На приведенной выше иллюстрации исходный треугольник А изображен светло-серым цветом. Результаты каждого нового итерирования изображены все более темными (фигуры Б, В и Г). Насколько сложные объекты позволяет создать этот процесс, видно на рисунке Д, где все треугольники слиты в одну фигуру. При сравнении простого треугольника, с которого все началось, с результатами каждого последующего применения нашей формулы, становится очевидно, что каждое итерирование значительно увеличивает сложность фигуры.
Фракталы: математика и реальный мир
Итак, все, что нам требуется, — это выяснить, какие математические уравнения использовались при создании Вселенной. Тогда можно будет понять, как мы сюда попали и куда движемся. Поскольку мы пытаемся понять структуры окружающей среды и, в частности, то, как они соотносятся с биосферой, нам нужно обнаружить те математические формулы, с помощью которых Природа организовала в пространстве физические объекты.
Такая задача подразумевает использование геометрии, ибо по определению этот раздел математики особо занимается свойствами, мерами и взаимоотношениями структур в пространстве. Геометрия играет столь фундаментальную роль в организации Вселенной, что Платон еще задолго до Галилея заключил: «Геометрия существовала до мироздания».
Вплоть до 1975 года широкая публика была знакома только с принципами евклидовой геометрии, которая изложена в 13-томном древнегреческом труде Евклида «Начала», написанном около 300 года до нашей эры. Именно эту геометрию большинство из нас изучали в школах, когда рисовали в своих тетрадках кубы, шары и конусы. При помощи геометрии Евклида люди сумели описать движение небесных тел, построить величественные здания, разбить строго упорядоченные сады, сконструировать космические корабли и сложнейшее оружие.
Однако формулы, используемые геометрией Евклида, не применимы, когда дело доходит до Природы. Например, какое дерево вы сможете создать при помощи стандартных идеальных форм евклидовой геометрии? Вспомните-ка то дерево, которое вы рисовали в детском саду: круг, насаженный на продолговатый прямоугольник. Ваша воспитательница, несомненно, соглашалась, что на рисунке изображено именно дерево, но эта картинка описывала дерево не лучше, чем схематический портрет «точка-точка-запятая» описывает человека.
Вооружившись знанием евклидовой геометрии и циркулем, вы можете начертить безупречную окружность. Но безупречное, и даже реалистическое, дерево при помощи геометрии не изобразишь. И точно так же не нарисуешь с ее помощью жука, гору, облако или любой другой привычный нам природный объект. Геометрия Евклида пасует, когда речь заходит об описании естественных природных структур. Так где же нам искать ту математику, о которой говорили Платон и Галилей, — математику, описывающую дизайнерские принципы, используемые Природой?
Ключ к этой загадке впервые попал к людям в руки около девяноста лет назад, когда молодой французский математик Гастон Жюлиа опубликовал статью о своей работе с итерированными функциями. Он оперировал сравнительно простой формулой, где использовалось лишь умножение и сложение. Чтобы визуализировать закодированный в его уравнении образ, так называемый фрактал, Жюлиа пришлось бы повторить процедуру итерации миллионы раз, на что ушли бы десятилетия. Так что он так никогда и не увидел зримого воплощения своих идей.
Глубочайшее содержание формулы Жюлиа раскрылось лишь в 1975 году, когда его уравнение было обработано при помощи компьютеров. Первым человеком, воочию увидевшим то, что Жюлиа мог только представлять, был математик Бенуа Мандельброт, работавший в вычислительной лаборатории IBM и занимавшийся анализом закономерностей в хаотических системах. Мандельброт был потрясен изысканной органичностью и бесконечной сложностью генерируемых фрактальными формулами образов. Он видел, как на любом уровне в них обнаруживаются повторяющиеся автомодельные структуры. И сколько бы Мандельброт ни увеличивал графический образ, составляющие его структуры оставались неизменными.
