во времени. Величина π не появляется с даты, до которой она была другой или неопределенной и после которой она изменится. Если верно, что две параллельные линии на плоскости никогда не встречаются, как определено Евклидом, то это всегда было и всегда будет верным. Утверждения о математических объектах, подобных кривым и числам, верны в том смысле, который не нуждается ни в какой оговорке по отношению ко времени. Математические объекты переступают пределы времени. Но как что-нибудь может существовать без существования во времени? [3].
Люди спорили об этих проблемах тысячелетиями, и философы все еще должны достичь согласия по их поводу. Но одно предположение было на столе всегда с тех пор, когда эти вопросы впервые обсуждались. Оно заключалось в том, что кривые, числа и другие математические объекты существуют столь же жестко, как то, что мы видим в природе, - исключая то, что они не в нашем
