Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.
Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей» (см., например, в ст. Геометрия , раздел Истолкование геометрии).
Понятие И. включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма , играющее основную роль в топологии .
Частным случаем И. является автоморфизм — взаимно однозначное отображение
системы объектов с заданными отношениями Fk (x 1 , x 2 , ...) на самоё себя, при котором из Fk (x 1 , x 2 , ...) вытекает F'k (x' 1 , x' 2 , ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М. — Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951.
Изоморфи'зм (от изо... и греч. morphé — вид, форма), свойство веществ, аналогичных по химическому составу, кристаллизоваться в одинаковых формах. Впервые было показано немецким минералогом Э. Мичерлихом (1819) на примере KH2 PO4 , KH2 AsO4 и NH4 H2 PO4 . Вскоре было обнаружено, что первые два вещества образуют смешанные кристаллы («твёрдые растворы») с единой внешней формой при произвольном отношении P : As, в то время как в других парах аналогичные замещения ограничены количественно. Первый случай отвечает понятию «совершенный И.», а второй — понятию «ограниченный», или «несовершенный И.». Если количества замещающего элемента невелики, но существенны для поисковика минералога-геохимика, то говорят об эндокриптии (по А. Е. Ферсману , замещение узлов кристаллических решёток ионами того же знака, но разных свойств и мало сходных величин). Требование родственности взаимозамещающихся элементов при И. первоначально понималось как чисто химическая близость, и первые ряды изоморфных элементов (В. И. Вернадский ; см. Геохимия ) повторяли группы менделеевской системы с некоторыми дополнениями известных из аналитической химии групп, например Al, Cr, Fe. Выяснилось, однако, что невозможно, например, замещение Na на Rb; твёрдые растворы К- и Na-coeдинений энергично распадаются при низких температурах (распад К-, Na-полевых шпатов). Решающим для объяснения этих явлений при И. было введение (В. М. Гольдшмидт , 1926) представления об ионных радиусах , близость которых стала одним из основных условий И. У полновалентных катионов (Na1+ , Mg2+ ,..., S6+ ,...) ионный радиус r быстро уменьшается вдоль строки менделеевской системы и резко увеличивается вдоль вертикали на величины, большие чем 10—15% (экспериментальный предел для возможности И.). В результате изоморфными оказываются элементы, соседние по диагоналям (Д. И. Менделеев, А. Е. Ферсман), например ряд Na—Ca (r Na = 0,98, r Ca = 1,02), который представлен в плагиоклазах, составляющих более 50% земной коры. Эта диагональ продолжается к редкоземельным элементам, и именно благодаря постоянному изоморфному вхождению редкоземельных элементов в Са-минералы эти элементы долгое время считались двухвалентными (только Д. И. Менделеев перевёл их в III группу). Другие характерные «диагональные» пары: Li—Mg, Mo—Re, Be—Al и т. д. Если, однако, строки менделеевской системы длинные (с 32 клетками), то описанное сокращение радиусов вдоль строки заходит так далеко, что катионы одной и той же менделеевской группы выравнивают свои радиусы, т. е. у элементов одной группы, разделённых по вертикали «лантанидным сжатием», И. становится весьма ярко выраженным. Это относится к парам Ba—Ra, Zr—Hf, Nb—Ta и др. Но как ни близки между собой Nb и Ta, их легче отделить друг от друга, чем отделить от Ti, с которым они связаны диагональным изоморфизмом. Таким образом, изовалентный И. представлен намного скромнее (во всяком случае количественно), чем гетеровалентный И. Возникает вопрос, как компенсировать в структуре кристалла изменение валентности, например её увеличение при И. Ca2+ ® Na1+ . Решение просто, когда элемент на середине диагонали замещается двумя соседними по разные стороны, например
