Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало ни много – 3628800.
Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, 9942 года (без малого), т. е. почти 10000 лет. Слишком долгий срок ожидания одного бесплатного обеда…
II
Может быть, вам кажется невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов? В таком случае проверьте этот расчет сами. Но раньше надо научиться определять число перестановок. Для простоты начнем вычисление с небольшого числа предметов – с трех. Назовем их А, Б и В.
Мы желаем узнать, сколькими способами возможно переставлять их один на место другого. Рассуждаем так. Если отложить пока в сторону вещь В, то остальные две можно разместить только двумя способами:
Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко:
1) поместить В п о з а д и пары,
2) поместить В в п е р е д и пары,
3) поместить В м е ж д у вещами пары.
Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может. А так как у нас две пары, АБ и БА, то всех способов разместить вещи у нас имеется 2 x 3 = 6. Способы эти следующие:
Теперь пойдем дальше – сделаем расчет для 4 вещей. Пусть у нас 4 вещи: А, Б, В и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г; а с остальными тремя вещами сделаем все возможные перестановки. Мы уже знаем, что число этих перестановок – 6. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя:
1) поместить Г п о з а д и тройки;
2) поместить Г в п е р е д и тройки;
3) поместить Г м е ж д у 1-й и 2-й вещью;
4) поместить Г м е ж д у 2-й и 3-й вещью;
Всего получим, следовательно,
6 x 4 = 24 перестановки;
а так как 6 = 2 x 3, и 2 = 1 x 2, то число всех перестановок можем представить в виде произведения:
1 x 2 x 3 x 4 = 24.
Рассуждая таким же образом и в случае 5-ти предметов, мы узнаем, что тогда число перестановок равно
1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.
Для 6-ти предметов:
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.
И так далее.
Обратимся теперь к случаю с 10 обедающими. Число возможных здесь перестановок легко определить, если дать себе труд вычислить произведение 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.
Тогда и получится указанное выше число
3628800.
III
Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 обедающих было 5 девушек и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с молодыми людьми. Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее. Пусть сядет за стол – безразлично как – один из юношей. Остальные четверо могут разместиться, оставляя между собою пустые стулья для девушек, – 1 x 2 x 3 x 4 = 24-мя различными способами. Так как всех стульев 10, то первый юноша может сесть 10-ю способами; значит, число всех возможных размещений для молодых людей 10 x 24 = 240. Сколькими же способами могут сесть на пустые стулья между юношами 5 девушек? Очевидно, 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 способами. Сочетая каждое из 240 положений юношей с каждым из 120 положений девушек, получаем все число возможных размещений:
240 x 120 = 28800.
Число это во много раз меньше предыдущего и потребовало бы всего 79 лет (без малого), – так что доживи молодые посетители ресторана до столетнего возраста, они могли бы дождаться бесплатного обеда, если не от самого официанта, то от его наследников…
Ножницы и бумага
Одним взмахом на три части. – Поставить полоску на ребро. – Заколдованные кольца. – Неожиданные результаты разрезывания. – Бумажная цепь. – Продеть себя через листок бумаги.
Вы думаете конечно – как и я прежде думал, – что на свете есть ненужные вещи. Ошибаетесь: нет такого хлама, который не мог бы для чего-нибудь пригодиться. Что не нужно для одной цели, полезно для другой; что не надобно для дела, годится для забавы.
В углу ремонтируемой комнаты попалось мне как-то несколько исписанных почтовых карточек и ворох узких бумажных полос, отрезанных от обоев перед оклейкой. Хлам, который годится только в печку, – подумал я. А оказалось, что даже и с такими никому не нужными вещами можно очень интересно позабавиться. Старший брат показал мне ряд прелюбопытных головоломок, какие можно проделать с этим материалом.
Начал он с бумажных лент. Подав мне один обрывок полоски, длиною ладони в три, он сказал:
– Возьми ножницы и разрежь эту полоску на три части…
Я нацелился резать, но брат остановил меня:
– Постой, я не кончил. Разрежь на три части одним взмахом ножниц.
Это было потруднее. Я примерял на разные лады, но все более убеждался, что брат задал мне мудреную задачу. Наконец, я сообразил, что она вовсе не разрешима.
