Как правило, они появляются на свет, когда мы пересчитываем вполне определённые, или, как говорят, конкретные предметы, но потом от этих предметов отделяются, а лучше сказать — отвлекаются, и продолжают жить отвлечённой, совершенно самостоятельной жизнью. При этом происходят вещи необычайные, поразительные и для нас с вами далеко не безразличные. Числа помогают нам познавать мир. Благодаря им учёные обнаруживают доселе незримые планеты, открывают неизвестные законы, создают сложнейшие машины. Словом, отвлечённые числа сильнейшим образом влияют на конкретную действительность… Впрочем, об этом я девочке ещё не рассказывал. Почему? Да потому, что всему своё время. Так что вернёмся лучше к нашей задаче.
Первым её решил Главный терятель, хотя и неверно. Он рассуждал так: какое самое большое натуральное число можно составить из десяти цифр? Ясно, что десятизначное. А наибольшее десятизначное число равно десяти миллиардам без единицы: 9 999 999 999. Это-то и есть число всех натуральных чисел до десятизначных включительно.
К сожалению, Главный терятель не понял задачи. Ведь речь в ней вовсе не обо всех натуральных числах до десятизначных включительно, а лишь о тех, которые можно составить из десяти фишек! Не говорю уже о том, что среди этих десяти фишек всего одна девятка, а в его числе — десять…
— Вот что значит — начать не с того бока, — укоризненно вздохнул я.
— А мы начнём с того, — сказала девочка. — Как вы думаете, сколько однозначных натуральных чисел можно получить из десяти фишек?
— Смешно! — пожал плечами Главный терятель, который успел уже перенять любимое девочкино словечко. — Где десять однозначных фишек, там и десять однозначных чисел.
И тут под столом громко затявкал Пуся.
— Что это с ним? — забеспокоился Главный терятель. — По-моему, он кашляет.
— А по-моему, смеётся, — возразил я. — Наверное, заметил, что вы опять ошиблись. К вашему сведению: нуль к натуральным числам не относится. А потому однозначных натуральных чисел девять.
— Я же говорила, что Пуся — необыкновенная собака, — сказала девочка с гордостью. — Это она привела нас к истине.
— На то она и Главная ищейка! — заключил я и предложил записать наше первое достижение на бумажных салфетках.
Следующий вопрос, естественно, касался двузначных чисел, и Пусе пришлось опять хохотать, потому что Главный терятель повторил свою первую ошибку. Он рассуждал так: самое большое двузначное число — 99. Но в него входят 9 однозначных. Значит, всего двузначных 90. К сожалению, он не учёл, что среди этих девяноста имеется девять чисел с одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. А по условию, цифры в числе могут быть только разные. И стало быть, двузначных натуральных чисел только восемьдесят одно.
Главного терятеля это озадачило.
— Позвольте, позвольте, — запальчиво сказал он, — когда я приобщил к натуральным числам нуль, мне заявили, что он к таковым не относится. Но ведь и среди двузначных натуральных есть девять чисел с нулём: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Выходит, их тоже надо вычесть.
Я думал, что теперь хохотать будет не только Пуся, но и девочка. Но, против ожидания, она жалостливо вздохнула.
— Бедный! — сказала она, сочувственно глядя на Главного терятеля. — Неужели вы забыли, какая разница между числами и цифрами? Когда речь шла об однозначных числах, вы имели в виду нуль как число. Теперь мы перешли к двузначным, и в этом случае нуль уже не число, а цифра, означающая, что в разряде пусто…
Нет, до чего милая девочка! Недаром я к ней привязался. Не только весёлая, не только смышлёная, но и добрая. А доброта — великая сила. За примером недалеко ходить. Дружеское сочувствие подействовало на Главного терятеля самым благотворным образом, и он совершенно неожиданно для нас. а также для себя самого выдал весьма дельное замечании.
— Смотрите-ка, — сказал он, — натуральных двузначных чисел — восемьдесят одно. Но что такое 81? Это же 9, умноженное на 9…
— Очень кстати замечено, — похвалил я.
— Почему кстати? — поинтересовалась девочка.
— Сейчас поймёшь. Ведь мы как раз переходим к трёхзначным числам… А это вам не двузначные.
— Уж конечно, — поддакнул Главный терятель. — Во-нервых, их гораздо больше.
А во-вторых? — поинтересовался я. — Не знаете? Во-вторых, среди двузначных чисел попадаются такие, что состоят из двух одинаковых цифр. А среди трёхзначных сверх того есть ещё и такие, что состоят из трёх одинаковых. В числе 552 — две одинаковые цифры, а в числе 555 — три. Так что…
— Так что считать нам не пересчитать, — подхватила девочка.
— Но угадала, засмеялся я. — Так что необходимо найти правило, которое поможет нам и не считать и не пересчитывать. И для этого вернёмся немного обратно. Сколько у нас однозначных чисел? Девять. Теперь подумаем, как из количества однозначных чисел получить количество двузначных? Очевидно, для этого придётся к каждому однозначному числу последовательно приставлять по одной из оставшихся фишек. Начнём с единицы. Сперва приставим к ней 0…
— Затем — единицу, — подсказал Главный терятель.