Особенно часто компенсация достигается за счёт одновременного гетеровалентного И. «в обратном направлении». В плагиоклазах замена Ca2+ на Na1+ сопровождается параллельно замещением Al3+ на Si4+ : Возникает вопрос, как быть с радиусами Si4+ (0,39) и Al3+ (0,57), различающимися на 46%. Значительная разница между радиусами не является препятствием при гетеровалентном И., так как в анионной, более отрицательной части соединений заменяют друг друга не атомы, а тетраэдрические группы, например SiO4- 4 и AlO5- 4 , в которых эффективные расстояния Si—О и Al—О (1,72 и 1,90) разнятся всего лишь на 9%. Литий, например, в более «катионной» форме, имеющий координацию 6, замещает по правилу диагонали Mg (в биотитах); находясь же среди четырёх О, способен заменить Be в берилле: [LiO4 ] ® [BeO4 ]. Разобранные закономерности касаются в основном случаев изоморфных замещений между полновалентными ионами типа «благородных газов» в соединениях, которые подчиняются законам элементарной энергетики (формулы А. Ф. Капустинского). Для переходных металлов, образующих соединения существенно ковалентного типа и стремящихся создать возле себя за счёт донорско-акцепторного механизма группы электронов 8, 13—14, 18, закономерности И. иные. Так, в случае пары элементов с одним и тем же радиусом, например Zn2+ и Fe2+ , мы встречаемся с односторонним И. Цинк в своём главном соединении ZnS (сфалерит) допускает вхождение до 20% Fe, но Zn совершенно отсутствует в FeS. Причина лежит в возможности для Fe иметь как шестерную координацию, так и четверную, тогда как для Zn всегда в сульфидах — четверная координация.
И. очень распространён в природе. Широким развитием изоморфных замещений объясняется сложный химический состав большинства минералов, особенно из группы силикатов . Примером совершенного И. являются минералы переменного состава, дающие непрерывные ряды: плагиоклазы, скаполиты, вольфрамиты и др. Законы изоморфного замещения объясняют распределение редких элементов, находящихся в виде примесей в горных породах и рудах. Так, значительная часть иттрия и редких земель находится в апатите, сфене и флюорите, изоморфно замещая кальций; трёхвалентный ванадий замещает в магнетите окисное железо; селен — серу в пирите и т. д. Учение об И. является основой для изучения форм нахождения элементов в горных породах и процессов концентрации и рассеяния химических элементов в земной коре.
Лит.: Вернадский В. И., Очерки геохимии, 4 изд., М. — Л., 1934; Ферсман А. Е., Геохимия, 2 изд., т. 1, Л, 1934; Менделеев Д. И., Соч., т. 1, Л., 1937; Гольдшмидт В. М., Кристаллохимия, пер. с нем., Л., 1937; Сто лет периодического закона химических элементов, М., 1969.
Н. В. Белов.
Изоморфизм языковых планов
Изоморфи'зм языковы'х пла'нов, параллелизм в организации звуковой и смысловой сторон языка (так называемых плана выражения и плана содержания ). Термин «изоморфизм» связан с именем польского языковеда Е. Куриловича, употреблявшего его для обозначения структурных аналогий между звуковыми и семантическими единицами, например слогом и предложением (обе единицы представляют собой иерархическую структуру с центральным, обязательным компонентом: гласной для слога, сказуемым для предложения, и маргинальными, факультативными компонентами: согласными для первой единицы, прочими членами предложения для второй). Идея глубокого структурного параллелизма обоих языковых планов является одной из основных идей глоссематической концепции Л. Ельмслева, основателя копенгагенской структуральной школы (см. Глоссематика ). Об И. я. п. можно говорить, если имеют в виду отношения между абстрактными единицами, т. е. типами или классами единиц, того и другого планов (например, иерархическая последовательность таких типов звуковых единиц, как дифференциальный признак, фонема, слог, фонологическое слово, структурно аналогична последовательности таких семантических единиц, как сема, семема, ономатема, предложение), но не отношения между членами этих классов (конкретными фонемами и конкретными семемами и т. п.), так как количество единиц содержания значительно превышает количество единиц выражения. Некоторые авторы считают возможным говорить об изоморфизме языковых уровней (см. Уровни языка ), подчёркивая в первую очередь необходимость применять при исследовании уровней одни и те же методы и принципы.
