1) частная модель регрессии для второго квартала:
yt=β0+ β1*t+δ2+εt;
2) частная модель регрессии для третьего квартала:
yt=β0+ β1*t+δ3+εt;
3) частная модель регрессии для четвёртого квартала:
yt=β0+ β1*t+δ4+εt.
Данные частные модели регрессии отличаются друг от друга только на величину свободного члена δi.
Коэффициент β1 характеризует среднее абсолютное изменение уровней временного ряда под влиянием основной тенденции.
Сезонная компонента для каждого сезона рассчитывается как разность между средним значением свободных членов всех частных моделей регрессий и значением постоянного члена одной из моделей.
Среднее значение свободных членов всех частных моделей регрессий рассчитывается по формуле:
Для поквартальных данных оценка сезонных отклонений осуществляется по формулам:
1) оценка сезонного отклонения для первого квартала:
2) оценка сезонного отклонения для второго квартала:
3) оценка сезонного отклонения для третьего квартала:
4) оценка сезонного отклонения для четвёртого квартала:
Сумма сезонных отклонений должна равняться нулю.
78. Одномерный анализ Фурье
Одним из основных методов моделирования сезонных и циклических колебаний является метод, основанный на применении одномерных рядов Фурье. В свою очередь, ряды Фурье являются одной из разновидностей спектрального анализа.
С помощью спектрального анализа в структуре временного ряда определяется пик отклонений от тренда, что позволяет рассчитать длительность периодической компоненты ряда.
Для того, чтобы к временному ряду можно было применять методы спектрального анализа, его необходимо привести к стационарному виду.
Суть спектрального анализа заключается в том, что случайный стационарный процесс представляется как сумма гармонических колебаний различных частот, называемых гармониками.
Спектром называется функция, которая описывает распределение амплитуд случайного стационарного процесса по различным частотам.
Сезонная компонента временного ряда может быть разложена в ряд Фурье.
Сезонные колебания, разложенные рядом Фурье, представляют собой сумму нескольких синусоидальных и косинусоидальных гармоник с различными периодами:
где uk, υk – некоррелированные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями:
D(uk)=D(υk)=Dk;
ωk– длина волны функции синуса или косинуса, называемая частотой.
Частота выражается числом циклов (периодов) в единицу времени.
Цель спектрального анализа временных рядов заключается в оценивании спектра ряда. Спектр временного ряда можно определить как разложение дисперсии ряда по частотам для определения значимых гармоник.
Значение спектра временного ряда рассчитывается по формуле:
где ωj – частоты, для которых оцениваются спектры:
ck – автокорреляционная функция, значения которой рассчитываются по формуле:
λk – специально подобранные веса значений ковариационной функции, зависящие от частоты m, которые называются корреляционным окном.
Корреляционным окном называется преобразованная форма взвешенного скользящего среднего шириной m.
Дисперсия ряда Фурье рассчитывается по формуле:
Дисперсия ряда Фурье равна сумме всех гармоник её спектрального разложения.
Следовательно, дисперсия D(yt) распределена по различным частотам. Графически распределение дисперсии ряда Фурье изображается с помощью периодограммы. Суть анализа периодограммы заключается в определении частоты или периода с наибольшими спектральными плотностями, которые вносят наибольший вклад в периодические колебания временного ряда, что позволит определить его основной период колебания.
Ряд Фурье вида
можно рассматривать как линейную модель множественной регрессии.
Результативной переменной в данной модели будут являться значения временного ряда, а независимыми переменными – функции синусов всех возможных частот. Коэффициенты uk при косинусах и υk при синусах будут представлять собой коэффициенты модели регрессии, которые показывают степень, с которой коррелированности соответствующих функций с исходными данными. Если рассчитанное значение коэффициента при определённом синусе или косинусе достаточно велико, то на соответствующей частоте в исходных данных существует строгая периодичность.
79. Методы фильтрации временного ряда
Методы фильтрации временных рядов предназначены на решение проблем, возникающих при исследовании взаимосвязи между двумя и более временными рядами, с помощью исключения из них трендовой и сезонной компонент.
К проблемам, которые позволяют устранить методы фильтрации временных рядов, относятся:
1) проблема ошибочности показателей тесноты и силы связи:
а) если временные ряды, между которыми изучается взаимосвязь, содержат циклическую или сезонную компоненту одинаковой периодичности, то в результате значение показателей тесноты связи будет завышено;
б) если один из временных рядов содержит циклическую или трендовую компоненту или периодичность совместных колебаний различна, то в результате значение показателей тесноты связи будет занижено;
2) проблема «ложной корреляции»:
а) если временные ряды, между которыми изучается взаимосвязь, содержат тренды одинаковой направленности, то уровни этих рядов будут положительно коррелированны;
б) если временные ряды, между которыми изучается взаимосвязь, содержат тренды противоположной направленности, то уровни этих рядов будут отрицательно коррелированны.
Первая проблема решается путём исключения из временного ряда сезонной компоненты.
Если временной ряд представлен в виде аддитивной модели, то сезонная компонента устраняется путём вычитания из исходных уровней ряда показателей абсолютных отклонений Sai.
Если временной ряд представлен в виде мультипликативной модели, то сезонная компонента устраняется путём деления исходных уровней ряда на индексы сезонности Isi.
Проблема “ложной корреляции” решается путём исключения из временного ряда трендовой компоненты.
Предположим, что исследуется зависимость между двумя временными рядами – Х и Y. При этом была построена модель регрессии вида:
Yt=β0+β1*Хt+εt.
Для выявления «ложной корреляции» необходимо провести анализ остатков данной модели регрессии, потому что если в модели присутствует обычная автокорреляция остатков, следовательно, существует и «ложная автокорреляция».
Исключение трендовой компоненты осуществляется с помощью метода отклонений от тренда.
Алгоритм реализации метода отклонений от тренда:
1) вычисляются отклонения уровней временных рядов Yt и Xt от их значений, рассчитанных на основе уравнений тренда:
2) определяется степень тесноты связи между полученными отклонениями с помощью коэффициента корреляции:
3) для линейной модели регрессии строится модель зависимости отклонения e(yt) от e(xt):
e(yt)=a0+a1* e(xt).
Неизвестные коэффициенты данной модели рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов по формулам:
В результате получим модель вида:
e(yt)=a1* e(xt).
Исключение трендовой компоненты можно также осуществить с помощью метода последовательных разностей. При этом рассчитываются разности между текущим и предыдущим уровнями для каждого временного ряда:
Далее рассчитывается показатель линейной корреляции абсолютных цепных приростов по формуле:
На основании показателей абсолютных цепных приростов можно построить линейную модель регрессии вида:
где а1 – это коэффициент, который уравнении характеризует в среднем прирост Y при изменении прироста Х на единицу своего измерения;
а0 – это коэффициент, который характеризует прирост Y при нулевом приросте Х.
С помощью разностных операторов первого порядка можно исключить автокорреляцию только в тех временных рядах, в которых основная тенденция выражена прямой линией.
С помощью разностных операторов второго порядка можно исключить автокорреляцию в тех временных рядах, в которых основная тенденция выражена параболой второго порядка.
