yt=β0+c0z0+c1z1+…+cPzP+εt. (2)
4) оценки неизвестных коэффициентов модели (2) можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Далее на основе полученных оценок коэффициентов
5) найдём оценки коэффициентов
модели (1), используя соотношения, полученные на первом шаге.
К основным недостаткам метода Алмон относятся:
1) необходимо заранее знать величину максимального временного лага L, однако на практике это невозможно. Определить величину лага L можно с помощью вычисления показателей тесноты связи, например, линейных парных коэффициентов корреляции, между результативной переменной у и лаговым значением факторной переменной х. Если показатель тесноты связи является значимым, то данную переменную необходимо включить в модель с распределённым лагом. Порядок максимального значимого показателя тесноты связи принимается в качестве максимальной величины лага L;
2) порядок полиномиальной функции Р также заранее неизвестен. При выборе порядка полинома обычно исходят из того, что на практике не используются полиномы более второго порядка, а выбранная степень полинома должна быть на единицу меньше числа экстремумов в структуре лага;
3) если между факторные переменные коррелируют друг с другом, то новые переменные
которые являются линейной комбинацией факторных переменных x, будут также коррелировать между собой. Поэтому проблема мультиколлинеарности в преобразованной модели (2) устранена не полностью. Однако мультиколлинеарность новых переменных zi в меньшей степени отражается на оценках неизвестных коэффициентов βi исходной модели (1), чем при использовании традиционного метода наименьших квадратов к данной модели.
Основным преимуществом метода Алмон является то, что данный метод является универсальным и может быть использован при моделировании процессов, которые характеризуются различными структурами лагов.
98. Нелинейный метод наименьших квадратов. Метод Койка
Если модель с распределенным лагом характеризуется бесконечной величиной максимального лага L, то для оценивания неизвестных параметров данной модели применяются нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка. При этом исходят из предположения о геометрической структуре лага, т. е. влияние лаговых значений факторной переменной на результативную переменную уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии.
Если в модель включена только одна объясняющая переменная, то её можно представить в виде:
В модели с распределённым лагом (1) неизвестными являются три параметра: β0, β1 и λ. Найти оценки данных параметров с помощью традиционного метода наименьших квадратов невозможно по нескольким причинам, поэтому в данном случае используются нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка
Суть нелинейного метода наименьших квадратов заключается в том, что для параметра
λ определяются значения в интервале [-1;+1] с определённым шагом, например, 0,05 (чем меньше шаг, тем точнее будет результат).
Для каждого значения λ рассчитывается переменная z:
zt=xt+λxt–1+λ2xt–2+λ3xt–3+…+λLxt–L,
с таким значением лага L, при котором дальнейшие лаговые значения переменной x не оказывают существенного влияния на z.
На следующем этапе с помощью традиционного метода наименьших квадратов оценивается модель регрессии вида:
yt=β0+β1zt+εt (2)
и рассчитывается коэффициент детерминации R2. Данный процесс осуществляется для всех значений λ из интервала [-1;+1]. Оценками коэффициентов β0, β1 и λ будут те, которые обеспечивают наибольшее значение R2 для модели регрессии (2).
В основе метода или преобразования Койка лежит предположение о том, что если модель регрессия (1) справедлива для момента времени t, то она справедлива и для момента времени (t–1):
yt–1=β0+β1xt–1+β1λxt–2+β1λ2xt–3+β1λ3xt–4+…+εt,
Умножим обе части данного уравнения на λ и вычтем их из модели регрессии (1). В результате получим выражение вида:
yt– λ yt–1= β0(1– λ)+β1xt+εt–λ εt–1,
или
yt= β0(1– λ)+β1xt+λyt–1+νt, (2)
где νt= εt–λ εt–1.
Полученная модель (2) является моделью авторегрессии, что позволяет проанализировать её краткосрочные и долгосрочные динамические свойства.
Значение переменной yt–1 в краткосрочном периоде (в текущем периоде) рассматривается как фиксированное, а воздействие переменной х на переменную у характеризует коэффициент β1.
Если xtв долгосрочном периоде (без учёта случайной компоненты модели) стремится к некоторому равновесному значению
то yt и yt–1 также будут стремиться к своему равновесному значению, которое вычисляется по формуле:
из чего следует:
Долгосрочное влияние переменной х на переменную у характеризуется коэффициентом
Несмотря на то, что метод Койка очень удобен в вычислительном отношении (оценки параметров β0, β1 и λ можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов), оценки, полученные с его помощью, будут смещёнными и несостоятельными, т. к. нарушается первое условие нормальной линейной модели регрессии.
99. Модель адаптивных ожиданий (МАО)
Моделью адаптивных ожиданий называется динамическая эконометрическая модель, которая учитывает предполагаемое (или желаемое) значение факторной переменной
в момент времени (t+1).
Общий вид модели адаптивных ожиданий:
Предполагаемое (ожидаемое) значение переменной
в момент времени (t+1) рассчитывается на основании значений фактических (реальных) переменных в предшествующий момент времени t.
Примером модели адаптивных ожиданий является модель зависимости размера предполагаемой в будущем периоде (t+1) индексации заработных плат и пенсий на текущие цены, или модель зависимости объёма текущих инвестиций в момент времени t от ожидаемого курса валюты в момент времени (t+1).
Механизм формирования ожиданий в модели адаптивных ожиданий можно представить следующим образом:
Следовательно, ожидаемое значение переменной xt в следующий момент времени (t+1) можно определить как среднее арифметическое взвешенное значение её фактического xt и ожидаемого
значений в текущем периоде t.
Величина λ называется параметром адаптации. Чем больше величина параметра адаптации, тем быстрее ожидаемое значение адаптируется предыдущим фактическим событиям xt. Чем меньше величина данного параметра, тем ближе ожидаемое в будущем значение
к ожидаемому значению предшествующего периода
что характеризует сохранение тенденций в ожиданиях.
Модель адаптивных ожиданий содержит предполагаемые значения факторной переменной, которые нельзя получить эмпирическим путём, поэтому применение традиционного метода наименьших квадратов для оценки неизвестных коэффициентов данной модели невозможно.
Для определения оценок неизвестных коэффициентов исходной модели адаптивных ожиданий (1) её необходимо преобразовать.
Подставим выражение (2) в исходную модель (1):
Исходя из предположения о том, что если модель адаптивных ожиданий (1) верна для момента времени t, то она будет верна и для момента времени (t-1), запишем модель адаптивных ожиданий для периода (t-1):
Умножив данное выражение на (1-λ), получим:
Далее вычтем почленно полученное выражение из модели (3):
Преобразованная модель (4) является обычной моделью авторегрессии. Оценки неизвестных коэффициентов данной модели можно рассчитать с помощью метода инструментальных переменных. После определения модели авторегрессии можно перейти к оценке параметров исходной модели адаптивных ожиданий (1).
Долгосрочной функцией модели адаптивных ожиданий называется модель (1), которая характеризует зависимость результативной переменной от предполагаемых значений факторной переменной.
Определение. Краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий называется модель вида [4], полученная в результате преобразований, которая характеризует зависимость результативной переменной от фактических значений факторной переменной.