– Ты шутишь, – сказал я. – Это невозможно.
– Хорошенько подумай, может и догадаешься.
– Я уже догадался, что задачу решить нельзя.
– Плохо догадался. Дай-ка.
Брат сложил полоску вдвое и разрезал.
Брат взял у меня полоску и ножницы, сложил бумажную ленту вдвое и разрезал ее пополам. Получилось, конечно, три куска.
– Видишь?
– Да, но ты согнул полоску!
Я перегнул полоску и поставил ее на стол.– Отчего же ты не согнул?
– Ведь не сказано было, что можно сгибать.
– А разве сказано было, что сгибать нельзя? Сознайся уж прямо, что не догадался.
– Дай другую задачу. Больше не поймаешь!
– Вот еще полоска. Поставь ее на стол, чтобы стояла ребром.
– Чтоб стояла… ребром… – размышлял я и вдруг сообразил, что полоску можно согнуть. Я перегнул ее углом и поставил на стол.
– Правильно, – похвалил брат.
– Еще!
– Изволь. Видишь, я склеил концы нескольких полосок и получил бумажные кольца. Возьми красно-синий карандаш и проведи вдоль всей наружной стороны этого кольца синюю черту, а вдоль внутренней – красную.
– А потом?
– Это и все.
Пустяшная работа! Однако она у меня не спорилась. Когда я замкнул синюю черту и хотел приступить к красной, то с досадой обнаружил, что прочертил синей линией обе стороны кольца.
– Дай другое кольцо, – сконфуженно сказал я. – Я нечаянно испортил первое.
Но и со вторым кольцом приключилась та же неудача: я и не заметил, как прочертил обе стороны кольца.
– Наваждение! Опять испортил. Дай третье.
– Бери, не жалко.
Что же вы думаете? Ведь и на этот раз исчерченными синим цветом оказались обе стороны!
– Такой простой вещи сделать не можешь! – смеясь, сказал брат. – А вот у меня сразу получается.
И взяв бумажное кольцо, он провел по всей его наружной стороне синюю черту, по всей внутренней – красную.
Получив новое кольцо, я принялся возможно осмотрительнее вести черту по одной его стороне, стараясь не перейти как-нибудь на другую. Опять неудача: обе стороны прочерчены! Я рассеянно взглянул на брата – и тогда только, по лукавой его усмешке, догадался, что здесь дело не ладно.
В руках у меня не два… а одно кольцо.– Эге, ты что-то… Это фокус? – спросил я.
– Кольца заколдованы, – ответил он. – Необыкновенные! Попробуй проделать с этими кольцами что-нибудь другое, например разрезать кольцо вдоль, чтобы получить два потоньше.
– Эка важность!
Разрезав кольцо, я уже собирался показать брату полученную пару тонких колец, когда с изумлением заметил, что в руках у меня не два, а одно длинное кольцо.
– Ну, где же твои два кольца? – насмешливо спросил брат.
– Дай другое: попробую еще раз.
– А ты разрежь то, которое у тебя получилось.
Я разрезал. На этот раз у меня было в руках несомненно два кольца. Но их невозможно было распутать, так они были сплетены друг с другом. Кольцо в самом деле словно заколдованное!
– Секрет колдовства очень прост, – объяснил брат. – Все дело в том, что, прежде чем склеить концы бумажной ленты, нужно завернуть один из концов вот так, как изображено на этом рисунке.
Как получить заколдованное кольцо.– От этого все и происходит?
– Представь! Сам же я, конечно, чертил карандашом на обыкновенном кольце… Еще интереснее получается, если конец ленты завернуть при этом не один, а два раза.
Брат на моих глазах приготовил кольцо по этому способу и подал мне.
– Разрежь вдоль, – сказал он. – Что ты получишь?
Разрезав, я получил два кольца, но продетые одно сквозь другое. Забавно!
Разнять кольца было невозможно.Я сам приготовил еще три таких кольца – и получил еще три пары неразлучных колец.
– А как бы ты сделал. – спросил брат, – если бы тебе нужно было все 4 пары колец соединить в одну несомкнутую цепь?
– Ну, это просто: разрезать по одному кольцу у каждой пары, продеть и снова заклеить.