При этих словах Пуся опять засмеялся, а девочка сказала, что единицы у нас уже нет: ведь к ней-то мы и приставляем оставшиеся фишки и получаем при этом вот что: 10, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18, 19.
— Вот вам и все двузначные числа, начинающиеся с единицы, — подытожил я. — Нетрудно заметить, что их девять. Далее то же проделываем с однозначным числом 2 и получаем ещё девять двузначных чисел: 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29…
— Как интересно! — загорелась девочка. — Теперь то же самое проделаем с числом 3, потом с числом 4…
— Но зачем? — возразил я, — Ведь мы уже заметили, что из каждого однозначного числа получается девять двузначных. И так как всего однозначных чисел 9, нам остаётся лишь помножить 9 на 9. Вот почему так кстати оказалось замечание нашего дорогого Главного терятеля. Ведь именно он подметил, что 81 — это 9, умноженное на 9…
Главный терятель вспыхнул от удовольствия и немедленно сделал ещё один шаг по пути прогресса. Он вдруг понял, как тем же способом узнать число трёхзначных чисел. Для этого, по его мнению, число двузначных следует помножить на восемь. Почему? Да потому, что на каждое двузначное число из десяти фишек пошло две. Стало быть, свободными остались восемь. Таким образом, число трёхзначных можно представить так: 9x9x8.
Мы уже хотели двинуться дальше, но тут девочка вспомнила о своих секретарских обязанностях и пожелала занести наши достижения в блокнот. Для удобства она записала их столбиком:
Однозначные — 9
Двузначные — 9 X 9
Трёхзначные — 9 X 9 X 8
После этого она вдруг задумалась, потом вскочила, завертелась на одной ножке и завопила на весь павильон:
— Ура! Задача решена! Сейчас нам дадут чаю!
— Спокойно, спокойно, — уговаривал я, — ты же ещё ничего не объяснила…
Но она возразила, что тут и объяснять нечего. И так ясно, что чем больше значность, тем меньше число оставшихся фишек. Когда мы перейдём к вычислению четырёхзначных, их уже будет 7, пятизначных — 6, шестизначных — 5 и так далее, и так далее. И потому записать это следует так:
Однозначные — 9
Двузначные — 9x9
Трёхзначные — 9X9X8
Четырёхзначные — 9x9x8x7
Пятизначные — 9x9x8x7X6
Шестизначные — 9x9x8x7x6X5
Семизначные — 9x9x8x7x6x5x4
Восьмизначные — 9x9x8x7x6x5X4x3
Девятизначные — 9x9X8x7x6x5X4x3x2
Десятизначные — 9x9x8x7x6x5x4x3x2x1
— Восхитительно! Совершенно восхитительно! — повторял Главный терятель, любуясь девочкиной таблицей, очень, надо сказать, аккуратной. — Но самое интересное вот что: количество девятизначных и десятизначных чисел совершенно одинаково. Ведь последняя строчка отличается от предпоследней только одним множителем — единицей. А все знают, что от умножения на единицу произведение не меняется.
— Делаете успехи! — заметил я.
— Сам себе удивляюсь, — улыбнулся Главный терятель и вдруг застыл с выпученными глазами. — Какой же я болван! У меня уже с полчаса вертится в голове ассоциация, а я всё забываю о ней сказать.
— Так выкладывайте её скорей, пока опять не забыли! — торопила девочка, снова хватаясь за свой блокнот.
— Пожалуйста, — сказал Главный терятель и действительно выложил все свои фишки по порядку номеров. — Взгляните: перед вами десять последовательных цифр. Все они разные.
— Ну и что? — не понял я.
— А то, что в утерянном номере все цифры тоже были разные.
— Ассоциация! Первая ассоциация! — торжественно изрекла девочка. — Заношу в протокол: в номере все цифры разные. А теперь — пусть нам дадут чаю!
Она была права. Задачу мы решили, притом совершенно правильно. Нам оставалось два дела: произвести арифметический подсчёт и получить заслуженную награду. Первое можно было не делать: это любому школьнику по плечу. Второе мы сделали с превеликим удовольствием, потому что чай оказался на славу. А уж фишки… Такого необыкновенного печенья я ещё не пробовал. Честно говоря, я даже пожалел, что вместо десяти штук мне до сталось всего семь с половиной. Почему? Очень просто. Войдя в павильон, все мы получили по целлофановому пакетику с фишками. Все, кроме Пуси. Очевидно, здешнему персоналу не пришло в голову, что щенок тоже может участвовать в числовой игре. А он между тем играл наравне со всеми и всякий раз честно тявкал, заслышав очередную нелепицу Главного терятеля. Могли мы оставить его без сладкого? Конечно, нет! И каждый из нас троих отдал ему четверть своих фишек и своего чая.
