12 + 34 — 5 + 6–7 = 40.
Попробуйте найти другое сочетание тех же цифр, при котором получилось бы не 40, а 55.
Напишите число сто пятью единицами.
Как написать 100 пятью пятерками?
Написать 100 пятью тройками.
Можно ли пятью двойками написать 28?
Эта задача замысловатее предыдущих. Надо четырьмя двойками написать 111. Возможно ли это?
Очень легко написать четырьмя тройками число 12:
12 = 3 + 3 + 3 +3.
Немного хитрее составить подобным же образом из четырех троек числа 15 и 18:
15 = 3 + 3 + 3 × 3;
18 = 3 × 3 + 3 × 3.
Но если бы потребовалось написать тем же манером четырьмя тройками число пять, вы, вероятно, не сразу догадались бы, что:
Попробуйте же теперь сами отыскать способы, как составить из четырех троек:
число 1
число 2
число 8
число 4
число 6
число 7
число 8
число 9
число 10,
короче говоря — все числа от 1 до 10 (как написать число 5, было уже показано).
Рассказ-задача
Торговец привез на рынок мешки с орехами, скинул с телеги, отправил лошадь назад — и вдруг вспомнил, что ему необходимо отлучиться и притом надолго. Оставить товар без призора нельзя, надо кому-нибудь поручить сторожить, — но кому? «Как бы это устроить подешевле?» — размышлял торговец.
В это время взгляд его упал на мальчика Степку, беспризорного, который ежедневно являлся на рынок в поисках какой-нибудь работы: то тачку перевезет, то поможет овощи раскладывать, то место расчистить — вот и сыт на день. Степка был честный и шустрый мальчик; работу давали ему охотно.
— Степка, постереги орехи, — обратился к нему наш торговец.
— Надолго?
— Не знаю, как придется. А тебе что: я заплачу.
— Сколько же заплатите?
— А сколько тебе хочется? — осторожно осведомился торговец, боясь переплатить. Степка подумал и сказал:
— За первый час дайте один орех.
— Идет. За второй?
— Два.
— Согласен. А если придется и третий час сторожить?
— Тогда прибавите четыре ореха. Коли и тогда не вернетесь, то за четвертый час уплатите восемь орехов; за пятый — шестнадцать, за шестой…
— Ладно, — перебил его торговец, — нечего долго болтать: за каждый следующий час вдвое против предыдущего. Согласен. Только не смей с места уходить: стереги, хотя бы я и до ночи не возвратился.
Торговец ушел, довольный тем, что отыскал дешевого сторожа: за горсть орехов будет хоть целые сутки сторожить.
Справил торговец свое дело только к вечеру. Надо бы на рынок возвратиться, но торговец наш не торопится. «Ночью какая торговля? Товар под надзором, сторож никуда не уйдет. Отсыплю ему еще пригоршню орехов», — подумал торговец и завалился спать.
Тем временем Степка честно сторожил мешки с орехами и нисколько не горевал, что хозяин не является. Наступила ночь, все стали с рынка расходиться, но Степка крепко держал уговор: разлегся у мешков и чему-то ухмыляется.
Когда на другое утро торговец явился к своим мешкам, он застал Степку накладывающим его орехи на тачку.
— Стой! Ты куда, злодей, собираешься мой товар увозить?
— Был ваш, теперь мой, — спокойно ответил Степка. — Забыли, что ли, уговор?
— Уговор! Да ведь по уговору ты сторожить обязан, а ты воровать хочешь.
— Свое увожу, не краденое. Это мне следует за то, что я сутки сторожил.
— Сутки сторожил, так тебе весь товар отдавай? Бери, сколько следует, а моего трогать не смей…
— Я и беру, что следует. Не только лишнего не беру, мне еще с вас причитается.
— С меня следует? Вот это хорошо! Сколько же тебе прибавить надо?
— Да примерно в тысячу раз больше, чем тут у вас имеется. Тогда, пожалуй, в расчете будем.
— За одни-то сутки? Да ты, брат, совсем считать не умеешь!
А как вы думаете: кто из них двоих не умел считать?
Если вы справились с предыдущей задачей и имеете охоту к подобным головоломкам, попробуйте составить все числа от 1 до 10 четырьмя четверками. Это нисколько не сложнее, чем составление тех же чисел из троек.
Был только один такой год в XX веке: 1961.
Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что его первые две цифры 18. Легко сообразить теперь, какой это год: 1818. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4,5 раза больше, чем 1818:
1818 × 4,5 = 8181.
Других решений задача не имеет.
Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.
45. Сложить и перемножить
Таких чисел сколько угодно:
3 и 1: 3 × 1 = 3; 3+1 = 4;
10 и 1: 10 × 1 = 10; 10+1 = 11,
и вообще всякая пара целых чисел, из которых одно — единица.
Это оттого, что от прибавления 1 число увеличивается, а от умножения на единицу — остается без перемены.
Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.
1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:
1 + 2 + 3 = 6;
1 × 2 × 3 = 6.
Те же пять тракторов! Ведь 5 тракторов засевают 1 гектар в 1 час; значит, 100 гектаров они засеют за 100 часов.
Таких чисел очень много. Например:
2:1 = 2;
2 × 1 = 2.
7:1 = 7;
7 × 1 = 7.
43: 1 = 43;
43 × 1 = 43.
Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):
011
000
009
Действительно: 11 + 9 = 20.
Если вы делаете первый ход, вы должны взять
2 ореха, остается 9. Сколько бы ни взял после вас второй игрок, вы следующим ходом должны оставить на столе только 5 орехов; легко сообразить, что вы всегда можете это сделать. А сколько бы из этих пяти ни взял ваш противник, вы вслед за ним оставляете ему один орех — и выигрываете.
Если игру начинаете не вы, то ваш выигрыш зависит от того, знает ли противник секрет беспроигрышной игры или нет.
Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:
123 + 4–5 -67 = 55;
1-2-3-4 + 56 + 7 = 55;
12 — 3 + 45 — 6 + 7 = 55.
Написать число 100 пятью единицами очень просто:
111-11.
5 × 5 × 5 — (5 × 5).
Это равно 100, потому что 125 — 25 = 100.
ЗЗ × З + 3/5 = 100.
22 + 2 + 2 + 2 = 28.
222/3 = 111.
1 =33/33 (есть и другие способы);
Мы привели здесь только по одному решению, но можно придумать и еще. Например, 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и так:
Не умел считать торговец, Степка же сосчитал правильно. В самом деле: за первый час Степке причитался 1 орех, за 2-й — 2, за 3-й — 4, за 4-й — 8, за 5-й — 16, за 6-й — 32, за 7-й — 64, за 8-й —128, за 9-й — 256, за 10-й — 512.
Пока как будто не разорительно для торговца: все вместе составляет немного больше тысячи орехов. Но будем продолжать подсчет: за 11-й час Степке следовало 1024 ореха, за 12-й — 2048, за 13-й — 4096, за 14-й — 8192, за 15-й— 16384. Числа получаются изрядные; но какие же тут тысячи тачек? Однако погодите:
за 16-й час причитается 32 768,
«17-й ««65 536,
«18-й ««131 072,
«19-й ««262 144,
«20-й ««524 288.
Все вместе составляет уже больше миллиона орехов. Но сутки не кончены — остается еще 4 часа:
За 21-й час причитается 1 048 576,
«22-й ««2 097 152,
«23-й ««4 194 304,
«24-й ««8 388 608,
А если сложить все 24 числа вместе, то составится 16 777 215 — почти 17 миллионов орехов. Это и будет та тысяча тачек, о которой говорил Степка.
4 = 4 + 4 × (4–4);