Итак, внутри хаотической сложности фрактальных образов присутствуют бесконечно повторяющиеся структуры, вписанные друг в друга. Грубой иллюстрацией того, что представляют собой фрактальные повторяющиеся образы, может служить известная во всем мире русская матрешка. Каждая меньшая куколка подобна, но не обязательно идентична большей куколке, в которую она вкладывается. Именно Мандельброт назвал подобного рода объекты автомодельными (самоподобными) и стал описывать их при помощи нового раздела математики, который он же назвал фрактальной геометрией.
Наблюдая сложные фрактальные образы, Бенуа Мандельброт обнаружил отчетливые формы, присутствующие в Природе: у насекомых, ракушек, деревьев и так далее. Наука на протяжении всей своей истории не раз описывала наличие автомодельных организационных единиц на разных уровнях природных структур. Но до того, как появилась фрактальная геометрия, такие автомодельные структуры считали всего лишь любопытным совпадением.
Фрактальная геометрия особо подчеркивает наличие взаимосвязи между формой целой структуры и формами, составляющими ее части. Вспомните приводившиеся выше примеры: береговую линию и дерево с ветками. Автомодельные структуры присутствуют повсюду в Природе, и в частности в человеческом теле. Например, в легких структура ветвления главных бронхов повторяется во второстепенных бронхах, а затем и в совсем маленьких бронхиолах. Артериальные и венозные сосуды кровеносной системы и сеть периферийной нервной системы тоже состоят из повторяющихся автомодельных ветвящихся структур.
Поскольку фрактальная геометрия действительно представляет собой основной дизайнерский инструмент Природы, в биосфере на всех уровнях организации присутствуют вложенные друг в друга автомодельные структуры.
Следовательно, наблюдая и осмысливая какую-либо форму на все более высоких или все более низких уровнях ее структуры, мы можем использовать фракталы в качестве путевой карты. Фракталы могут дать нам представление об организации каждого нового уровня структуры. Что касается биосферы, следует предположить, что очертания человеческой эволюции изначально содержат автомодельные структуры, характеризующие эволюцию на всех других уровнях Природы.
Современник Дарвина, знаменитый эмбриолог Эрнст Геккель, еще в 1868 году, сам того не осознавая, впервые описал автомодельный фрактальный процесс в эволюции. Геккель опубликовал ставшую ныне знаменитой последовательность рисунков, где эмбрионы различных животных на разных стадиях своего развития сравниваются с эмбрионом человека. Он отметил, что эмбрионы всех позвоночных проходят через последовательный ряд аналогичных структурных изменений. Ученый предположил, что на ранних стадиях развития организмы фактически воспроизводят эволюционный путь своего вида.
Теория Геккеля кратко формулируется так: онтогенез повторяет филогенез. Переводим: «индивидуальное развитие воспроизводит развитие вида». К сожалению, представляя свои идеи публике, Геккель несколько переусердствовал с их популяризацией и значительно исказил изображения ранних стадий эмбрионального развития, чтобы они больше походили друг на друга, чем это есть на самом деле.
Однако, несмотря на эти подтасовки, эмбрион человека действительно проходит целый ряд преобразований, прежде чем обретает человеческий облик. И при этом он последовательно принимает целый ряд автомодельных форм, структурно напоминающих эмбрионы различных животных, представляющих более ранние стадии эволюции позвоночных.
Эмбрион человека в ходе своего развития вначале напоминает эмбрион рыбы, затем эмбрион амфибии. Далее он приобретает форму рептилии, потом — млекопитающего и, наконец, человека. Повторяя на стадии эмбрионального развития различные этапы эволюции своих предков в биосфере, человек тем самым являет собой динамический пример фрактального автомодельного явления.
Декодирование эволюции
Действительно ли мир описывается фрактальной геометрией? То, что введение простых математических уравнений во фрактальную компьютерную программу приводит к моделированию реалистичных ландшафтов и биологических форм, служит свидетельством, но не доказательством фрактальности природы как таковой. Может быть, наличие автомодельных структур повсюду в биосфере — не более чем случайность?
Есть убедительный аргумент в подтверждение того, что наблюдаемые параллели между фрактальной геометрией и естественными природными структурами не случайны и что Природа представляет собой чувствительную динамическую систему, основанную на итеративных процессах и описываемую математикой хаоса.
